飽和凍土中彈性波的傳播特性

周鳳璽 ，賴遠明

（1. 中國科學院 寒區旱區環境與工程研究所，蘭州 730000；2. 蘭州理工大學 土木工程學院，蘭州 730050）

1 引 言

凍土作為一種特殊土體，是以土顆粒構成骨架，其孔隙被冰、水和氣體混合物填充而形成的多孔介質，其力學行為包括多孔介質的滲流場、應力場和溫度場的耦合及孔隙液態水和孔隙冰相互轉變等諸多作用[1－2]。混合物理論[3]為解決這類復雜多相介質的物理力學問題提供了強有力的工具。陳飛熊等[4]依據混合物連續介質理論提出了正凍土的控制微分方程的理論框架，建立了在飽和凍土的質量守恒方程與熱、能守恒方程，數學模型中全面考慮了凍土顆粒骨架、冰、水三相介質水、熱、力與變形真正的耦合作用。陸宏輪[5]應用混合物理論，建立了凍融過程中飽和多孔介質的滲流場、應力場和溫度場耦合作用的數學模型。該模型可簡化為未凍區的 3場耦合模型，兩場耦合的滲流-彈性模型，熱-彈性模型和熱-滲流模型，以及單場作用的滲流模型，彈性模型和熱傳導模型。苗天德等[6－7]在連續統力學的混合物理論框架下研究了凍土的力學、熱學性質并建立了相應的本構關系。國內外學者應用多孔介質波動理論已經對水飽和土中波的傳播進行了大量研究，具體可參見文獻[8－9]，此外，夏唐代等[10]分析了氣飽和土中彈性波的傳播特性，研究了氣體對干土中彈性波傳播特性的影響。近年來對 非飽和土中波的傳播特性的研究也取得了一些成果，徐明江等[11]基于混合物理論，借助Bishop有效應力公式，建立了非飽和土中的動力控制方程，并且給出了體波的傳播速度及衰減的解析表達式。Lu等[12－13]應用混合物理論，建立了非飽和多孔介質的線性化等溫動力模型，利用熱力學關系給出了應力、孔隙壓力的本構關系，并通過數值算例分析了非飽和土中波速以及衰減的特性；Carcione[14]基于混合物理論，數值分析了非飽和土中毛細力對體波傳播特性的影響；Lo[15]通過對表面自由的非飽和半無限多孔介質中Rayleigh波傳播特性的研究，發現與縱波相似，非飽和土中也存在3種Rayleigh波。而對彈性波在凍土中傳播特性的研究則少見文獻報道。

凍土中雖然冰和土顆粒都是固態的，但它們對未凍水的作用，及其所承受的應力都是截然不同的。所以在建立凍土的混合物理論模型時，必須把冰分離出來作為獨立的一相考慮。本文采用混合物理論，建立了飽和凍土的波動控制方程，給出了縱波和橫波傳播速度的解析表達式，通過數值算例分析了頻率、含冰量等因素對飽和凍土中彈性波傳播特性的影響。

2 動力控制方程

基于混合物理論，考慮飽和凍土由土體骨架顆粒、孔隙液態水以及孔隙冰組成，各組成成分的體積分數分別為

式中：n為多孔介質的孔隙率；下標s、w、i分別表示飽和凍土中的土顆粒、孔隙液態水以及孔隙冰；Sr為孔隙液態水的飽和度。

2.1 運動方程

飽和凍土的運動方程用總應力可表示為

式中：σij為土體受到的總應力，下標i，j=1，2，3，為坐標分量；u、 uw、ui分別為骨架顆粒、孔隙液態水以及孔隙冰的位移； ρα(α =s,w,i)為土顆粒、液態水以及孔隙冰的表觀密度，與各組分材料的真實密度ρα之間有如下關系：

根據Darcy定律，未凍水在孔隙中的滲流運動方程為

式中：η和k分別表示孔隙水的動力黏度和滲流系數。

2.2 幾何方程

考慮小變形情況，則幾何關系為

式中：εij為土體骨架的應變。

2.3 本構關系

飽和凍土的有效應力采用 Bishop有效應力公式可表示為[6]

對于等溫條件下，依據彈性理論，土體應力-應變關系可表示為

式中：λ和μ為骨架的Lame常數；εv為骨架顆粒的體積應變；

根據多孔介質混合物理論，總應力為

結合式（6），可得到作用于土顆粒的應力

忽略孔隙水及孔隙冰的黏性，土顆粒、孔隙未凍結水以及孔隙冰的應力-應變關系為

式中：Ks、Kw和Ki分別為土顆粒，孔隙水和孔隙冰的體積模量。

2.4 連續方程

為了簡化起見，不考慮各相之間的質量傳遞，這并不影響對波傳播特性的分析，則各相的連續性方程為

根據飽和度Sr的定義，有

進一步整理式（13）后可得

2.5 波動方程

通過方程式（2）、（4）、（5）和（8），并考慮等速假設可以得到用位移矢量形式表示的運動微分方程和滲流運動方程

方程式（14）和（15）構成了飽和凍土的動力控制方程。考慮飽和非凍土，即χ=1，Sr=1，此時，可完全退化到經典的Biot飽和介質波動方程。

3 飽和凍土中彈性波解答

3.1 壓縮波

對方程（15）和（14）兩邊取散度運算，可得

考慮彈性波僅沿z軸方向傳播，可令

式中：ω為圓頻率；lp為縱波的波矢量。

將式（17）代入方程（16），整理后可得

整理方程組（18）后可得

若方程式（19）有非0解，則系數必須滿足

由彌散方程式（20）可以得到

可知飽和凍土中存在兩中壓縮波（P1，P2），其波速和波衰減系數為

3.2 剪切波

對方程（15）和（14）兩邊取旋度運算，可得

考慮彈性波僅沿z軸方向傳播，并且假設

式中：ls為橫波的波矢量。

將式（24）代入方程（23）中，整理后可得

由式（25）可得到

則橫波的波速和波衰減系數為

4 數值結果

通過第2節的理論推導可知，飽和凍土中體波的傳播速度不僅與頻率有關，而且還與未凍水的飽和度以及土體孔隙比等因素有關。為了更好地說明體波的傳播特性，選取表1、2所示的土參數，對兩種壓縮波以及剪切波的傳播特性進行參數分析。

表1 凍土物理力學特性Table 1 Physico-mechanical properties of frozen soil

表2 水和冰的物理力學特性Table 2 Physico-mechanical properties of water and ice

取凍土孔隙比為n =0.27，考慮頻率的變化范圍為 10-2～106Hz ，算例中取等效應力系數 χ= Sr。圖 1、2給出了不同飽和度時兩種縱波 P1、P2和橫波S的波速以及波衰減系數隨頻率的變化曲線。從圖中可以看出，波速在不同的頻率區段具有不同的彌散性和衰減性，從而可以將飽和凍土的波頻劃分為高、中、低3個頻段，并且不同的波其彌散程度不同，如果引入描述彌散程度的參數[16]

式中：Vj∞、Vj0分別為頻率趨近于無窮大和0時的波速。通過計算可知，P2波的彌散度最大，其次是P1波和 S波，且隨著飽和度Sr的不同彌散度aω的值也不相同。圖1表明，隨著飽和度的減小，即隨著凍土中含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大，在高頻段將減小。從圖 2可以清楚地看到，P1波和 S波的衰減比 P2波的衰減要小，并且受未凍水含量的影響很大。

圖1 P1、P2、S波速與頻率的關系Fig.1 Relations between the velocity and frequency of P1, P2 and S wave

圖2 P1、P2、S波衰減與頻率的關系Fig.2 Relations between the attenuation and frequency of P1, P2 and S wave

圖 3分別繪出了含冰量為 0時的一般飽和土(Sr= 1.0,ni= 0)以及Sr=0.3和Sr=0.6時的飽和凍土的縱波P1和橫波S的波速隨頻率的變化曲線。從圖中可以看出，在低頻段冰顆粒對波速的影響不是很顯著，而在高頻段隨著含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大在高頻段將減小。可見冰顆粒對波傳播的影響與波的類型以及外界激勵的頻率有密切的關系。

取頻率 ω=1× 103Hz，考慮孔隙率的變化范圍為 n= 0.05～0.45，圖4、5繪出了不同飽和度情形下，波速以及衰減與孔隙比的關系曲線。從圖中可見，隨著孔隙率的增大，P1波和P2波的波速將減小，而S波的波速反而增大，且基本成線性關系，而飽和度對其影響不是很大。同樣從圖4可以看出，P1波和S波的衰減比P2波的衰減要小得多。圖6為凍土密度（ ρ= (1 - n )ρs+ nρw+ n (1 - Sr)ρi）和S波波速之間的關系，可見兩者具有很好的線性關系，這表明現場測得的剪切波要比縱波能更好地反映土骨架顆粒的物性指標。

圖3 P1、S波速與頻率的關系Fig.3 Relations between the velocity and frequency of P1,and S wave with different values of Sr

圖4 P1、P2、S波速與孔隙率的關系Fig.4 Relations between the velocity and void ratio of P1, P2 and S wave with different values of Sr

圖5 P1、P2、S波衰減與孔隙率的關系Fig.5 Relations between the attenuation and void ratio of P1, P2 and S wave with different values of Sr

圖6 凍土密度與橫波波速的關系Fig.6 Relationships between soil density and S wave velocity

5 結 論

本文基于混合物連續介質理論對飽和凍土中彈性波的傳播特性進行了研究，通過理論分析以及數值計算，可以得到以下結論：

（1）飽和凍土中與一般的飽和土相同，即存在3種體波，分別為兩種縱波和一種橫波，并且三種體波均具有彌散性和衰減性，P2波的彌散度和衰減程度最大；

（2）由于凍土中冰顆粒的存在，使得凍土中波的傳播特性有別于一般的飽和土，而是隨著含冰量的增加縱波的傳播速度將增大，而橫波的傳播速度在低頻段增大，在高頻段將減小，冰顆粒對波傳播的影響與波的類型以及外界激勵的頻率有著密切的關系；

（3）飽和凍土中剪切波的速度與孔隙率或土體密度近似呈線性關系，隨孔隙率增大S波的速度增大，而隨著密度的增大波速減小，可以利用這種關系測試飽和凍土孔隙率和密度。

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