形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)在發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷中的應(yīng)用

李 兵， 張培林， 任國(guó)全， 劉東升， 米雙山

(1.石家莊軍械工程學(xué)院 自行火炮教研室，石家莊 050003;2.石家莊軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈機(jī)電工程教研室，石家莊 050003)

振動(dòng)是發(fā)動(dòng)機(jī)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的必然現(xiàn)象，振動(dòng)信號(hào)包含了發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行狀態(tài)的豐富信息，發(fā)動(dòng)機(jī)工作性能的變化可以通過(guò)振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)出來(lái)，而其采集和分析不影響發(fā)動(dòng)機(jī)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。因此，振動(dòng)信號(hào)分析法成為對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)、故障分析和狀態(tài)監(jiān)測(cè)最為廣泛、也是最行之有效的方法［1]。

傳統(tǒng)的故障診斷技術(shù)是針對(duì)振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域或頻域特征來(lái)提取特征量進(jìn)行故障識(shí)別的。但對(duì)于多部件、多激勵(lì)的往復(fù)式發(fā)動(dòng)機(jī)而言，由于其運(yùn)動(dòng)件多而復(fù)雜，工作條件惡劣，激勵(lì)力眾多且其頻率范圍寬廣，各種激勵(lì)經(jīng)相應(yīng)的傳遞及耦合均被反映在發(fā)動(dòng)機(jī)表面的振動(dòng)中，使得所測(cè)得的表面振動(dòng)信號(hào)是極其復(fù)雜的混合信號(hào)［2，3]，用傳統(tǒng)的理論方法去刻畫(huà)這種復(fù)雜性具有很大的局限性。

分形幾何為復(fù)雜信號(hào)提供了一種幾何結(jié)構(gòu)分析方法，它在很多領(lǐng)域已經(jīng)有了成功的應(yīng)用。在機(jī)械設(shè)備故障診斷領(lǐng)域中，人們也開(kāi)始用分形幾何方法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，并取得了一定的成果［4，5]。然而，在振動(dòng)信號(hào)分析中，人們一般只考慮信號(hào)的單重分形特征，它只能從整體上反映信號(hào)的不規(guī)則性，缺乏對(duì)局部奇異性的刻畫(huà)。多重分形維數(shù)能更精細(xì)的刻畫(huà)信號(hào)的局部尺度行為，可以更加全面反映信號(hào)的分形特性。描述多重分形的主要方法有多重分形譜和廣義分形維數(shù)兩套參數(shù)體系，研究證明這兩套參數(shù)體系之間存在著勒讓德變換的關(guān)系，即已知一套參數(shù)即可計(jì)算出另一套參數(shù)，本文主要研究基于Renyi熵的廣義分形維數(shù)的計(jì)算方法。

計(jì)算廣義分形維數(shù)最常用的方法是覆蓋法即盒計(jì)數(shù)法(Box-counting method)，這種方法有其不可避免的缺點(diǎn)，這主要是因?yàn)楹杏?jì)數(shù)法采用了規(guī)則劃分網(wǎng)格的方法，因此對(duì)分形維數(shù)的估計(jì)在某些情況下非常不穩(wěn)定［6]。

針對(duì)盒計(jì)數(shù)法計(jì)算廣義分形維數(shù)存在的缺點(diǎn)，本文提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作的廣義分形維數(shù)的計(jì)算方法，并對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)正常、失火和氣門(mén)間隙過(guò)大故障信號(hào)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)可以非常有效的表征不同狀態(tài)下發(fā)動(dòng)機(jī)故障信號(hào)的特性。

1 多重分形維數(shù)

自從曼德?tīng)柌剂_特在70年代提出分形概念以來(lái)，分形在物理、天文、地理、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等科學(xué)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，并且取得了大量富有新意的成果。但是隨著理論研究和應(yīng)用的深入，研究者們?cè)絹?lái)越清楚地意識(shí)到，對(duì)于大多數(shù)客觀存在的分形物體而言，僅用一個(gè)分形維數(shù)并不能完全刻畫(huà)其結(jié)構(gòu)。多重分形是定義在分形上的，由多個(gè)標(biāo)量指數(shù)的奇異測(cè)度(即不存在測(cè)度密度的測(cè)度)所組成的集合。它刻畫(huà)的是分形測(cè)度在支集上的分布情況，即用一個(gè)譜函數(shù)來(lái)描述分形不同層次的特征。這就是從形體的部分(小尺度)出發(fā)，根據(jù)自相似性質(zhì)，研究其最終整體(大尺度)特征的理論基礎(chǔ)。

描述多重分形的一種方法是廣義分形維數(shù)，覆蓋法是分形研究中最通用的方法，它既用于簡(jiǎn)單分形，也用于復(fù)雜分形。覆蓋法就是用尺度為ε的相同大小的盒子對(duì)整個(gè)集合進(jìn)行覆蓋，所需盒子總數(shù)是N(ε)，設(shè)點(diǎn)落入第i個(gè)盒子的概率為Pi(ε)，對(duì)給定參數(shù)q，可計(jì)算出廣義信息熵Kq(ε)的表達(dá)式為［7]

從而廣義分形維數(shù)定義為

由于具有不同標(biāo)度指數(shù)的子集可通過(guò)q的改變進(jìn)行區(qū)分，當(dāng)q=0時(shí):

為容量維數(shù)(盒維數(shù))。

當(dāng)q=1時(shí):

即為信息維數(shù)。

當(dāng)q=2時(shí)，式(2)即為關(guān)聯(lián)維數(shù):

由此說(shuō)明廣義分形維數(shù)Dq包含了自相似分形理論涉及的大部分分形維數(shù)。

然而，由于盒維數(shù)的計(jì)算本質(zhì)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行規(guī)則的網(wǎng)格劃分，文獻(xiàn)［8] 指出，這種規(guī)則的劃分網(wǎng)格的方法必將會(huì)導(dǎo)致對(duì)所需盒子數(shù)估計(jì)的誤差，從而影響分形維數(shù)估計(jì)的精度，而且誤差相當(dāng)可觀。

為克服盒維數(shù)計(jì)算方法本質(zhì)上的缺陷，必須尋找新的切入點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)分維數(shù)的精確估計(jì)。因此，本文提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)估計(jì)方法。

2 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是以集合論、積分幾何和拓?fù)鋵W(xué)為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一種有別于時(shí)空域分析和頻域分析的數(shù)學(xué)方法。它的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取信號(hào)中的對(duì)應(yīng)形態(tài)，以達(dá)到對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和識(shí)別的目的。膨脹和腐蝕是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的兩種基本運(yùn)算，它們可以在保持信號(hào)的基本特征的前提下，去除信號(hào)中尺度上小于結(jié)構(gòu)元的細(xì)節(jié)，從而得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的信號(hào)數(shù)據(jù)。這就如同在不同的尺度下觀察信號(hào)，當(dāng)使用尺度較小的結(jié)構(gòu)元時(shí)，可以看到較多的細(xì)節(jié)如果換用尺度較大的結(jié)構(gòu)元，看到的就只有粗的輪廓了。而各種分形維數(shù)估計(jì)算法的基本思想都是在不同尺度下對(duì)分形集合進(jìn)行度量，而數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)正好為我們提供了一種在不同尺度下度量信號(hào)的數(shù)學(xué)工具［9]。所以，采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)來(lái)計(jì)算信號(hào)的分形維數(shù)應(yīng)該是一個(gè)非常自然而恰當(dāng)?shù)倪x擇。

2.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算子

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算包括腐蝕和膨脹兩種算子。設(shè)f(n)和 g(m)分別為定義在 F={0，1，2，…，N －1}和 G={0，1，2，…，M －1}上的離散函數(shù)，且 N?M。這里為f(n)輸入信號(hào)，g(m)為結(jié)構(gòu)元素。

f(n)關(guān)于g(m)的腐蝕定義為:

f(n)關(guān)于g(m)的膨脹定義為:

腐蝕和膨脹運(yùn)算等價(jià)于離散函數(shù)在滑動(dòng)濾波窗(相當(dāng)于結(jié)構(gòu)元素)內(nèi)的最小值和最大值濾波。一般情況下，腐蝕運(yùn)算減小了信號(hào)的峰值，加寬了谷域;而膨脹運(yùn)算增大了信號(hào)的谷值，擴(kuò)展了峰頂，關(guān)于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)更加詳細(xì)的理論描述可參考文獻(xiàn)［10，11] 。

2.2 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的單一分形維數(shù)估計(jì)

文獻(xiàn)［8] 提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的單一分形維數(shù)估計(jì)方法，其主要計(jì)算過(guò)程如下。

假設(shè)信號(hào)為f，g單位結(jié)構(gòu)元素，定義尺度ε下的結(jié)構(gòu)元為:

則在不同尺度ε下對(duì)信號(hào)f的膨脹和腐蝕分別為f⊕εg(n)和 fΘεg(n)。其中 ε =1，2，…，εmax，且 εmax≤N/2。

根據(jù)文獻(xiàn)［8] 的方法，選擇g為長(zhǎng)度為3的扁平結(jié)構(gòu)元素，即g={0，0，0}，選擇扁平結(jié)構(gòu)元素的好處是可以減少一部分計(jì)算量。

定義尺度ε對(duì)信號(hào)的覆蓋面積為:

文獻(xiàn)［8] 證明各尺度下Ag(ε)滿足:

則DM可由下式求得:

實(shí)際計(jì)算中對(duì) log(Ag(ε)/ε2)和 log(1/ε)進(jìn)行最小二乘線性擬合得到對(duì)信號(hào)分形維數(shù)DM的估計(jì)。

2.3 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)估計(jì)

由前述的在不同尺度ε下對(duì)信號(hào)f的膨脹和腐蝕分別為f⊕εg(n)和 fΘεg(n)，我們可以定義一個(gè)反映局部度量的分布函數(shù)ui(ε):

很顯然，上式中的 f⊕εg(n)－fΘεg(n)表示了信號(hào)膨脹結(jié)果與腐蝕結(jié)果之間的差異，其作用就像是單個(gè)網(wǎng)格上所需的盒子數(shù)，分布函數(shù)ui(ε)則描述了這種差異的分布，信號(hào)在尺度上的不均勻性可以通過(guò)分布函數(shù)的高階矩所表現(xiàn)出的奇異性來(lái)刻畫(huà)。

對(duì)給定參數(shù)q，可計(jì)算出形態(tài)學(xué)廣義信息熵Kq(ε)的表達(dá)式為:

由式(12)可以看出，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的網(wǎng)格劃分是固定的，即所有尺度下的網(wǎng)格數(shù)均為信號(hào)的點(diǎn)數(shù)N(ε)=N。如果采用計(jì)盒方法計(jì)算信號(hào)的覆蓋面積，Ag(ε)相當(dāng)于盒子數(shù) N(ε)與單位盒子面積 ε2的乘積，則:

從而保證了與廣義信息熵式(1)描述的一致性。

作為一個(gè)多重分形度量Kq(ε)與尺度之間必定滿足如下所示的指數(shù)關(guān)系:

則基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)可由下式求得:

實(shí)際計(jì)算中對(duì)Kq(ε)和log(ε)進(jìn)行最小二乘線性擬合得到對(duì)廣義分形維數(shù)Dq的估計(jì)。

可以證明當(dāng) q=0 時(shí)，K0(ε)= － log(Ag(ε)/ε2)，則多重分形維數(shù)Dq退化為基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的單一分形維數(shù)。

3 發(fā)動(dòng)機(jī)故障信號(hào)分析

實(shí)驗(yàn)在F3L912型三缸四沖程柴油機(jī)上進(jìn)行，加速度傳感器粘貼在第一缸缸蓋處，實(shí)驗(yàn)在空間較大的車間內(nèi)進(jìn)行，計(jì)算機(jī)、電荷放大器等裝置在車間里的控制間內(nèi)放置。發(fā)動(dòng)機(jī)故障設(shè)置為一缸失火和進(jìn)氣門(mén)間隙過(guò)大兩種故障。實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，采樣頻率為40 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為發(fā)動(dòng)機(jī)一個(gè)工作周期。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)三種狀態(tài)下振動(dòng)加速度信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.1 Waveform of vibration signal from engine with three states

圖1為發(fā)動(dòng)機(jī)在正常、失火和進(jìn)氣門(mén)間隙過(guò)大三種狀態(tài)下的時(shí)域波形圖。從圖中可以看出，三種狀態(tài)下缸蓋振動(dòng)加速度信號(hào)的時(shí)域波形具有較明顯的差異。失火時(shí)，燃爆信號(hào)消失，進(jìn)氣門(mén)間隙過(guò)大時(shí)，進(jìn)氣門(mén)關(guān)閉響應(yīng)明顯變大。

以進(jìn)氣門(mén)間隙過(guò)大時(shí)的信號(hào)為例說(shuō)明基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的分形維數(shù)計(jì)算方法，圖2為采用不同尺度的結(jié)構(gòu)元素對(duì)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)變換的結(jié)果。其中實(shí)線為采用尺度為20的扁平結(jié)構(gòu)元、虛線為采用尺度為100的扁平結(jié)構(gòu)元運(yùn)算結(jié)果。

圖2 發(fā)動(dòng)機(jī)氣門(mén)間隙故障信號(hào)及其腐蝕、膨脹圖Fig.2 Dilation and erosion waveform of the vibration signal from engine with valve fault

本文選擇分析信號(hào)的單位結(jié)構(gòu)元素g為長(zhǎng)度為3的扁平結(jié)構(gòu)元素，即 g={0，0，0}，最大尺度為100，即εmax=100，參數(shù)q取值范圍為［－20:2:20] ，然后根據(jù)2.3所描述方法計(jì)算信號(hào)的廣義分形維數(shù)。圖3給出了采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作所計(jì)算的進(jìn)氣門(mén)間隙過(guò)大故障信號(hào)的廣義分形維數(shù)圖。從圖中可以看出，信號(hào)的廣義分形維數(shù)Dq隨q呈嚴(yán)格的遞減，當(dāng)q=0時(shí)Dq就退化為基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的單一分形維數(shù)。

圖3 發(fā)動(dòng)機(jī)氣門(mén)間隙故障信號(hào)的形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)Fig.3 Morphological generalized fractal spectrum of signal from engine with valve fault

圖4 為采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法計(jì)算的發(fā)動(dòng)機(jī)三種狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)的廣義分形維數(shù)譜，每種狀態(tài)取樣本數(shù)為4。

圖4 發(fā)動(dòng)機(jī)三種狀態(tài)下信號(hào)廣義分形維數(shù)(盒計(jì)數(shù)法)Fig.4 Generalized fractal spectrums of signals from three engine states using box－counting method

從圖中可以看出，在q=0時(shí)即采用單一的分形維數(shù)很難將三種狀態(tài)進(jìn)行區(qū)分;在q＜0時(shí)三種狀態(tài)的分形維數(shù)存在著很大的混疊，完全不可分;但是當(dāng)q＞0，三種狀態(tài)的分形維數(shù)可以進(jìn)行明顯的區(qū)分。這說(shuō)明了采用單一的分形維數(shù)包含的信號(hào)奇異性信息十分有限，在部分情況下很難對(duì)不同狀態(tài)的信號(hào)進(jìn)行區(qū)分，而廣義分形維數(shù)可以在不同的層次上對(duì)信號(hào)的奇異性進(jìn)行分析，因此采用廣義分形維數(shù)對(duì)復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行分析具有很大的優(yōu)越性和必要性。

同時(shí)，本文還采用傳統(tǒng)的盒計(jì)數(shù)法計(jì)算了發(fā)動(dòng)機(jī)在三種狀態(tài)下的廣義分形維數(shù)。在計(jì)算中，盒子的尺度選擇為［2，4，8，16，32，64，128，256，512] 個(gè)采樣點(diǎn)。圖5給出了相應(yīng)的廣義分形維數(shù)譜，與圖4相比可以發(fā)現(xiàn)，盒計(jì)數(shù)法計(jì)算的廣義分形維數(shù)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的三種狀態(tài)區(qū)分性較差，不利于對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)故障狀態(tài)進(jìn)行分類。

圖5 發(fā)動(dòng)機(jī)三種狀態(tài)下信號(hào)的形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)Fig.5 Morphological generalized fractal spectrums of signals from three engine states

5 結(jié)論

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為數(shù)字信號(hào)處理提供了一種新的快速分析手段，本文提出了一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)計(jì)算方法，并證明了與盒計(jì)數(shù)法計(jì)算廣義分形維數(shù)的一致性。通過(guò)對(duì)實(shí)際的發(fā)動(dòng)機(jī)正常、失火故障和氣門(mén)間隙過(guò)大故障振動(dòng)加速度信號(hào)的分析結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的盒計(jì)數(shù)方法相比，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)計(jì)算方法的廣義分維數(shù)估計(jì)能夠更加準(zhǔn)確的將不同狀態(tài)下的發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行區(qū)分，可以有效的用于發(fā)動(dòng)機(jī)故障狀態(tài)的判別。此外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)只涉及簡(jiǎn)單的加減和取大取小運(yùn)算，因此與傳統(tǒng)的盒計(jì)數(shù)方法相比，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的廣義分形維數(shù)計(jì)算效率更高，為發(fā)動(dòng)機(jī)故障特征提取和故障診斷提供了一種更為快速、有效的分析方法。

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