小波分析方法在圖像壓縮中的應用

成麗波

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

基于MATLAB的小波分析算法的應用很廣泛，本文使用的是基于MATLAB編程的小波分析方法在圖像壓縮中的應用，主要涉及到的壓縮方法是低頻信息保留算法和小波包最佳基壓縮算法。

1 多分辨分析

空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中滿足如下條件的一個空間序列

2 二維離散小波變換

由于圖像是二維信號，因此，首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令 f(x1,x2)表示一個二維信號，x1,x2分別是其橫坐標和縱坐標，ψ(x1,x2)表示二維的基本小波。對應的尺度函數φ(x1,x2)，若尺度函數是可分離的，即

令ψ(xi)是與φ(xi)對應的一維小波函數，則二維的二進小波可表示為以下三個可分離的正交小波基函數：

這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。先沿 x1方向分別用φ(x1)和ψ(x1)作分析，把 f(x1,x2)分解成平滑和細節兩部分，然后對這兩部分再沿x2方向用φ(x2)和ψ(x2)做同樣分析。

二維小波分析的分解算法：

3 基于小波分析的圖像壓縮

小波分析用于圖像壓縮的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。

在此結合MATLAB中小波程序設計，介紹兩種圖像壓縮方法的原理和實現過程。

3.1 低頻信息保留壓縮算法

一個圖像在進行小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率不同。高分辨率即高頻子圖像上大部分點的數值都接近于0，越是高頻這種現象越明顯。對一個圖像來說，表現一個圖像最重要的部分是低頻部分，所以，一個最簡單的壓縮方法就是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分只保留低頻部分。

該算法（以二尺度為例）是基于多分辨分析提出來的，具體如下：（1）裝入圖像。（2）用二尺度分辨率分析函數完成對信號x在尺度N上的二維分解。（3）提取二維小波分解的低頻函數。（4）對二維小波函數進行單支重構。（5）顯示分解后各頻率成分的信息。（6）保留小波分解第一層低頻信息，進行圖像壓縮，并且顯示第一層低頻信息。（7）對第一層信息進行量化編碼。（8）改變圖像的高度為原圖像的1/2。（9）顯示第一次壓縮圖像及其大小。（10）求出第一次壓縮圖像的信躁比。（11）保留小波分解第二層低頻信息，進行圖像壓縮。（12）對第二層信息進行量化編碼。（13）改變圖象的高度對第一次壓縮的1/2。（14）顯示第二次壓縮圖像及其大小。（15）求出第二次壓縮圖像的信躁比。其中，應用到的MATLAB相關函數有：（1）wavedec2為對圖像用bior3.7進行分解；（2）appcoef2函數為提取二維小波分解低頻系數。（3）detcoef2函數為提取二維小波分解高頻系數。（4）wrcoef2函數為對二維小波系數進行單支重構。（5）wcodemat為對矩陣進行全局量化編碼。

3.2 小波包最佳基壓縮算法

小波包的算法流程：（1）裝入原始圖像（2）畫出原始圖像（3）獲取圖像的默認閾值（4）用全局閾值選項進行圖像的壓縮。（5）畫出壓縮后的圖像。其中，應用到的MATLAB相關函數有：（1）ddencmp函數為獲取默認閾值。（2）wpdencmp函數為用小波包進行圖像壓縮。下面給出部分實驗結果及實驗數據：

圖1 圖像分解前后效果對比圖Fig.1 Effect comparison of image decomposition

表1 圖像壓縮大小Tab.1 Image compression

圖2 壓縮重構效果圖Fig.2 Effect picture of compression and reconstruction

表2 壓縮百分比Tab.2 Compression rate

表3 峰值信噪比Tab.3 Peak signal to noise ratio

通過上表可以得到結論：

（1）在這四幅圖中，可以看到：第一次壓縮后的圖像在視覺上比原始圖像清晰，這是因為原圖像帶有的噪聲是在圖像的高頻信息中，我們使用的壓縮方法就是去除高頻信息保留低頻信息，因而，經過第一次壓縮的的圖像比原圖像清晰。但是經過第二次壓縮后，圖像變得模糊，那是因為圖像第二次壓縮是將第一次提取的低頻信息分解，去除高頻信息，保留低頻，這樣，丟掉了一些信息，所以圖像變得不清晰。但是從理論上來說，這種方法可以對圖像進行無限壓縮。

（2）通過計算峰值信噪比，我們可以客觀地得到圖像的壓縮效果，一般來說峰值信噪比越大，圖像壓縮效果越好，因此本文得到的峰值信噪比是很高的。

現在對壓縮圖像進行重構：

下面是用bior3.7一次壓縮重構和二次壓縮重構的實驗結果：

對重構圖像如表4。

表4 重構偏差表Tab.4 Deviation card

由以上結果，可以看出

（1）Bior3.1在對第一次壓縮重構中偏差為0，說明它對第一次壓縮圖像恢復得很好。我們在對一次圖像進行解壓縮時可以選擇此小波基。

（2）Bior3.7小波基和Sym2小波基在對二次壓縮圖像重構過程中，偏差相對較小，尤其是小波基sym2，在對兩次（或者兩次以上）壓縮圖像進行解壓縮時，我們可以選擇此小波基。

［1］陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應用［M］.北京：科學出版社，2002.

［2］劉明才.小波分析及其應用［M］.北京：清華大學出版社，2003.

［3］胡昌華，張軍坡，夏軍，等.基于MATLAB的系統分析與設計—小波分析［M］.西安：西安電子科技大學出版社，2000.

［4］林有作，成麗波.基于小波分析的數字圖像噪聲消除［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2004，27（1）：69-71.