飽和孔隙介質中非均勻震電平面波

崔志文，高文陽，張 言，王克協

（吉林大學 物理學院，長春 130012）

1 引 言

液體飽和孔隙介質的波動理論在地球物理勘探、地震工程、巖土動力學、水下聲學、地基工程及醫學工程等領域有著重要的理論和實際指導意義。Biot發表的一系列孔隙介質中彈性波傳播的論文，奠定了孔隙固體的波動理論。Biot理論預測孔隙固體中存在兩種縱波，其中具有強頻散高衰減特性的第2類縱波，1980年被試驗證實。如今，孔隙介質波動問題已形成應用性很強的研究領域，并且受到了廣泛的重視[1－4]。

流體飽和孔隙介質是由固體骨架和孔隙電解質溶液組成的，總體上是顯電中性的。固體骨架表面通常吸附負離子，在其周圍電解質溶液的界面上則分布正離子，在固-液間形成了雙電層。當彈性波在地下流體飽和孔隙介質中傳播時，帶電液體和骨架會產生非同相振動，引起孔隙液體與固體骨架的相對運動，從而使孔隙流體中的帶電離子形成微電流，產生伴隨電磁場，并在不連續邊界處將會激發電磁波，這種與滲流有關的動電耦合效應稱為聲電效應，在地震頻率范圍又稱震電效應[5－6]。現場試驗和實驗室縮尺模型井都已經觀測到這種震電現象。試驗表明，產生在流體飽和孔隙介質中的震電信號具有可探測性，震電效應在地球物理測井、地震勘探、地震觀測預報等領域具有潛在的應用前景，已逐漸引起國內外學者的關注[7－9]。

流體飽和孔隙介質中的震電波的傳播特性的深入認識，對應用和理解震電效應無疑是有積極意義的。Pride 和Haartsen[6]給出了均勻孔隙介質中震電耦合波的基本解，并分析了耦合波的基本傳播特性。Gao和 Hu[9]針對天然地震誘導電磁場問題，采用Pride理論模擬孔隙地層震電效應，詳細研究了雙力偶源激發的震電波場。Buchen[10]、Borchert[11]等詳細研究了線性黏彈介質中的非均勻波的特點，劉占芳等[12]、崔志文等[13]和楊驍等[14]對飽和孔隙介質中非均勻波的基本傳播特點和能量特征進行了研究。非均勻平面波在耗散介質界面上傳播是一個理論和試驗研究中都令人感興趣的問題[15]。然而，對在孔隙介質中的非均勻震電平面波的傳播特征尚缺少認識。本文的目的就是給出非均勻震電平面波形式解，研究非均勻震電平面波在孔隙介質中傳播的基本特性。

2 Pride方程組的非均勻平面波解

在均勻孔隙介質中，沒有外加電流源和力源時，耦合彈性波-電磁場服從如下的Pride方程組[5－6]

式中：ω為角頻率；E、D、B、H分別是電場強度、電位移、磁感應強度和磁場強度；J是宏觀電流密度；w是滲流位移，w可用流相平均位移uf和固相位移u表示為w = φ(uf-u)；φ是孔隙度；P是孔隙流體壓強；τ是應力張量；I是二階單位張量；σ(ω)和L(ω)分別為孔隙介質的電導率和動電耦合系數；κ(ω)為動態滲透率；η和ρf分別是孔隙流體動力黏滯系數和密度；ρ是地層密度；G是地層剪切模量；H、C、M是孔隙介質彈性模量。

式(4)、(5)體現著巖石動電耦合，當L=0時，Pride方程組分解為由式(1)、(2)、(4)、(8)和式(9)表示的 Maxwell電磁方程組,其余方程表示的 Biot孔隙介質彈性動力學方程組。

為求解方便，基本場量u、w、E可用Helmholtz勢函數表示為[7]

式中：?、ξ、χ為縱波勢；Γ、Ψ、Υ為橫波勢。

2.1 縱波模式

縱波位移勢函數??滿足亥姆霍茲方程

而ξ、χ與?的關系為

其中

式中：s?為縱波復慢度(? = pf,ps分別代表快、慢縱波)，為孔隙介質的等效介電常數；為孔隙流體相對運動的等效密度，詳見文獻[6－7]。

由于流體飽和孔隙介質是耗散介質，因此可取縱波勢函數的非均勻平面波解為

式中：A?(? = pf,ps)為復常數， k = κ +i a是復波矢；κ是垂直于等相位面的傳播矢量，a是垂直于等振幅面的衰減矢量。用具有兩個矢量的復波矢表示耗散介質中的平面波能更好地表示它們的本性[10－16]。將式(15)代入方程式(11)得下列關系式

其中：Re[Z]和Im[Z]分別表示取復量Z的實部和虛部； γ( 0 ≤γ＜ π/2)是κ與a的夾角，為非均勻角。

2.2 橫波模式

橫波位移勢函數Γ滿足亥姆霍茲方程

而ψ、Υ與Γ的關系為

其中

式中：s?為橫波復慢度(? = sh,em 分別代表橫波和電磁波)。

取勢函數的非均勻平面波解為

式中：n是實單位矢量；A?為復常數；設復波矢k = κ +i a，κ與a的夾角 γ( 0 ≤γ＜ π/2)為非均勻角。

橫波模式的κ、a、Ω1、Ω2、γ的關系類同于式(17)。從式(17)可以看出，由于夾角γ不能確定，所以僅由Ω1、Ω2不能把κ和a完全確定，其值與波進入孔隙介質的狀態有關[13]，即由源和邊界條件決定,不能先驗地把γ取0。縱波和橫波的質點運動軌跡是κ和a組成的平面內的橢圓，與線性黏彈介質中的非均勻波的軌跡類似[16]。

3 非均勻震電平面波的能流

3.1 能流

為研究非均勻震電平面波的能量特征，首先從復能量平衡方程定義能流密度。Pride和Haartsen[6]已經從方程式(1)～(9)出發，推導出震電耦合波場的復能量平衡方程為

式中：*表示取共軛；g是等效機械力，表達式為

J是等效電流密度，表達式為

一般地，不能給出式(23)特定的物理意義，Pride和 Haarsten[6]詳細地討論了這個方程，這個方程只是耦合場的能量守恒表達。但當L=0時，復能量平衡方程分成聲場和電磁場的實部相加和虛部相加，流體飽和孔隙介質中聲場復能量特定的物理意義文獻[13]給予了詳細的討論。

Pride和Haarsten[6]給出了復能流的定義為

由此，平均能流的定義可寫為

這里下標e表示耦合場。

3.2 縱波平均能流

由于快縱波和慢縱波的能流形式相同，為方便表述，以下將角標pf、ps統一寫成p

由式(10)第1式和式(15)可得

對式(28)求時間的微商并取共軛得

由式(10)第 2、式(12)、(14)、(15)得滲流位移對時間微商的共軛為

由式(10)第 3、式(12)、(14)、(15)得

Pride[6]指出，在均勻孔隙介質中伴隨縱波的流動電流和傳導電流抵消，不存在凈剩電荷，因而不存在磁場。因此，只存在伴隨縱波的電場，不存在伴隨縱波的磁場。縱波雖然有伴隨電場，但不引起電磁波。在聲(震)電效應測井中，由于柱面界面的存在，所以這個認識不能用來解釋其波動現象[17]。

由式(6)和式(15)得，

式中：δij是狄拉克符號。

將應變-位移關系和式(15)代入式(7)得

由式(33)～(38)，平均能流表達式式(27)可表示為

將式(30)、(32)、(35)、(38)代入式(39)可得縱波的平均能流為

3.3 橫波平均能流

對橫波模式，為表述方便，將腳標 sh，em統一寫成s。橫波位移為

把式(41)對時間求微商并取共軛得

應力可表示為

由式(22)、(42)、(43)進一步可得下式

由式(10)和第1式(19)可得

由式(1)、(8)、(45)可得磁場

由式(45)、(46)進一步可得

上式與Biot流體飽和孔隙介質中的平面橫波平均能流的表達式一致[13]。

從式(40)和式(48)可見，非均勻震電耦合平面橫波與非均勻震電耦合平面縱波類似，流體飽和孔隙介質中非均勻震電平面橫波的平均能流在傳播矢量κ與衰減矢量a構成的平面內傳播，一般情況下，既不沿κ也不沿 a。只有在傳播矢量和衰減矢量同方向時，非均勻震電平面橫波的平均能流才沿著它們共同的方向傳播。

4 結 語

本文采用描述孔隙介質的震電耦合波的 Pride方程組，利用Helmholtz分解，求解了在流體飽和孔隙介質中傳播的非均勻震電平面波解，討論了其能量特征。結果表明，縱波和橫波的質點運動軌跡是各自傳播矢量和衰減矢量組成的平面內的橢圓。得到了縱波模式和橫波模式平均能流的表達式，每個模式的平均能流在傳播矢量和衰減矢量構成的平面內傳播。伴隨電磁場對縱波模式的平均能流沒有貢獻，與Biot流體飽和孔隙介質中的非均勻平面波的平均能流表達式相同。當動電耦合系數為0時，非均勻震電平面波的能流表達式可退化為Biot介質中彈性波的能流表達式。本文的研究結果不僅有助于更好地理解非均勻震電平面波的特點，而且對其在水平界面上的能量折、反射問題也具有參考意義。

[1]柯燎亮, 汪越勝, 章梓茂. 非均勻飽和土中 Love 波的傳播特性[J]. 巖土力學, 2004, 25(增刊2): 369－374.KE Liao-liang, WANG Yue-sheng, ZHANG Zi-mao.Properties of Love waves in inhomogeneous saturated soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(Supp.2): 369－374.

[2]祝彥知, 李冬霞, 方志. 橫觀各向同性飽和土體三維黏彈性動力分析[J]. 巖土力學, 2005, 26 (10): 1557－1564.ZHU Yan-zhi, LI Dong-xia, FANG Zhi. Three dimensional 3-D viscoelastic dynamic analysis of transversely isotropic fluid-saturated poroelastic soil in time domain[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(10):1557－1564.

[3]李堯, 崔志文, 張玉君, 等. 彈性波在流體與飽和孔隙固體界面上的反射[J]. 巖土力學, 2007, 28(8): 1595－1599.LI Yao, CUI Zhi-wen, ZHANG Yu-jun, et al. Reflection of elastic waves at fliud/fliud saturated poroelastic solid interface[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(8):1595－1599.

[4]姜領發, 陳善雄, 于忠久. 飽和土中任意形狀襯砌對穩態壓縮波的散射[J]. 巖土力學, 2009, 30(10): 3063－3070.JIANG Ling-fa, CHEN Shan-xiong, YU Zhong-jiu.Scattering around a liner of arbitrary shape in saturated soil under dilatational waves[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(10): 3063－3070.

[5]PRIDE S R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media[J].Physical Review B, 1994, 50(21): 15678－15696.

[6]PRIDE S R, HAARTSEN M W. Electroseismic wave properties[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1996, 100(3): 1301－1315.

[7]胡恒山, 王克協. 井孔周圍軸對稱聲電耦合波: (I)理論[J]. 測井技術, 1999, 23(6): 427－432.HU Heng-shan, WANG Ke-xie. Coupled acoustic and electromagnetic waves around a borehole embedded in a porous formation: Theory (I)[J]. Well Logging Technology, 1999, 23(6): 427－432.

[8]蘇巍, 劉財, 陳晨. 震電效應理論及其研究進展[J]. 地球物理學進展, 2006, 21(2): 379－385.SU Wei, LIU Cai, CHEN Chen. Progress of seismoelectric in theory and research[J]. Progress in Geophysics, 2006, 21(2): 379－385.

[9]GAO Yong-xin, HU Heng-shan. Seismoelectromagnetic waves radiated by a double couple source in a saturated porous medium[J]. Geophysical Journal International,2010, 181: 873－896.

[10]BUCHEN P W. Plane waves in liner viscoelastic media[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1971, 23(5): 531－542.

[11]BORCHERDT R D. Energy and plane waves in linear viscoelasticmedia[J]. Journal of Geophysical Research,1973, 78(14): 2442－2453.

[12]劉占芳, 李德源, 嚴波. 飽和多孔介質中的非均勻平面波[J]. 巖土力學, 1999, 20(4): 31－35.LIU Zhan-fang, LI De-yuan, YAN Bo. Inhomogeneous plane waves in a saturated porous medium[J]. Rock and Soil Mechanics, 1999, 20(4): 31－35.

[13]崔志文, 王克協, 胡恒山. 流體飽和孔隙介質中非均勻波的能量特征[J]. 吉林大學學報:地球科學版, 2004,34(增刊): 76－80.CUI Zhi-wen, WANG Ke-xie, HU Heng-shan. Energy characteristic of inhomogeneous waves in fluid-saturated porous media[J]. Journal of Jilin University: Earth Science Edition, 2004, 34(Supp.): 76－80.

[14]楊驍, 車京蘭. 飽和黏彈性多孔介質中的平面波及能量耗散[J]. 力學學報, 2005, 37(5): 579－585.YANG Xiao, CHE Jing-lan. Plane waves and their energy dissipations in a saturated viscoelastic porous medium[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2005, 37(5): 579－585.

[15]DESCHAMPS M. Reflection and refraction of the inhomogeneous plane wave, acoustic interaction with submerged elastic structures[M]. UK: World Scientific Publishing Company, 2001: 164－206.

[16]徐仲達. 地震波理論[M]. 上海: 同濟大學出版社,1996.

[17]胡恒山. 孔隙地層井壁上的聲波首波及其誘導電磁場的原因[J]. 物理學報, 2003, 52(8): 1955－1959.HU Heng-shan. Acoustic head wave on the borehole wall in a porous formation and the causes for its accompanying electromagnetic field[J]. Acta Physica Sinica, 2003, 52(8): 1955－1959.