斜邊非軸對(duì)稱位移邊界下球孔擴(kuò)張擠土分析

饒平平 ，李鏡培 ，劉 穎

（1. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；3. 南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院，南昌 330099）

1 引 言

近年來，國內(nèi)外學(xué)者及工程技術(shù)人員對(duì)沉樁擠土所帶來周圍環(huán)境的不利影響進(jìn)行了大量的研究，取得了顯著的研究成果[1－6]。然而，目前針對(duì)該問題的研究主要是基于平面應(yīng)變軸對(duì)稱假定的基礎(chǔ)上，應(yīng)用圓孔擴(kuò)張法、應(yīng)變路徑法以及有限元等方法分析，實(shí)際工程中很多施工場(chǎng)地所處的環(huán)境存在非軸對(duì)稱位移邊界，例如：①為避免沉樁對(duì)周圍環(huán)境（包括地下管線、已有建筑物基礎(chǔ)、道路等）的影響，在施工場(chǎng)地和已有建（構(gòu)）筑物之間修隔離墻、開挖隔離槽、設(shè)置應(yīng)力釋放孔和預(yù)鉆孔等，形成非軸對(duì)稱位移邊界條件[7]；②施工場(chǎng)地本來存在非軸對(duì)稱位移邊界條件，如施工場(chǎng)地靠近斜坡（邊坡）或碼頭岸坡問題。

非軸對(duì)稱位移邊界條件下沉樁擴(kuò)孔所造成的擠土效應(yīng)，對(duì)于這一問題目前尚缺乏充分地研究，沒有成熟的計(jì)算方法，對(duì)其擠土效應(yīng)機(jī)制也不是很清楚。我國上海的白蓮涇河在堤岸加固過程中，沉樁時(shí)岸坡發(fā)生嚴(yán)重的變形以及不同程度的裂縫[8]；浙江舟山20×104t油碼頭系纜墩，沉樁時(shí)產(chǎn)生了1 m多的位移，最后碼頭岸坡發(fā)生大滑坡，使得一個(gè)系纜墩全部滑入海中，損失慘重[9]。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用曲線坐標(biāo)變換方法，試圖研究非軸對(duì)稱位移邊界下圓孔擴(kuò)張問題，但其只能求解固定邊界條件下的應(yīng)力場(chǎng)及位移場(chǎng)，且解析過程較為繁瑣；文獻(xiàn)[10]采用位移-位移問題的假定，從球孔擴(kuò)張的基本解答出發(fā)，得到了水平自由位移邊界條件下的位移場(chǎng)，然而，實(shí)際工程大多數(shù)邊界不僅是水平自由位移邊界，而是存在不同傾斜角度。基于以上原因，本文針對(duì)現(xiàn)有球孔擴(kuò)張理論的不足，對(duì)球孔擴(kuò)張進(jìn)行改進(jìn)，采用鏡像方法，通過對(duì)地表邊界以及傾斜邊界應(yīng)力的修正，得到了非軸對(duì)稱位移邊界下的球孔擴(kuò)張擠土位移解答，并進(jìn)行參數(shù)影響分析。

2 基本理論及力學(xué)模型

沉樁擠土位移問題可以采用平面應(yīng)變假定的柱孔擴(kuò)張法和無限土體假定的球孔擴(kuò)張法模擬，但這些解答不能很好地反映沉樁擠土位移場(chǎng)的半無限空間特性，半無限空間和無限空間問題相比，增加了地表的自由邊界，因此，需要滿足地表邊界處豎向應(yīng)力及剪應(yīng)力同時(shí)為 0。針對(duì)本文研究的斜邊非軸對(duì)稱位移邊界下半無限球孔擴(kuò)張問題，作如下基本假定：①土體為均質(zhì)線彈性體，滿足虎克定律；②土體變形為小變形；③忽略土體的自重作用；④土體飽和，不可壓縮，且土體變形為位移-位移問題。

由于水平向位移邊界對(duì)水平及豎向位移影響較大，而對(duì)y方向的位移影響較小，因此，本文主要對(duì)水平及豎直方向位移進(jìn)行分析。如圖1所示，在半無限土體內(nèi)半徑為a的球孔擴(kuò)張，球孔坐標(biāo)為（0，0，h），在x=t處的位置存在水平自由位移邊界。假定邊界面光滑，根據(jù)對(duì)稱鏡像原理，在對(duì)應(yīng)于自由位移邊界處的位置設(shè)置鏡像收縮球孔，R1為孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)到球孔中心的距離，R2為孔周一點(diǎn) p(x, 0,z)到鏡像收縮球孔中心的距離，空間柱坐標(biāo)系下可以得到球孔擴(kuò)張后孔周任意一點(diǎn)p(x, 0,z)處的擠土位移場(chǎng)[10]：

圖1 水平自由位移邊界示意圖Fig.1 The sketch of horizontal displacement boundary

3 非軸對(duì)稱邊界球孔擴(kuò)張位移求解

3.1 非軸對(duì)稱邊界下無限土體球孔擴(kuò)張位移解答

具有一定傾斜角度的非軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張如圖 2所示，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)t處的位置存在一定坡度的自由位移邊界，斜面自由邊界傾斜角為?，同樣在相對(duì)應(yīng)斜面邊界鏡像位置設(shè)置鏡像收縮球孔，R1為孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)到球孔中心的距離，R3為孔周一點(diǎn) p(x, 0,z)到鏡像收縮球孔中心的距離。

圖2 非軸對(duì)稱位移邊界擴(kuò)孔示意圖Fig.2 The sketch of cavity expansion with nonaxisymmetric displacement boundary

由圖3可知，R3的表達(dá)式與h、t和θ三者的關(guān)系有關(guān)，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可以得到：

①當(dāng)鏡像收縮孔位于地表面以上時(shí)，如圖3(a)所示，即 h＞tt an2θ情況下。

②當(dāng)鏡像收縮孔位于地表面以下時(shí)，如圖3(b)所示，即 h＜tt an2θ情況下。

同理可得R3的表達(dá)式為

③當(dāng)鏡像收縮孔剛好位于地表面時(shí)，如圖3(c)所示，即 h=tt an2θ情況下。

式中：θ為斜面邊界與豎直方向的夾角，θ=90°-?。

圖3 非軸對(duì)稱位移邊界擴(kuò)孔示意圖Fig.3 The sketch of spherical cavity expansion with nonaxisymmetric displacement boundary

同理可得具有一定傾斜角度的非軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張后孔周任意一點(diǎn) p(x, 0,z)處的擠土位移表達(dá)式為

當(dāng)θ=0°時(shí)，式(6)、(7)可以退化到式(1)、(2)，即文獻(xiàn)[10]解答，當(dāng)θ=90°時(shí)，式(6)、(7)可以退化為文獻(xiàn)[11]的解答。

土體應(yīng)變可根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得到：

式中：εx與εz為土體x與z軸方向應(yīng)變；γxz為剪應(yīng)變。

3.2 地表邊界應(yīng)力修正

上述3.1節(jié)非軸對(duì)稱位移邊界球孔擠土位移表達(dá)式是基于無限土體空間的假定而得到的，為反映擴(kuò)孔擠土位移場(chǎng)的半無限空間特性，有必要對(duì)地表自由邊界以及傾斜邊界應(yīng)力進(jìn)行修正，修正后需要滿足的邊界條件為：地表以及傾斜邊界豎向應(yīng)力與剪應(yīng)力同時(shí)為0。

對(duì)于地表應(yīng)力邊界而言，可以分成兩種情況來討論，分別采用不同的應(yīng)力函數(shù)解答來分析：

對(duì)于滿足情況①的邊界條件彈性力學(xué)問題，可以采用以下應(yīng)力函數(shù)解答來求解[12]：

式中：f為應(yīng)力修正函數(shù)；G為土體剪切模量。

相應(yīng)的位移為

式中： v 為土體泊松比， Sx′、 Sz′為修正豎向應(yīng)力產(chǎn)生的水平及豎向位移。

對(duì)于滿足情況②的邊界條件彈性力學(xué)問題，可以采用以下應(yīng)力函數(shù)解答來求解[12]：

式中：g為應(yīng)力修正函數(shù)。

相應(yīng)的位移為

式中： Sx′、 Sz′為修正剪應(yīng)力的水平及豎向位移。

取修正應(yīng)力函數(shù)為

式中：A、B為待定常數(shù)；R4與R4t是由邊界條件而得到的修正函數(shù)表達(dá)式，其中R4為球孔(真實(shí)源)關(guān)于地表面對(duì)稱位置到 p(x, 0,z)點(diǎn)的距離，為鏡像收縮孔(鏡像匯)關(guān)于水平地表面對(duì)稱位置到 p(x, 0,z)點(diǎn)的距離，同理，R4t的表達(dá)式也需根據(jù)具體情況而定，具體如下：

函數(shù) f、g的表達(dá)式滿足?2f=0，?2g=0，根據(jù)式(6)、(7)可得在邊界z=0處的豎向應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

又由于

將式(9)代入式(26)中，結(jié)合式(24)及式(26)可得：

將A，B表達(dá)式代入修正應(yīng)力函數(shù)后，再代入位移解答中，可得修正豎向應(yīng)力產(chǎn)生的位移為

式中： Rc= x2+ (z +h)2

當(dāng) h＞tt an2θ時(shí)，

當(dāng) h ≤ tt an2θ時(shí)：

同理，可得修正剪應(yīng)力產(chǎn)生的位移為

3.3 斜面自由邊界應(yīng)力修正

如圖2所示，真實(shí)源與鏡像匯共同作用下在斜面邊界上產(chǎn)生了一個(gè)附加剪應(yīng)力τxz，為了消除剪應(yīng)力的影響，需要一個(gè)與之大小相等，方向相反的剪應(yīng)力-τxz來平衡，以恢復(fù)斜面邊界表面無約束的情況，由于彈塑性情況下很難求出其解析解，因此，假定土體是線彈性材料，則由式(6)、(7)可得到剪應(yīng)變：

式中：γxz為斜面邊界上的剪應(yīng)變； Q=[t +z/cosθ - 2(h tan θ+ t )cos2θ]； T = [z - h + (h tan θ+t)sin2θ]。

故相應(yīng)的剪應(yīng)力為

根據(jù)Cerruti解答可得斜面邊界上的剪應(yīng)力-τxz作用下球孔周圍產(chǎn)生的位移場(chǎng)：

結(jié)合式(35)～(38)即可得到斜面邊界上修正的剪應(yīng)力對(duì)土體產(chǎn)生的位移場(chǎng)。

根據(jù)上述推導(dǎo)，可得到地表面以及斜面自由邊界應(yīng)力修正后的非軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張土體位移解答：

3.4 對(duì)本文解答的討論

本文推導(dǎo)的解答為斜邊非軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張擠土位移解答。由于文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)的非軸對(duì)稱位移邊界下球孔擴(kuò)張位移解答僅能適用于θ=0°情況下，且并未對(duì)非軸對(duì)稱邊界上產(chǎn)生的剪應(yīng)力進(jìn)行修正，因此，文獻(xiàn)[10]得到的只是近似意義上的解答，令θ=0°，式(39)中的前三項(xiàng)可以退化到文獻(xiàn)[10]的解答。本文解答中，令θ=90°，則式(39)、(40)可退化到軸對(duì)稱位移邊界條件下半無限土體擴(kuò)孔解答，即文獻(xiàn)[11]的解答。因此，文獻(xiàn)[10]、[11]中解答僅為本文解答的一個(gè)特解，本文解答除可以考慮球孔離邊界不同距離、不同孔徑大小的擠土位移外，還可考慮邊界的不同傾斜角度對(duì)應(yīng)的位移變化規(guī)律。

另外，由本文解答的推導(dǎo)過程可以看出，地表面自由邊界處的正應(yīng)力及剪應(yīng)力均被修正；由于真實(shí)源與鏡像匯相互作用后，斜面邊界的正應(yīng)力為0，不需修正，斜面自由邊界的剪應(yīng)力也通過 Cerruti解答得到了修正，因此，本文方法得到的位移解可為非軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張后位移分析提供理論基礎(chǔ)。如將單個(gè)球孔擴(kuò)張擠土位移擴(kuò)展至一系列球孔擴(kuò)張便可得到非軸對(duì)稱位移邊界條件下單樁沉樁的擠土位移解答，該解答對(duì)預(yù)估鄰近斜坡、岸坡等條件下沉樁產(chǎn)生的擠土位移具有一定的參考和現(xiàn)實(shí)意義。

4 分析與討論

由于能考慮自由邊界角度θ的變化對(duì)擠土位移的影響是本文解答的特色及創(chuàng)新之處，同時(shí)邊界角度θ也是影響鄰近基坑斜坡、邊坡及碼頭岸坡等非軸對(duì)稱位移邊界條件下擠土位移的重要因素之一，故本文將重點(diǎn)分析參數(shù)θ及參數(shù)θ與其他不同因素的組合對(duì)擠土位移的影響。為分析各具體因素對(duì)解析解的影響規(guī)律及敏感性，假定泊松比ν=0.5，在其他參數(shù)保持不變的前提下，只使一個(gè)因素在一定范圍內(nèi)變化。

4.1 θ 對(duì)擠土位移的影響

不同邊界角度θ對(duì)孔周擠土位移的影響如圖 4所示，為準(zhǔn)確分析θ變化對(duì)擠土效應(yīng)的影響，令擠土總位移由圖4(a)可以看出，在球孔深度范圍內(nèi)，水平擠土位移及總位移隨著深度的增大而逐漸增大，且在球孔所處深度位置的擠土位移最大，此后隨著深度的增大而逐漸減小；當(dāng)邊界角度θ=0°時(shí)，即豎直自由邊界情況下，靠近自由邊界一側(cè)的最大水平擠土位移為35.3 mm，最大總位移為36.4 mm，受位移邊界非軸對(duì)稱因素的影響，遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)相同距離位置處的最大水平位移為23.0 mm，最大總位移為23.6 mm，僅為靠近自由邊界一側(cè)位移的 65.2%和 64.8%，因此，在實(shí)際工程中應(yīng)充分重視非軸對(duì)稱位移邊界的影響。

隨著θ角度的不斷增大，靠近自由邊界一側(cè)的水平位移及總位移逐漸減小，當(dāng)θ=15°，最大水平擠土位移減小至 26.8 mm，最大總位移減小至27.4 mm；當(dāng)θ=90°，模型退化為半無限土體空間下球孔擴(kuò)張問題，此時(shí)最大水平位移為 24.8mm，最大總位移為 25.5 mm。也就是說，θ=15°、90°比θ=0°時(shí)水平位移以及總位移分別減小了24.1%、29.7%和24.7%、29.9%，說明θ越大，θ角度對(duì)位移的影響幅度越小。對(duì)于遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)擠土位移而言，θ=15°、90°比θ=0°時(shí)水平位移以及總位移分別增大了3.5%、7.8%和3.8%、8.1%，也就是說，擠土位移隨著θ的增大而增大，但θ角度變化對(duì)其影響幅度不大。

圖4較好地解釋了在實(shí)際鄰近斜坡沉樁擴(kuò)孔工程中自由邊界傾斜越陡(即參數(shù)θ越小)，斜坡擠土位移越大，相應(yīng)地斜坡穩(wěn)定性也越差。但需要注意的是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，如斜坡較陡需要削坡時(shí)，在確保斜坡安全和經(jīng)濟(jì)的前提下，應(yīng)根據(jù)工程實(shí)際情況和斜坡允許的最大擠土位移，合理確定邊界傾斜角度。

圖4 不同θ 對(duì)擠土位移的影響Fig.4 The influence of θ on the displacement

4.2 t 對(duì)擠土位移的影響

球孔離邊界不同距離t對(duì)擠土位移的影響如圖5所示，可以看出，對(duì)于靠近自由邊界一側(cè)而言，隨著t值的增大，相同位置的水平位移逐漸減小，且 t值的不斷增大對(duì)水平位移的影響幅度逐漸減小，如當(dāng)θ=0°時(shí)，t=4a、t=5a所對(duì)應(yīng)的水平位移分別比t=3a減小51.7%和71.8%；另外，t值的改變對(duì)遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)位移影響規(guī)律與靠近自由邊界一側(cè)相同，但相同條件下遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)水平位移值比靠近自由邊界一側(cè)要小。圖5從理論上解釋了鄰近斜坡擴(kuò)孔工程中，球孔離斜坡越近，擴(kuò)孔后其擠土位移越大。

圖5 不同θ 下t對(duì)擠土位移的影響Fig.5 The influence of t on the displacement with different values of θ

5 結(jié)論及展望

（1）本文所得解答不僅適用于具有不同自由邊界傾斜角度的非軸對(duì)稱位移邊界條件下的球孔擴(kuò)張，還可以退化為軸對(duì)稱位移邊界條件下球孔擴(kuò)張位移解答，具有廣泛的實(shí)用性，可為類似工程擠土位移控制及參數(shù)設(shè)置提供參考。

（2）隨著邊界角度θ的不斷增大，靠近自由邊界一側(cè)的擠土位移逐漸減小，但對(duì)遠(yuǎn)離自由邊界一側(cè)球孔擠土位移影響不大，該結(jié)論較好地解釋了在實(shí)際鄰近斜坡沉樁擴(kuò)孔工程中，自由傾斜邊界越陡(即參數(shù)θ越小)，斜坡擠土位移越大，相應(yīng)地斜坡穩(wěn)定性也越差。

（3）對(duì)于靠近自由邊界一側(cè)而言，隨著球孔離邊界不同距離的增大，相同位置的擠土位移逐漸減小。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)工程實(shí)際情況和斜坡允許的最大擠土位移，合理確定球孔與斜坡傾斜表面的距離。

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