波高與風速聯合概率分布研究

陳子燊

（中山大學水資源與環境系，廣東 廣州 510275）

波高與風速聯合概率分布研究

陳子燊

（中山大學水資源與環境系，廣東 廣州 510275）

基于copula函數論述了兩變量的聯合概率分布方法。此方法的主要優點是邊緣分布可由不同的分布函數構成，變量間可具相關性。以粵東汕尾海域極值波高與相應風速為研究實例，經分析獲得以下結果：(1) 優選的極值波高和風速可分別由P-III型和GEV分布表示； (2) 擬合優度檢驗指標表明二者的最優連接函數為Archimedean copula類的Gumbel-Hougaard copula；(3) 與聯合分布比較，重現期介于5—200年之間的波高邊緣分布設計值的相對差值大約介于3.1% ～ 8.1%之間，風速設計值相對差值大約介于2.8% ～6.4%之間；(4) 特定風速設計頻率條件下，波高與風速的遭遇概率隨波高設計頻率的減小而減小，特定波高設計頻率隨風速條件頻率的減小，二者的遭遇概率隨之增大。

極值波高和風速；邊緣分布；聯合概率分布；Copula函數；條件分布

Abstract：This article introduced the method of bivariate joint probability distribution based on the copula function.A major advantage of this method is that marginal distributions of individual variables can be of any form and the variables can be correlated.Some of conclusions were reached by using extreme wave height and wind speed as an example collected in Shanwei sea area as the following: (1) Optimized marginal distributions of wave height and wind velocity can be represented by the Pearson pattern three and generalized extreme value distribution, respectively; (2) Gumbel–Hougaard Copula that belongs to Archimedean copula family was the optimal copula selected by the goodness-of-fit test; (3) The relative differences of the special frequency design values between the marginal distribution of wave height and the joint distribution fall in between 3.1% and 8.1% for the return periods between 5 and 200 years, and the relative differences of wind velocity fall in between 2.8%～6.4%; (4) The encountering probabilities of wave height given wind velocity decrease along with decreasing the frequency of wave height; whereas the encountering probabilitiy increase while the specific wave height frequency is along with decrease of wind velocity frequency.

Keywords：extreme wave height and wind velocity; marginal probability distribution; joint probability distribution; copula function; conditional probability distribution

全球暖化可能導致出現極端氣象事件的頻率和強度加大，甚則常態化，此對于海岸和海洋工程安全構成極大威脅。眾知，風浪的形成與發展主要是由風直接作用下的海洋動力過程。大浪與極端風速密切相關，也都是造成海岸工程損毀和海岸侵蝕的重要動力因子。深入分析極值波高和風速的聯合概率分布對海岸工程與海岸防護的規劃設計和風險控制十分重要。

至今已有一些多變量聯合概率分布應用于海洋水文氣象要素的研究。如，周道成應用耿貝爾邏輯模型描述了年極值風速和有效波高兩隨機變量的聯合分布[1]；董勝采用邊緣分布為皮爾遜Ⅲ型的聯合分布估計了年極值有效波高與風速的聯合出現概率[2]；潘錦娥使用對數正態分布探討了波高與周期的聯合分布[3]。然而，采用傳統的多變量聯合概率分布時存在一定的約束條件，其要求各個邊緣分布函數類型與多變量分布函數類型一樣，而且各個邊緣分布必須完全相同。而且，不同的水文氣象要素或不同空間位置的同一水文氣象要素通常并不服從同一分布，水文氣象要素的正態分布也難以滿足。這使得傳統的多變量分布函數的概率分析受到較大限制。近十年來，解決多變量聯合概率分布的一個強有力工具的Copula 函數已被廣泛應用于金融工程領域，國內外在陸地水文氣象領域也得以較多應用[4-12]，但國內在海洋水文氣象領域的研究還僅見于參考文獻[13]。本文將在論述Copula函數主要理論與方法基礎上，應用實例構造二變量水文氣象要素的聯合概率分布模式，深入分析水文氣象變量間的概率分布主要特征。

1 基于 Copula函數的聯合概率分布模型

1.1 Copula函數、參數估計和擬合優度評價

Copula的數學涵義是指把多個變量的聯合分布與它們的邊緣分布連接在一起的函數。根據奠定Copula函數理論基礎的Sklar定理，令F是具有單變量邊緣分布函數的n維分布函數，若邊緣分布函數連續，則存在一個唯一滿足關系的連接函數。相反，如果C是一個n 維Copula函數，n維分布函數。作為一新的概率分布和統計推斷方法，Copula函數為描述多變量隨機變量之間的相關結構提供了一個新技術手段而得到了廣泛應用，曾系統地總結了Copula函數的性質和這個領域的主要研究成果。

根據Copula函數性質，構建兩變量的聯合概率分布模型可分兩步進行：首先分別確定邊緣分布然后選擇一個能夠恰當地反映變量間相關結構的Copula函數式中，在三大類Copula函數——橢圓型、阿基米德型(Archimedean)和二次型中，阿基米德(Archimedean) Copula是由其生成元唯一確定的單參數函數，是當前應用于水文氣象領域的一類非常重要的Copula函數。幾種常用的二維Archimedean Copula函數及其適用性如下：

與AMH Copula函數類似，但對相關性程度沒有限制。Frank Copula結構具有對稱性，即在其分布的上尾和下尾，變量間的相關性呈對稱增長。

Copula參數θ的估計方法大致可分為3種：①相關性指標法：根據Kendall秩相關系數與θ的關系間接求得；②適線法：在一定適線準則下, 求解與經驗點據擬合最優的頻率曲線的統計參數；③極大似然法。由于不同的Copula 函數代表不同的相關結構，對Copula 函數的選擇將直接影響到一些分析和統計推斷的結果[15]，因此選擇合適的Copula函數顯得十分重要。擇優選用Copula函數的主要檢驗方法有由圖示直觀選擇Copula 函數的Genest–Rivest方法[16]、均方根誤差(RMSE)準則法和AIC信息準則法等。

1.2 聯合概率分布及其重現期

使用“或”符號“∨”，以及“和”符號“∧”，兩個單變量事件理論上可以組合成八種兩變量事件。

對于極端水文氣象事件，關注的主要是以下兩種兩變量事件：

同理，還可定義給定隨機變量X≥x和X≤x條件下的隨機變量Y的4個條件概率。

2 實例研究

2.1 基本數據

基本數據采用位于粵東汕尾海域的汕尾海洋觀測站 1972—1992年觀測的歷年熱帶氣旋影響期間E向浪的最大波高與相應的極端風速。樣本的基本統計特征值表明，最大風速為45 m/s，達到強臺風等級，最大波高為9.50 m。極值波高及其相應的極值風速的偏態系數分別為1.21和1.10，都屬于正偏分布。

2.2 聯合分布計算與分析

2.2.1 邊緣分布函數 對兩樣本的邊緣分布，都使用了以下兩個三參數的概率分布函數擇優：

a、廣義極值分布(GEV)：

表1 邊緣分布參數與優度檢驗值Tab.1 Parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

2.2.2 Copula 函數的參數估計及擬合優度評價樣本波高與風速的Kendall秩相關系數 (τ) 計算值為 0.629，說明二者具有較高的相關性。采用相關性指標法計算了樣本的聯合概率分布的copula參數θ，并利用AIC、RMSE檢驗其擬合優度，結果見表2。根據擬合優度評價指標，選擇樣本中AIC和 RMSE最小、KT-Ke關系圖中點據和理論直線最接近45°對角線的GH Copu1a函數作為聯合概率分布的連接函數（為節省篇幅，KT-Ke關系圖略），由此構建的極值波高和極值風速的GH Copula聯合分布函數如下：

圖1 兩變量邊緣分布圖：波高（左圖），風速（右圖）Fig.1 Diagrams of marginal distribution of wave heights (left panel) and wind velocities (right panel) in the sample one.

表2樣本的Copula參數及擬合優度評價指標Tab.2 Parameters of Copula functions and the evaluation indices of goodness of fit for the sample

2.2.3 聯合概率分布與重現期 極值波高和極值風速的聯合概率分布、聯合重現期和同現重現期見圖2所示，不同重現期的設計波高和設計風速見表3。顯然，波高風速聯合重現期小于邊緣分布重現期，邊緣分布重現期則小于同現重現期。按照同頻率原理，即單變量推算的設計值小于波高風速聯合重現期設計值，差值隨重現期減小而有所增大，重現期5-200年的波高設計值相對差值大約介于3.1% ～ 8.1%，風速設計值相對差值大約介于2.8% ～ 6.4%。以100年一遇波高為例，波高、風速邊緣分布設計值分別為12.05m和同頻率的聯合分布設計值分別為12.57m和單變量邊緣分布50年一遇和100年一遇的同現重現期分別為70年和141年。上述結果表明，如以波高風速聯合概率分布為設計值，單變量無論是波高或風速推算的設計值實際上沒有達到設計標準。

圖2 聯合概率分布三維圖（左圖）、聯合重現期(年)等值線圖（中圖）、同現重現期(年)等值線圖（右圖）Fig.2 Diagrams of joint probability distribution (left panel), joint return period (middle.panel) and occurrence period (right panel)

表3 不同重現期設計波高和設計風速值Tab.3 Designed values of different return periods of wave height and wind velocity

2.2.4 條件概率分布與遭遇分析 分別考慮條件概率 1：和條件概率 2：兩種條件概率，其中，條件概率 1指的是，當發生超過某一標準的風速v時，出現超過某一標準波高h的概率；而條件概率2的涵義則為發生不超過某一標準的風速v時，出現大于某一標準波高h的概率。二者的實質都是反映極值波高與相應風速的遭遇概率。兩種不同條件概率的計算結果見表4。表4顯示，特定風速設計頻率條件下，隨波高設計頻率的減小，二者的遭遇概率也隨之減小；反之，特定波高設計頻率隨風速條件頻率的減小，二者的遭遇概率隨之增大。條件概率1表明，同頻率下的極端波況和相應風況的遭遇概率不小于70%。如：設計頻率超過20%的波高與設計頻率超過10%風速的遭遇概率為91.6%，而設計頻率都為10%（重現期10年）時，二者的遭遇概率為72.6%。條件概率2則表明，當設計風速小于某一定值時，相對于條件概率 1，極端波況和相應風況的遭遇概率明顯減小，同頻率下極端波況和相應風況的遭遇概率都不大于7%。如：設計頻率超過20%的波高與設計頻率小于10%風速的遭遇概率為12.0%，而設計頻率都為10%（重現期10年）時，二者的遭遇概率為3.0%。此對于如何在海岸工程選擇與設計波高相匹配的設計風速，需要綜合考慮遭遇概率小（風險小安全率高）和工程規模投入資金之間的平衡關系。因此需要在安全、資金投入與產出效益之間尋求平衡點，此需經過嚴格的經濟分析與多方案綜合比較才能確定。

表4 兩種條件概率計算結果*Tab.4 Computed results of conditional probability of two types

3 結 語

本文以粵東汕尾海域的臺風影響下的海況為實例，基于Copula理論與方法構建了波高和相應風速的聯合概率分布模型。分析表明，兩變量聯合分布比單變量分布能更全面地反映極端海況條件下的重現水平，根據極端海況下的波高與風速的遭遇概率的風險分析可更好地為海岸工程規模的規劃設計、資金投入和風險控制之間的均衡考慮提供科學依據。

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Study on joint probability distribution of wave height and wind velocity

CHEN Zi-shen

（Department of Water Resource and Environment，Zhongshan University，Guangzhou 510275，China）

P731.22

A

1001-6932(2011)02-0159-06

2010-08-30；收修改稿日期：2010-09-20

國家自然科學基金資助項目( 40576041)。

陳子燊, (1952―), 男, 福建福州人, 教授, 研究方向: 河口海岸環境。 電子郵箱: eesczs@mail.sysu.edu.cn。