基于Matlab軟件的伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法

高 棟 胡衛(wèi)鵬

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

傳統(tǒng)的伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)建立在設(shè)計(jì)人員的工程經(jīng)驗(yàn)和經(jīng)典理論計(jì)算基礎(chǔ)之上，缺乏系統(tǒng)的理論指導(dǎo)，往往在出現(xiàn)問題后不能對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)作出全面的分析從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。此外，人工編寫代碼工作量大，且工作繁雜、易出錯(cuò)。因此，設(shè)計(jì)人員往往會(huì)選擇較為簡單的控制算法來完成伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)工作，對(duì)于高性能要求的場合這種方法很難滿足系統(tǒng)的指標(biāo)要求。基于上述情況，如何將先進(jìn)的現(xiàn)代控制理論與實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)有機(jī)地結(jié)合起來，根據(jù)理論來指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)，就成為現(xiàn)代伺服控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中面臨的主要問題。

本文將Matlab軟件中的各個(gè)組件，如Simulink、Parameter Estimation、Linear Analysys、SISO Tool、RTW Coder等有機(jī)地結(jié)合起來，從而形成一套從模型建立、參數(shù)辨識(shí)、系統(tǒng)仿真、控制器設(shè)計(jì)、產(chǎn)品級(jí)代碼生成到效果驗(yàn)證的一系列完整的設(shè)計(jì)流程。

該設(shè)計(jì)方法不僅可以大大提高伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率，使理論與工程實(shí)踐緊密結(jié)合，而且可以更加便捷、有效地實(shí)現(xiàn)及驗(yàn)證各種類型的控制算法。

2 系統(tǒng)概述

本文研究的伺服系統(tǒng)為X－Y方向的二維系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)形式采用齒輪傳動(dòng)。系統(tǒng)采用典型的三環(huán)路控制結(jié)構(gòu)，即電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)，其控制框圖如圖1下所示。

圖1 控制系統(tǒng)原理框圖

3 系統(tǒng)建模

3.1 電機(jī)模型的建立

本文選用永磁直流力矩電機(jī)，其模型可等效為電樞電阻和繞組電感的串聯(lián)，即R－L串聯(lián)結(jié)構(gòu)。模型的建立主要參考二個(gè)重要的平衡方程，即電勢平衡方程和轉(zhuǎn)矩平衡方程。

其中，電勢平衡方程為:

式中，Uq為電機(jī)電壓;pn為磁極對(duì)數(shù);ψr為磁鏈空間矢量;Rsiq為電樞壓降;為電機(jī)繞組電壓。

轉(zhuǎn)矩平衡方程為:

式中，pn為磁極對(duì)數(shù);ψr為磁鏈空間矢量;Td為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;p為微分算子。

將(1)、(2)進(jìn)行拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化為方程組:

式中，Ku=KL=pnψr;Ku為電機(jī)的反感應(yīng)電動(dòng)勢系數(shù);KL為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

由該方程組可得電機(jī)的原理框圖2。

圖2 電機(jī)原理框圖

根據(jù)該框圖建立Simulink模型圖3。

圖3中，r為傳動(dòng)比;n為傳動(dòng)效率。考慮到控制信號(hào)飽和因素的影響，電機(jī)模型中增加飽和模塊。

3.2 負(fù)載模型的建立

負(fù)載轉(zhuǎn)矩折算到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)矩主要包括慣性力矩、干摩擦力矩和黏性摩擦力矩。由于本文采用齒輪傳動(dòng)，因此在建立負(fù)載模型時(shí)除了需要考慮上述因素外，還應(yīng)考傳動(dòng)間隙和彈性形變的影響。其中，彈性形變的影響可以通過下述表達(dá)式給出:

式中，KL為機(jī)構(gòu)傳動(dòng)的彈性模量;φc1為電機(jī)軸的轉(zhuǎn)角;φc2為負(fù)載軸的轉(zhuǎn)角;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

式(4)計(jì)算出的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，除去干摩擦和黏性摩擦的消耗，最后轉(zhuǎn)換為機(jī)構(gòu)的慣性負(fù)載。根據(jù)上述理論可以建立起負(fù)載的Simulink模型，如圖4所示。

在建立負(fù)載模型時(shí)，本文還考慮了齒輪傳動(dòng)間隙等非線性因素的影響。電機(jī)軸轉(zhuǎn)角φd與系統(tǒng)輸出軸轉(zhuǎn)角φc之間的關(guān)系為:

傳動(dòng)間隙的特性如圖5所示，以電機(jī)軸為主動(dòng)軸來表示，總間隙用2Δ表示，兩邊直線的斜率K相等，

圖4 負(fù)載Simulink模型圖

圖5 機(jī)械間隙示意圖

傳動(dòng)系統(tǒng)存在的間隙對(duì)伺服系統(tǒng)動(dòng)、靜態(tài)性能均有影響。為便于分析，將所有傳動(dòng)間隙集中在一處，并以執(zhí)行電機(jī)軸為主動(dòng)軸來進(jìn)行分析。在Simulink中用DeadZone模塊來模擬此間隙特性，并加在負(fù)載模型的角度輸出端。

通過上述分析，最終將所有要考慮的負(fù)載力矩求和可得總的負(fù)載力矩，如下式:

由于伺服系統(tǒng)中存在傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，因此在考慮傳動(dòng)比和傳動(dòng)效率后，得:

式中，i為傳動(dòng)比;η為傳動(dòng)效率。

3.3 傳感器模型的建立

文中采用二維撓性陀螺來感知機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角速率，用電位計(jì)測量位置信息，用采樣電阻求電機(jī)電流。在控制系統(tǒng)建模中，傳感器的模型通常只考慮其量測誤差。因此模型中利用隨機(jī)信號(hào)針對(duì)測電流、測位置時(shí)的誤差建立了相應(yīng)的誤差模型。而測角速度的撓性陀螺，需要考慮其二階模型。利用陀螺自身所提供的阻尼比ξ、固有頻率ω和標(biāo)度因數(shù)n可以寫出陀螺的傳遞函數(shù)模型:

4 模型參數(shù)辨識(shí)

通過上述理論分析，建立起電機(jī)和被控對(duì)象的模型。該模型的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定，但是某些關(guān)鍵參數(shù)還不準(zhǔn)確。為了得到更加準(zhǔn)確的模型，對(duì)被測平臺(tái)進(jìn)行PWM占空比測試。在不同的PWM占空比下，測試出機(jī)構(gòu)的輸出電流，轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速。通過分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用轉(zhuǎn)速曲線對(duì)動(dòng)摩擦系數(shù)、干摩擦力矩、電機(jī)的反電動(dòng)勢系數(shù)、電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)以及傳動(dòng)軸的彈性模量這五個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。圖6為實(shí)測的電機(jī)輸出電壓和機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速的曲線圖。

圖6 開環(huán)階躍響應(yīng)曲線圖

采用Simulink中的Parameter Estimation工具根據(jù)階躍響應(yīng)曲線數(shù)據(jù)，對(duì)上述5個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)后，得到圖7的辨識(shí)結(jié)果。由該圖，可以看出辨識(shí)后的結(jié)果與實(shí)測曲線非常接近，擬合度很高。

圖7 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果圖

5 控制器設(shè)計(jì)

經(jīng)過參數(shù)辨識(shí)，得到該伺服系統(tǒng)中電機(jī)電勢常數(shù)、電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)、摩擦力矩、黏性摩擦系數(shù)和傳動(dòng)系統(tǒng)彈性模量的準(zhǔn)確數(shù)值。基于這些數(shù)據(jù)，本文利用Matlab中的SISO工具來進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。由于，現(xiàn)代控制理論是建立在線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。因此，在控制器設(shè)計(jì)之前需要利用Linear Anlysis工具對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)通道進(jìn)行線性化處理已得出各部分的開環(huán)傳遞函數(shù)。

圖8 電流環(huán)補(bǔ)償器設(shè)計(jì)根軌跡和伯德圖

5.1 電流環(huán)設(shè)計(jì)

圖9 電流環(huán)補(bǔ)償器閉環(huán)階躍響應(yīng)

由根軌跡(圖8)可知，開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)s=0，－527.7，不足以滿足性能指標(biāo)快速的要求，因此在左側(cè)實(shí)軸上添加一個(gè)零點(diǎn)，再調(diào)整其位置和增益，所得閉環(huán)階躍響應(yīng)(圖9，階躍發(fā)生在t=1s)超調(diào)為2.6%，調(diào)解時(shí)間為1ms，幅值裕量為無窮大，相角裕量為87.9°，對(duì)應(yīng)補(bǔ)償器參數(shù)為a=－1000，Kp=126，即 C(s)=

5.2 速度環(huán)設(shè)計(jì)

加入電流環(huán)之后，使用simulink—linear analysis模塊對(duì)速度環(huán)開環(huán)進(jìn)行線性化，所得傳遞函數(shù)的zpk形式為:

圖10 速度環(huán)響應(yīng)曲線(0.2s后為機(jī)構(gòu)碰壁后的速度變化)

另外，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度使用陀螺測量，其傳遞函數(shù)H(s)應(yīng)在sisotool控制器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)，

為了保證速度跟蹤精度，加入積分環(huán)節(jié)，開環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為(s=0，－1.837)，下一對(duì)極點(diǎn)為(－56.28±j83.26)，故設(shè)置零點(diǎn)吸引這兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)向?qū)嵼S左側(cè)移動(dòng)，調(diào)整增益使其中之一接近零點(diǎn)閉環(huán)響應(yīng)可認(rèn)為近似相消，另一個(gè)實(shí)極點(diǎn)幅值足夠大從而提升閉環(huán)響應(yīng)的速度。

5.3 位置環(huán)設(shè)計(jì)

加入電流環(huán)和速度環(huán)之后，使用simulink—linear analysis模塊對(duì)位置環(huán)開環(huán)進(jìn)行線性化，所得傳遞函數(shù)的為:

開環(huán)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，為了能夠精確跟蹤位置斜坡指令輸入，加入積分器，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為s=0，－1.783，設(shè)計(jì)思路與速度環(huán)類似。

6 代碼自動(dòng)生成

在效果驗(yàn)證前需要完成代碼生成，也就是將設(shè)計(jì)好的控制器變成可以在嵌入式平臺(tái)上可執(zhí)行的C語言程序。

6.1 環(huán)境構(gòu)建

進(jìn)行代碼生成并不能在原有的仿真平臺(tái)上，需要重新搭建專門用于代碼生成的平臺(tái)。該平臺(tái)以控制算法為主體，配合輸入輸出接口和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換單位來實(shí)現(xiàn)，如圖11所示。本文通過配置2000系列下的ert工具來完成針對(duì)TI公司TMS320LF2812芯片的代碼自動(dòng)生成。

6.2 代碼報(bào)表生成

通過ert工具完成代碼生成后可以自動(dòng)完成代碼報(bào)表如圖12所示。該代碼報(bào)表具有模型到代碼、代碼到模型的雙向鏈接。

可點(diǎn)擊模型中的某個(gè)模塊來方便的查看該模塊對(duì)應(yīng)的代碼，進(jìn)而察看該段代碼是否按照要求自動(dòng)生成。

圖11 代碼生成平臺(tái)

圖12 自動(dòng)生成的代碼報(bào)表圖

7 效果驗(yàn)證

效果驗(yàn)證是整個(gè)設(shè)計(jì)流程的最后一步，也是最關(guān)鍵的一步。在驗(yàn)證過程中，可將生成的控制算法代碼添加到應(yīng)用程序中對(duì)測試平臺(tái)進(jìn)行相應(yīng)的控制。通過觀測被測平臺(tái)的響應(yīng)效果、分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以驗(yàn)證并調(diào)整模型和控制算法，從而形成設(shè)計(jì)閉環(huán)。

圖13 角度實(shí)測數(shù)據(jù)圖

在本文的測試過程中，發(fā)現(xiàn)干摩擦力矩遠(yuǎn)小于原計(jì)算出的0.135N*m。因此，縮小干摩擦力矩的參數(shù)辨識(shí)范圍后重新辨識(shí)，最終得出干摩擦力矩為0.01N*m。在新參數(shù)下重新調(diào)節(jié)控制器，得到了較為滿意的控制效果，如圖13所示。從圖13中可以看出系統(tǒng)的響應(yīng)速度很快，超調(diào)較小，定位精度可以控制在0.1°以內(nèi)，基本滿足設(shè)計(jì)要求。

8 影響伺服系統(tǒng)精度的分析

8.1 干摩擦力矩的影響

干摩擦力矩的大小對(duì)跟蹤系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生不同的影響。例如，當(dāng)施加 5°的階躍信號(hào)時(shí)，按干摩擦0.1898或0得到的響應(yīng)如圖14所示。當(dāng)階躍值更小時(shí)，在同一組控制器參數(shù)下，會(huì)比較顯著地延長響應(yīng)的時(shí)間。

圖14 位置環(huán)階躍響應(yīng)曲線

8.2 傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械彈性的影響

圖15說明了在彈性模量按參數(shù)估計(jì)出的182.781或取一個(gè)剛性不足50時(shí)在10°的階躍輸入下角速度響應(yīng)圖，可以看出傳動(dòng)系統(tǒng)剛性不足時(shí)，角速度響應(yīng)偏慢;而剛性過強(qiáng)，則響應(yīng)會(huì)有顫動(dòng)。

8.3 傳動(dòng)間隙的影響

從圖17可以看出，輸入1°階躍時(shí)，在2mrad傳動(dòng)間隙影響下的角度響應(yīng)有0.0182s的延遲。

綜上所述，系統(tǒng)中有各種影響因素，包括干摩擦力矩、傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械彈性和傳動(dòng)間隙，它們都會(huì)對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)造成影響。可以采取兩種措施來解決問題:a.從系統(tǒng)設(shè)計(jì)上將以上影響降到最小，如傳動(dòng)系統(tǒng)的剛性要足夠、盡可能從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上減小傳動(dòng)間隙等;b.從控制器設(shè)計(jì)上補(bǔ)償，利用控制理論設(shè)計(jì)好控制器后，還需綜合各種非線性環(huán)節(jié)的影響，不斷調(diào)試控制器，直至達(dá)到滿意的控制性能。

圖17 角度響應(yīng)曲線

9 結(jié)束語

該方法為設(shè)計(jì)師提供一個(gè)良好的理論轉(zhuǎn)化為工程實(shí)踐的驗(yàn)證窗口和測試平臺(tái)。通過該方法可以不斷地進(jìn)行設(shè)計(jì)工作的閉環(huán)調(diào)整，不僅可以深入地挖掘控制理論，為伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供優(yōu)越的控制方法，提高技術(shù)水平;而且可以更加清晰地了解控制對(duì)象，使設(shè)計(jì)目標(biāo)更加明確，對(duì)問題的分析更加精準(zhǔn)。

［1］廖曉鐘.控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［2］戴忠達(dá).自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1991.

［3］薛定宇.基于Matlab/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002.