非均質(zhì)地基中平面應(yīng)變隧道開挖面穩(wěn)定上限分析

宋春霞 ，黃茂松 ，呂璽琳

（1. 同濟大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 同濟大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092）

1 引 言

在隧道開挖施工中土體相當于水平卸載，開挖面前方土體將形成一個三維松動區(qū)域，需在開挖面施加支護壓力才能防止土體向內(nèi)發(fā)生松動而失穩(wěn)。盾構(gòu)施工中，開挖面的穩(wěn)定是通過壓力艙（加氣、加泥水）施加支護壓力得以實現(xiàn)的。壓力艙支護壓力較小時會出現(xiàn)地基沉降甚至坍塌，開挖面支護壓力過大會造成地表隆起[1]。因此，合理地確定開挖面支護壓力是盾構(gòu)掘進施工中一項關(guān)鍵技術(shù)，目前，開挖面穩(wěn)定研究中大部分側(cè)重于開挖面極限支護壓力的確定。

淺埋隧道開挖后易形成貫穿地表的滑動面，產(chǎn)生較大范圍的塑性流動區(qū)域，所以隧道開挖面穩(wěn)定是一個三維問題。目前，國內(nèi)外已有許多學(xué)者用模型試驗[3]及數(shù)值計算分析[4－5]對其進行了研究，分析了開挖面失穩(wěn)破壞模式。并有許多學(xué)者基于其成果陸續(xù)提出了平面應(yīng)變的簡化模型和計算方法：Eisenstein和Samarasekara[6]采用極限平衡和位移有限元相結(jié)合的方法研究了黏土中隧道的穩(wěn)定問題；Anagnostou和Kovari[7]亦采用了極限平衡法考察了排水條件下隧道穩(wěn)定所需要的支護壓力。也有學(xué)者將極限分析理論初步應(yīng)用于隧道開挖面穩(wěn)定性分析中。Atkinson和Potts[8]利用模型試驗和極限分析上限法和下限法研究了無黏性土淺埋隧道穩(wěn)定性問題。Davis等[9]針對黏性土不排水條件下淺埋隧道，假定3種不同的破壞模式，利用極限分析理論上下限原理對隧道工作面失穩(wěn)及局部破壞現(xiàn)象進行了分析，并得到了相應(yīng)的模式下穩(wěn)定系數(shù)關(guān)于隧道埋深的解答。Leca和 Dormieux[10]針對砂性土地基中的環(huán)形隧道構(gòu)造了含剛性錐體滑塊的破壞模式，研究了淺埋隧道工作面的三維穩(wěn)定性問題。Sloan等[11]是以極限分析有限元法研究了隧道在均質(zhì)地基中不排水條件下的支護壓力的上下限值，大大改善了已有的計算結(jié)果，給出了荷載參數(shù)的表格形式以供工程師們參考查閱。以上作者考慮隧道開挖面穩(wěn)定時，均假定地基土抗剪強度是均勻的，事實上K0固結(jié)黏土層土體不排水抗剪強度與上覆有效應(yīng)力有關(guān)，即隨深度呈線性變化，所以其研究成果適用范圍有限。Sloan和 Assadi[12]采用極限分析有限元法考察了非均質(zhì)地基中方形隧道開挖面支護壓力上下限解，并以簡單的剛性塊體得到的上限解進行比較驗證；Augarde等[13]以極限分析有限元法，得到了非均質(zhì)地基中平面應(yīng)變隧道支護壓力的上下限解，指出在非均質(zhì)地基中以穩(wěn)定系數(shù)N來評價隧道開挖面穩(wěn)定性是不恰當?shù)摹５麄兌紱]有考察開挖面破壞時對周圍地基變形的影響及其范圍。

本文針對純黏土材料，基于極限分析上限法，考慮土體剪切強度隨深度線性變化，采用剛性多塊體平移滑動破壞模式來探討不排水條件下，隧道開挖面極限支護壓力的上限解，為實際工程中確定隧道盾構(gòu)施工中的支護壓力提供了一個簡單可靠的理論依據(jù)。

2 平面應(yīng)變隧道開挖面的破壞模式

圖1為簡化的平面應(yīng)變隧道（plane strain heading）力學(xué)模型，隧道直徑為D，埋深為C（隧道頂面到地平面的距離）。地表承受均布荷載σS，為保持隧道開挖面穩(wěn)定，開挖面作用均布壓縮氣體或其他液體壓力σT。地基土重度為γ，在外荷載作用下不排水強度隨深度呈線性變化：

式中：cu(z)為深度z處的不排水強度；cu0為地基表面處不排水強度；ρ為不排水強度隨深度變化率。

當ρ=0時， cu(z)=cu0，地基為均質(zhì)土體；當cu0=0時，cu(z)=ρz，對應(yīng)于正常固結(jié)沉積土。本文中所考慮的問題則對應(yīng)于ρ＞0而且cu0＞0的情況，即剪切強度值在地基表面為定值，隨深度線性變化。

圖1 平面應(yīng)變隧道開挖面Fig.1 Plane strain excavation face of tunnel

隧道開挖的穩(wěn)定問題是：在隧道埋深以及土體力學(xué)性質(zhì)一定的情況下，隧道開挖面至少需要施加多大的支護壓力σT才能防止塌方。這里采用塑性極限分析上限法來探討平面應(yīng)變隧道開挖面穩(wěn)定極限支護壓力的計算。影響隧道開挖面穩(wěn)定的因素很多，本文僅考慮地表面水平，并簡化為平面應(yīng)變問題，作以下假定：

（1）三維隧道被假定為圖 1所示平面應(yīng)變情況；（2）假定隧道開挖面作用軸向支護壓力沿豎向均勻分布（實際上隧道頂部和底部壓力分布不同）；（3）隧道周圍土體為純黏土處于不排水條件，假定為理想彈塑性體，服從Tresca屈服準則；（4）隧道變形模式允許隧道上部和前方土體向隧道內(nèi)塌陷。

極限分析上限法中通常的破壞模式包括剛性滑塊的平動、轉(zhuǎn)動以及平動轉(zhuǎn)動相組合的方式。在實際應(yīng)用中，平動破壞模式是最常用的。

隧道的變形模式考慮實際工程隧道塌陷事故中，隧道上部以及開挖面前方土體向隧道內(nèi)部塌陷的實際情況，以及參考 Davis等[9]對隧道變形模式的簡化，構(gòu)造剛體平動破壞模式，如圖2所示。破壞模式的速度場由m個剛性塊體組成，塊體之間由厚度為0的速度間斷面相連接，通過2m-1個角度變量確定滑動土體的形態(tài)。

為了得到較為精確的支護壓力上限解答，同時也為了研究極限分析多塊體方法在隧道開挖面穩(wěn)定中的應(yīng)用，進一步改進破壞模式，本文通過增加剛性多塊體個數(shù)（角度變量成倍數(shù)增加）進行分析計算，并逐步將計算結(jié)果進行分析比較；從而既能更為精確地模擬實際開挖狀態(tài)，同時又不使計算過于繁瑣。

圖2 破壞模式及相容速度場Fig.2 Collapse mechanism and the corresponding velocity field

式中：νj和Γj分別表示間速度斷面 j的相對速度矢量和面積；

由 Pext=Pint得到：

3 隧道開挖面穩(wěn)定上限分析

根據(jù)塑性極限分析上限法[2]，在運動許可的速度場內(nèi)，由外部荷載所做的功等于內(nèi)部能量損耗得到的荷載即為上限解。

(1)外荷載所作的功

在多塊體極限分析上限法中，外荷載和變形土體重力所做的功為

對于理想塑性材料，服從塑性相關(guān)流動法則，在不排水條件下，土體積變形前后不發(fā)生變化，即：

所以有：

(2)速度間斷面能量損耗

當破壞模式確定以后，各個速度間斷面的速度矢量也就確定了，剛性體滑動相容速度場如圖2所示。根據(jù)剛性滑塊應(yīng)滿足運動許可條件，速度矢量應(yīng)滿足閉合條件的準則[2]，則沿速度間斷面的速度矢量為

式中：vi+1為第i+1個滑塊的速度；vi,i+1為滑塊i和i+1的相對速度。

速度間斷面能量耗損為

將速度矢量代入式（8），并為方便分析將其無量綱簡化得到：

式中： f1是由地表處不排水強度（cu0）引起的能量耗損得到的參數(shù)； f2為 0～(C+D)深度范圍內(nèi)不排水強度增量引起的能量損耗得到的系數(shù)，是C/D 2次函數(shù)。

本文所要解決的問題是：在其他參數(shù)（C/D、(ρ D )/cu0、(γ D )/cu0）給定的條件下，至少需要多大的支護壓力σT才能保持隧道開挖面穩(wěn)定避免隧道塌方。結(jié)合極限分析上限定理，滿足運動許可條件的最大的σT是對應(yīng)破壞模式的一個最優(yōu)解。于是問題轉(zhuǎn)化為在滿足物理意義約束（相容速度場）、相應(yīng)參數(shù)給定的條件下，尋求荷載參數(shù)(σS-σT)/cu0的最小值。

于是根據(jù)破壞模式的相容速度約束，確定角度變量的變化范圍，通過Matlab軟件編程對目標函數(shù)式（9）進行優(yōu)化，可以得到(σS-σT)/cu0的最小上限解，并記錄求得最小上限解時對應(yīng)的角度變量的值。

4 計算結(jié)果討論與分析

4.1 破壞模式的確定

為了得到更為精確的上限解，本文逐步考察了圖2所示3個角度變量、5個角度變量、9個角度變量共 17個角度變量的破壞模式下，載荷參數(shù)(σS-σT)/cu0的上限解答。任取一組參數(shù)(γD)/cu0=3，(ρ D )/cu0=0時，載荷參數(shù)隨隧道埋深比C/D變化曲線如圖3。

圖3 不同角度變量情況下載荷參數(shù)上限值比較Fig 3 Comparison of upper bounds for load parameter of tunnel face with constant shear strength for (γ D)/cu0 =3

在平面應(yīng)變隧道開挖的破壞模式（圖 2）中，角度變量越多，計算過程就越復(fù)雜，但相應(yīng)地得到的上限解也得到一定的改善。由圖3中可以看到，9個角度變量的破壞模式明顯改善了5個角度變量和3個角度變量的上限結(jié)果，逐漸逼近Augarde等[13]極限分析有限元的計算結(jié)果；但繼續(xù)增加到17個角度時，載荷參數(shù)的上限值改進微小。也就是說就多塊體極限分析上限法而言，9個角度變量的破壞模式已經(jīng)得到足夠精確的上限解，可以很好的界定開挖面支護壓力準確解的范圍。所以下面將以9個變量的破壞模式得到的結(jié)果為基礎(chǔ)進行分析。

4.2 隧道開挖面穩(wěn)定性影響因素分析

由上述極限分析上限法以及計算公式（9）可知，軟土地區(qū)非均質(zhì)地基中隧道開挖面穩(wěn)定極限分析上限法能夠反映隧道埋深、土體重度、以及土體強度（隨深度變化）等對隧道開挖支護壓力的影響。

圖4為土體重度一定、不排水強度隨深度呈線性變化時，載荷參數(shù)隨隧道埋深比的變化曲線。不難發(fā)現(xiàn)，對于均質(zhì)土（(ρ D )/cu0= 0），若不考慮土體重度（圖4（a）），則隧道埋深越大，保持開挖面穩(wěn)定所需的極限支護壓力越小；若考慮土體重度(γ D )/cu0（圖4（b）），則隧道埋深越大，保持隧道開挖面穩(wěn)定所需的極限支護壓力也越大（載荷參數(shù)越小）。當?shù)鼗敛慌潘畯姸入S深度線性增加時（(ρ D )/cu0＞0），則隨著隧道上覆土層厚度的增大，保持隧道開挖面穩(wěn)定所需的極限支護壓力逐漸減小（但其趨勢并不是完全一致，在下面另有討論），這是由于土體發(fā)揮抗剪強度的效果。

圖4 荷載參數(shù)受非均質(zhì)影響的對比曲線Fig.4 Upper bounds on load parameter for different (ρ D)/cu0

而且隨著非均質(zhì)參數(shù)(ρ D )/cu0的逐漸增加，由極限分析上限法得到的載荷參數(shù)(σS-σT)/cu0越來越逼近（埋深比小時甚至小于）Augarde等[13]等由極限分析有限元得到的上限值。這充分說明了本文多塊體極限分析上限法對于非均質(zhì)地基隧道開挖面穩(wěn)定性分析的可行性。尤其是當隧道埋深較小時（C/D＜6），極限分析上限法可以得到足夠精確的上限解，將準確解界定在足夠小的范圍之內(nèi)。

隧道開挖面穩(wěn)定荷載參數(shù)與土體重度呈反比例線性關(guān)系（式（9）），土體重度越大，保持盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定所需支護壓力就越大（荷載參數(shù)逐漸減小），如圖5所示。當隧道埋深一定時，不管不排水強度是否隨深度變化，曲線斜率一定；而且隧道埋深比越大，曲線斜率越大（在式（9）中亦可看出）。

圖5 載荷參數(shù)在不同隧道埋深時隨容重變化曲線Fig.5 Load parameters replotted for varying weight parameter

需要注意的是，從圖5、6的對比分析中可以明顯看到，隧道埋深對載荷參數(shù)的影響并不是一成不變的，其間要考慮到土體重度和土體強度的作用。在圖5載荷參數(shù)隨重度的變化曲線中可以看到，當非均質(zhì)參數(shù)一定時，存在一重度臨界點當時，埋深越大，保持隧道開挖面穩(wěn)定所需的支護壓力越小（載荷參數(shù)越大）；當時，埋深越大，則保持隧道開挖面穩(wěn)定所需的支護壓力越大（對比圖4載荷曲線隨深度的變化曲線的趨勢亦有此現(xiàn)象）。而且這是由于土體不排水強度和重度耦合作用的結(jié)果。在上述極限分析上限解式（9）中，土體強度與載荷參數(shù)呈正比例非線性關(guān)系，而重度與載荷參數(shù)呈反比例線性關(guān)系，所以當重度相對較小時土體強度對荷載參數(shù)的影響占主導(dǎo)地位；而當土體重度較大時土體容重對荷載參數(shù)的影響占據(jù)主導(dǎo)地位。在圖5(a)～(e)隨著非均質(zhì)參數(shù)(ρ D )/cu0的增大，臨界點也越大，即土體強度占主導(dǎo)地位的重度范圍越大。

同樣地機制，當土體重度一定時（見圖6），非均質(zhì)參數(shù)亦存在一臨界點當時，埋深越大，保持隧道開挖面穩(wěn)定所需支護壓力則越大（土體重度的影響占主導(dǎo)地位）；當時，埋深越大，所需支護壓力則越小（土體強度的影響占主導(dǎo)地位）。

圖6 荷載參數(shù)隨非均質(zhì)參數(shù)的變化Fig.6 Load parameters replotted for varying nonhomogeneous parameter

總之，在實際工程設(shè)計中，當根據(jù)隧道的埋深確定盾構(gòu)開挖面支護壓力時，必須同時考慮土體的重度和土體強度隨深度變化的影響，以及二者的耦合作用，否則得到的支護壓力偏小或者是偏大時，容易引起地基沉降變形過大，甚至于出現(xiàn)塌陷，或者有可能造成地表隆起，對周圍環(huán)境的影響也是十分不利的。

4.3 開挖破壞面

由多塊體極限分析上限法，得到優(yōu)化后的某一埋深時軟土地層隧道開挖面失穩(wěn)后縱斷面破壞如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后的破壞模式（當埋深一定時）Fig.7 Collapse mechanisms by optimization for different depths of plane strain heading tunnel

與隧道開挖面穩(wěn)定極限支護壓力不同的是，優(yōu)化后的破壞模式不受土體重度的影響，無論土體重度如何變化，在隧道埋深及土體強度一定的情況下，隧道開挖面破壞時前方和上方的土體滑動變形范圍及破壞面形式是一致的。

但土體強度變化參數(shù)對破壞模式有顯著的影響：首先，考慮土體的非均質(zhì)性后，開挖面失穩(wěn)破壞引起的上前方土體滑動影響范圍變小，而且隨著土體強度變化參數(shù)(ρ D )/cu0的增大，其影響范圍愈小（C/D =0時，開挖面前方土體滑動范圍為0.25～0.5D（(ρ D )/cu0從0到1）；C/D =1時，開挖面前方土體滑動范圍為1.4～1.7D；C/D =3時，開挖面前方土體滑動范圍為1.9～2.7D）；開挖面前方滑動土體傾角呈減小趨勢，但變化不大。其次，從圖 7（b）、和圖7（c）的對比中可以看到，隨著土體非均質(zhì)系數(shù)的增大，開挖面上前方土體越來越趨于整體破壞（多個剛性滑塊體逐漸重合）。而隧道埋深越大，則隧道開挖面上前方滑動土體的范圍就越大。

5 結(jié) 論

本文針對平面應(yīng)變隧道，基于極限分析上限法的剛性多塊體平動破壞模式，考慮隧道埋深、土體重度以及不排水抗剪強度隨深度變化率的影響，推導(dǎo)了隧道開挖面穩(wěn)定支護壓力的上限公式；得到極限支護壓力的最小上限解；通過與現(xiàn)有計算結(jié)果的對比和參數(shù)分析可以得到以下結(jié)論：

（1）極限分析有限元結(jié)果的對比表明，多塊體極限分析上限法可以得到足夠精確的上限解，驗證了解答的有效性，為簡單有效地確定淺埋隧道開挖極限支護壓力提供了一個可行的方法，具有一定的實踐指導(dǎo)意義。

（2）參數(shù)分析指出：隧道開挖面穩(wěn)定極限支護壓力隨土體重度的增加而線性增加，隨非均質(zhì)參數(shù)的增加而線性減小，埋深對極限支護壓力的影響則取決于土體重度和強度的共同作用。在實際工程設(shè)計中若忽略土體重度則得到的支護壓力偏小，若不考慮強度非均質(zhì)則得到的支護壓力偏大，對于隧道穩(wěn)定設(shè)計都是不利的。

（3）隧道失穩(wěn)后縱斷面破壞模式與土體重度無關(guān)；而考慮土體強度非均質(zhì)性后，開挖面失穩(wěn)引起的上前方土體滑動范圍變小，且隨著非均質(zhì)參數(shù)的增加，其影響范圍愈小。

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