初始孔壓非均布條件下散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論研究

張玉國(guó)，岳 峰，謝康和

（1. 中原工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，鄭州 450007；2. 中原工學(xué)院 現(xiàn)代教育技術(shù)中心，鄭州 450007；3. 浙江大學(xué) 巖土工程研究所，杭州 310027）

1 引 言

國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)解析理論均是建立在初始孔壓均布的基礎(chǔ)之上[1－15]，而在實(shí)際工程中，外部荷載并不是連續(xù)的均布荷載，其在地基中產(chǎn)生的附加應(yīng)力是沿深度變化的。因此，開(kāi)展初始孔壓非均布條件下散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論的研究，既有理論意義更有實(shí)際價(jià)值。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 計(jì)算簡(jiǎn)圖與基本假定

圖1為考慮初始孔壓非均布的散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)計(jì)算簡(jiǎn)圖。H為軟黏土層的厚度，、分別為地基土體水平向及豎向滲透系數(shù)；為樁體周圍擾動(dòng)區(qū)水平向滲透系數(shù)，為樁體內(nèi)豎向滲流時(shí)樁體滲透系數(shù)，、分別為土體和樁體的壓縮模量，、、分別為散體材料樁半徑、擾動(dòng)區(qū)半徑和排水影響區(qū)半徑，q為一次瞬時(shí)施加的外部荷載，其引起的沿深度方向分布的非均布初始孔隙水壓力(z)，具體見(jiàn)圖2，r、z為徑向及豎向坐標(biāo)，設(shè)地基的排水條件均為PTIB，即頂面透水、底面不透水。

圖1 計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Sketch of simplified computation model

圖2 初始孔壓分布Fig.2 Nonuniform distribution of initial excess pore water pressure along depth

基本假定如下：

①等應(yīng)變條件成立，即同一深度處地基土體和樁體的豎向變形相等；②忽略樁體內(nèi)的徑向滲流；③擾動(dòng)區(qū)與未擾動(dòng)區(qū)土體除徑向滲透系數(shù)不同外，其他性質(zhì)相同；④土體中水的滲流服從Darcy定律；⑤任一深度z處從土體中沿樁周流入樁體的水量等于樁體中向上水流的增量；⑥荷載一次瞬時(shí)施加，引起的初始孔壓沿深度方向是非均勻分布的。

2.2 固結(jié)方程及求解條件

對(duì)于散體材料樁復(fù)合地基，由平衡條件和基本假定，得：

由式(1)、(2)，得：

Barron等應(yīng)變條件下基本固結(jié)方程為

邊界條件：

初始條件：

式中：un、us、uw分別為土體未擾動(dòng)區(qū)、擾動(dòng)區(qū)和樁體內(nèi)任一點(diǎn)的孔壓；分別為土體和散體材料樁體中任一深度處的平均總應(yīng)力；為土體中任一深度處的平均孔壓和豎向應(yīng)變；n=re/rw； s=rs/rw； Y=Ew/Es；pT、pB分別為土層頂面和底面的初始孔壓值，當(dāng) pT= pB= p0時(shí)，初始孔壓均布，如圖 2(a)所示；當(dāng)pT=0時(shí)，初始孔壓沿深度呈正三角形分布，如圖 2(b)所示；當(dāng)pB= 0時(shí)，初始孔壓呈倒三角形分布，如圖 2(c)所示；當(dāng) pT≠pB≠ 0時(shí)，初始孔壓呈梯形分布，如圖2(d)所示。

3 方程求解

參照文獻(xiàn)[12]有關(guān)散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)方程的求解方法，根據(jù)方程式(4)～(7)和邊界條件式(8)～(10)，可求得：

由式(16)和(17)得：

聯(lián)立式(3)、(16)和(17)，有：

對(duì)式(21)采用分離變量法求解，令uw= Zw(z)T(t)，利用式(18)和邊界條件式（11）～（12），可求得：

根據(jù)初始條件式(13)和式(22)，并利用三角函數(shù)正交性，可以求得：

所以，有

現(xiàn)在，可以求得復(fù)合地基任一深度處的固結(jié)度和總平均固結(jié)度如下：

根據(jù)初始孔壓u0(z)分布情況（見(jiàn)圖 2），下面將進(jìn)一步給出各特殊情況下的復(fù)合地基平均孔壓和平均固結(jié)度表達(dá)式。

情況1：初始孔壓矩形分布，見(jiàn)圖2(a)：

此時(shí)， pB=pT=p0，則式(29)和式(34)退化為文獻(xiàn)[12]給出的一次瞬時(shí)加載初始孔壓均布的散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)解析解，即

情況 2：初始孔壓正三角形分布，見(jiàn)圖 2(b)，此時(shí)，pT=0，則由式(29)和式(34)得

情況 3：初始孔壓倒三角形分布，見(jiàn)圖 2(c)，此時(shí)，pB=0，同樣，由式(29)和式(34)得

至此，給出了關(guān)于初始孔壓非均布條件下的（僅考豎向滲流）散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)解析解。現(xiàn)有解[12]為本文解的特例。

4 計(jì)算與分析

基于上述解，由式(29)～(41)可以看出，考慮初始孔壓非均布時(shí)散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)主要受以下無(wú)量綱化參數(shù)影響：n、s、H /dw、kh/kv、kh/ks、kh/ kw、 Ew/Es和 pB/pT。根據(jù)本文解編制計(jì)算程序，對(duì)固結(jié)規(guī)律進(jìn)行研究分析。圖3～12為計(jì)算結(jié)果，圖中Tezerghi曲線即為根據(jù)Tezerghi解繪制的曲線，代表了樁體直徑為 0、無(wú)水平向滲流和土體壓縮模量均一時(shí)（或即天然地基）的固結(jié)曲線，其余曲線的參數(shù)詳見(jiàn)圖中文字。

圖3～8反映的是基于各參數(shù)對(duì)復(fù)合地基固結(jié)過(guò)程的影響。

從圖3可見(jiàn)，在單面排水條件下，初始（或起始）孔壓為正三角形分布時(shí)固結(jié)最慢，初始孔壓為矩形分布（即均布）時(shí)固結(jié)較快，初始孔壓為倒三角形分布時(shí)固結(jié)最快。

圖4給出的是 pB/pT對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線。從中可見(jiàn)： pB/pT比值越小，固結(jié)越快。

圖5反映的是 kh/ks對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響。圖 6為 kh/ks和n對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線圖。圖7是n對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線圖。這些圖中曲線顯示，kh/ks和n值越小，固結(jié)就越快。

從圖8所示的Y（即 Ew/Es）對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線可見(jiàn)，樁體壓縮模量越大，固結(jié)越快。

圖9～12展現(xiàn)了初始（或起始）孔壓不同分布時(shí)地基中超靜孔壓的分布情況。

從圖9、10所示的初始孔壓均布和正三角形分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線，由圖可知，超靜孔壓隨著Tv值的增大而逐漸消散，在固結(jié)過(guò)程中，地基底部孔壓總是最大值。

圖3 對(duì)應(yīng)于不同起始（或初始）孔壓分布的固結(jié)曲線Fig.3 The consolidation curves corresponding to different initial excess pore water pressure distributions

圖4 pB /pT變化對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線Fig.4 The influence of pB /pT on consolidation process

圖5 kh /ks對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線Fig.5 The influence of kh /ks on consolidation process

圖6 kh /ks和n對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線Fig.6 The influence of kh /ks and n on consolidation process

圖7 n對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線Fig.7 The influence of n on consolidation process

圖8 Ew /Es對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響曲線Fig.8 The influence of Ew /Es on consolidation process

圖9 初始孔壓均布條件下的超靜孔壓等時(shí)線Fig.9 The excess pore pressure isochrones under the uniform distribution of initial excess pore water pressure

圖10 初始孔壓正三角形分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線Fig.10 The excess pore pressure isochrones under the triangle distribution of initial excess pore water pressure

圖11 初始孔壓倒三角形分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線Fig.11 The excess pore pressure isochrones under the inverted triangle distribution of initial excess pore water pressure

圖12 初始孔壓梯形分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線( pB /pT =0.5)Fig.12 The excess pore pressure isochrones under the trapezoidal distribution of initial excess pore water pressure ( pB /pT =0.5)

根據(jù)圖 11中初始孔壓倒三角形分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線，分析可知，Tv值越大，超靜孔壓等時(shí)線越平緩，且最大孔壓值的位置由地基頂部向底部逐漸轉(zhuǎn)移；在固結(jié)過(guò)程中，底部孔壓值的變化呈現(xiàn)從小變大、再變小的特點(diǎn)。

圖12為初始孔壓梯形(pBpT= 0.5)分布條件下的超靜孔壓等時(shí)線。通過(guò)比較圖9、11和12可知，圖 12中的超靜孔壓變化規(guī)律與初始孔壓倒三角形分布條件下的超靜孔壓變化規(guī)律相類似；另外，隨著 pBpT的增大，特別是 pBpT趨近于1時(shí)，地基底部孔壓“從小變大、再變小”這一變化特點(diǎn)會(huì)消失。

5 結(jié) 論

（1）本文求得了初始孔壓非均布條件下僅考慮樁體內(nèi)豎向滲流的散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)解。

（2）在單面排水條件下，初始孔壓為正三角形分布時(shí)固結(jié)最慢，矩形分布（均布）時(shí)固結(jié)較快，倒三角形分布時(shí)固結(jié)最快； pBpT、kh/ks和n值越小，固結(jié)越快；樁體壓縮模量越大，固結(jié)越快。

（3）初始孔壓均布和正三角形分布時(shí)，超靜孔壓隨Tv值的增大而逐漸消散，在固結(jié)過(guò)程中地基底部孔壓總是最大值；初始孔壓倒三角形和梯形（ pBpT= 0.5）分布時(shí)，Tv值越大，孔壓等時(shí)線越平緩，孔壓最大值位置由地基頂部向底部轉(zhuǎn)移，在固結(jié)過(guò)程中底部孔壓的變化呈現(xiàn)“從小變大、再變小”的特點(diǎn)；當(dāng)初始孔壓為梯形分布，同時(shí)， pBpT值趨近于1時(shí)，底部孔壓的這一變化特點(diǎn)會(huì)消失。

[1]BALAAM N P, BOOKER J R. Analysis of rigid rafts supported by granular piles[J]. International Journal for Numerical Analytical Methods in Geomechanics, 1981,(5): 379－403.

[2]XIE K H, XU Y, HU A F. Study on consolidation of composite foundation under highway[C]//Proc. of 12th Asian Regional Conf. on Soil Mechanics and Geotechnical Engrg.. Singapore: [s. n.]: 2003.

[3]王瑞春. 豎井地基和散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)解析研究[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2001.

[4]張玉國(guó). 散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)理論研究[D]. 杭州:浙江大學(xué), 2005.

[5]謝康和. 砂井地基: 固結(jié)理論、數(shù)值分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)[D].杭州: 浙江大學(xué), 1987.

[6]WANG Xu-sheng, JIU J J. Analysis of soil consolidation by vertical drains with double porosity model[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2004, (28): 1385－1400.

[7]張玉國(guó), 謝康和, 應(yīng)宏偉, 等. 雙面半透水邊界的散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2005,27(3): 304－307.ZHANG Yu-guo, XIE Kang-he, YING Hong-wei, et al.Consolidation analysis of composite foundation of granular columns with impeded boundaries[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2005, 27(3): 304－307.

[8]謝康和. 雙層地基一維固結(jié)理論與應(yīng)用[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1994, 16(5): 24－35.XIE Kang-he. Theory of one dimensional consolidation of double-layered ground and its applications[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 16(5): 24－35.

[9]謝康和, 潘秋元. 變荷載下任意層地基一維固結(jié)理論[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1995, 17(5): 80－85.XIE Kang-he, PAN Qiu-yuan. One-dimensional consolidation theory of layered systems under time-dependent loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995, 17(5): 80－85.

[10]蔣軍, 陳龍珠. 長(zhǎng)期循環(huán)荷載作用下粘土的一維沉降[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2001, 23(3): 366－369.JIANG Jun, CHEN Long-zhu. One-dimensional settlement due to long-term cyclic loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2001, 23(3): 366－369.

[11]王瑞春, 謝康和. 變荷載豎向排水井地基粘彈性固結(jié)沉降解析解[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 2001, 34(6): 93－99.WANG Rui-chun, XIE Kang-he. Analytical solutions for viscoelastic consolidation by vertical drains under time-dependent loading[J]. China Civil Engineering Journal, 2001, 34(6): 93－99.

[12]TANG X W. A study for consolidation of ground with vertical drain system[D]. Japan: Saga University, 1998.

[13]XIE K H, GAO P, XIE X Y. Consolidation theory for soft clays reinforced by cement or granular columns[C]//Proceedings of Computer Method and Advances in Geomechanics. Rotterdam: Balkerma, 2001:1263－1268.

[14]ZHANG Y G, XIE K H, WANG Z. Consolidation analysis of composite ground improved by granular columns considering variation of permeability coefficient of soil[C]//Proceedings of Ground Modification and Seismic Mitigation. [S. l.]: [s. n], 2006.

[15]張玉國(guó), 海然, 謝康和. 變荷載下散體材料樁復(fù)合地基固結(jié)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2009, 31(6): 939－945.ZHANG Yu-guo, HAI Ran, XIE Kang-he. Consolidation of composite ground with granular columns under time-dependent loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2009, 31(6): 939－945.