有機玻璃裂紋擴展雙參量驅動力模型

宋全超， 張建國， 乙曉偉， 王 泓

(西北工業大學材料學院，西安 710072)

通常用應力場強度因子范圍ΔK作為裂紋擴展的驅動力，并得相應的da/dN-ΔK曲線，來估算構件疲勞裂紋擴展壽命，但是不同應力比所對應的da/dN-ΔK曲線不同，所以尋找一個包含應力比對裂紋擴展速率曲線影響的裂紋擴展驅動力ΔKdrive，使不同應力比所對應的da/dN-ΔKdrive曲線重合在一起，有利于為研究不同應力比條件下的裂紋擴展速率曲線節省很多時間和成本。

自從Elber［1］試驗發現裂紋閉合效應現象以來，裂紋閉合現象作為影響疲勞裂紋擴展行為的主要機制已被廣泛接受，認為裂紋擴展的驅動力是有效應力場強度因子ΔKeff，其表達為:

式中，Kop是裂紋張開時應力對應的場強度因子，Kmax是最大應力場強度因子，但是Kop因測量技術和測量位置的不同，是個變化的值［2，3］。而Sadanada和Vasudevan［4，5］認為裂紋閉合效應對裂紋擴展的阻礙作用被夸大了，并且Sadanada［6］提出裂紋擴展的動力是Kmax和ΔK，兩者在不同的階段起主導作用，裂紋尖端單調塑性變形區的大小主要受到Kmax控制，循環塑性區的大小受到ΔK參數控制。為了避免考慮裂紋閉合效應，結合Sadanada提出裂紋擴展的動力參數 Kmax和 ΔK，Daniel Kujawski［7］提出了新的包含應力比對裂紋擴展速率影響的新參數K*，其表達式為:

式中ΔK+為正應力對應的應力場強度因子范圍，當R ＞0時，ΔK+=ΔK;當 R≤0時，ΔK+=Kmax。此裂紋擴展驅動力模型在大多數金屬材料中得到驗證，對于大多數金屬材料，Kujawski給出相關參數α?0.5。

其中參數K*中相關參數α的計算方法為式(2)兩邊同時取對數，得到:

式(3)經過變形得到:

從式(4)可以看出，對于一定的裂紋擴展速率，不同的應力比將對應不同的(ΔK+，Kmax)，在雙對數坐標中，直線的斜率為－(1－α)/α，由此就可以計算得到一定裂紋擴展速率所對應的參數K*中的αi，計算不同的裂紋擴展速率所對應的αi，并計算其均值αa，就是參數K*中的相關參數α值。

目前，有機玻璃作為飛機構件，遇到的重要問題之一就是有機玻璃的損傷容限和有機玻璃構件的疲勞壽命評估［8］。對有機玻璃構件的疲勞裂紋擴展壽命評估，主要是依靠試驗，用ΔK作為裂紋擴展的驅動力，從而得到不同應力比條件下的 da/dN-ΔK曲線，如賈敬華［9］對不同應力比條件下中部區裂紋擴展速率的描述。而采用雙參量裂紋擴展驅動力模型研究包含應力比對裂紋擴展速率影響的文獻還比較少，本工作主要研究有機玻璃Ⅱ和Ⅲ區的裂紋擴展速率，用雙參量裂紋擴展驅動力模型解釋應力比對裂紋在有機玻璃內擴展速率的影響，將不同應力比的裂紋擴展曲線歸一化到一條曲線上。

1 疲勞裂紋擴展速率試驗

在本項研究工作中，疲勞裂紋擴展試驗試件采用中心穿透的裂紋孔MT試樣［10］，其尺寸為320mm(長)×100mm(寬) ×16mm(厚)。應力場強度因子幅值計算公式為:

式中，ΔP為循環載荷范圍，ΔP=Pmax－Pmin(R≥0)，ΔP=Pmax(R＜0)。B為試樣厚度，W為寬度，a為計算裂紋長度。

疲勞裂紋擴展試驗在島津EHF-EA10電液伺服疲勞機上進行。室溫，加載波形為正弦波，頻率2.5Hz，應力比 R= －0.4，0.1 和 0.4。用移動式顯微鏡測量裂紋擴展增量，精度為0.01mm。

2 結果與分析

2.1 試驗結果

試驗結果及 Forman公式［11］擬合曲線見圖1。從圖1可見，三個應力比的裂紋擴展速率曲線都包含中部區和加速擴展區，用Forman公式擬合的結果見表1，Forman公式為:

式中，KC是斷裂韌度，ΔK是應力場強度因子范圍，C和m是擬合參數。

從Forman公式擬合的參數得出，相同的ΔK，應力比越大，裂紋擴展速率就越大，裂紋擴展速率曲線的上限值(1－R)KC則越小，使得裂紋擴展較早進入加速擴展區;中部區直線的斜率m與截距C隨著應力比的增大而增大。從圖1擬合曲線與觀察點的吻合性和表1中擬合結果的相關系數可知，Forman公式能夠很好地表征有機玻璃裂紋擴展加速擴展區和Pairs區。

表1 疲勞裂紋擴展速率曲線Forman公式擬合結果Table 1 Constants in the Forman's law derived from the experimental results

圖1 用ΔK定義的裂紋擴展速率Fig.1 Fatigue crack growth data of orientation PMMA as a function of ΔK and the fitted equations by Forman's law

2.2 雙參量裂紋擴展驅動力模型

依據Kujawski提出的雙參量裂紋擴展驅動力模型中的K*，不同應力比所對應的曲線將會重合在一起。對于不同應力比，用Forman公式擬合所得參數應該是一個恒定量。

式(2)中α值反映Kmax與ΔK+作為裂紋擴展驅動力主次關系，當α值較大時，K*參數對Kmax的敏感性越大，即Kmax在裂紋的擴展動力中起主導作用，ΔK+起次要作用;相反，α值較小時，ΔK+在裂紋的擴展動力中起主導作用。

根據α值的計算方法，計算參數K*所對應的α值，發現對于有機玻璃，α值隨裂紋擴展速率的增大而增大:當 da/dN=9×10－7m/cycle時，α1=0.2;當 da/dN=5×10－5m/cycle時，α2=0.5;當 da/dN→∞(ΔK→(1－R)KC)時，αb=1.1。所以對于有機玻璃而言，隨著裂紋擴展速率的增大，裂紋擴展驅動力的主次由ΔK+逐漸過渡到Kmax，并且加速區與中部區參數K*中α值差別較大，因此，將α的均值αa代入參數K*時，對于中部區，夸大了Kmax的作用以及應力比對中部區的影響;對于快速擴展區，反而夸大ΔK+的作用，此時用α均值作為K*中的α值是不合理的。

簡單認為 αa為 α1，α2和 αb三者的均值，αa=0.6。將 αa=0.6 和 αb=1.1 分別代入參數 K*，得到不同應力比所對應的裂紋擴展速率曲線和如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可以看出，參數K*中的α值越大，應力比 R=0.4和R=0.1對應的裂紋擴展速率曲線右移，無論是αa=0.6或者αb=1.1，都不能將不同應力的裂紋擴展速率曲線歸一化處理。當αa=0.6時，僅歸一化應力比R=0.4，R= －0.4 和 R=0.1 曲線中部區的小部分。當 αb=1.1 時，參數 K*=(Kmax)α(ΔK+)1－α能夠很好地歸一化應力比 R=0.4，R=－0.4和 R=0.1加速快展區的尾部以及R= －0.4和 R=0.1 的中部;對于中部區，相同的裂紋擴展動力參數K*，應力比R=0.4的裂紋擴展速率反而比R=－0.4和R=0.1對應的裂紋擴展速率低，與實際不符。這主要因為ΔK相同時，R=0.4所對應的Kmax較大，αb=1.1時，雖然能夠解釋應力比對加速區的影響，但夸大了Kmax在中部區的作用，導致高估應力比R=0.4的裂紋擴展壽命。

為了使相關參數α反映不同裂紋擴展速率區域裂紋擴展驅動力的主次變化，需要提出一個裂紋擴展速率的函數α=f(da/dN)或者應力場強度因子的函數α=f(ΔK)來表征不同裂紋擴展區域動力ΔK+和Kmax對參數K*的貢獻。

裂紋擴展速率由中部區到近門檻值區轉變時，也伴隨著裂紋擴展驅動力由ΔK+到Kmax的主次轉變，Sudip Dinda［12］用一個函數 α(ΔK)=α0g(ΔK)取代α具體值，其中α0是ΔK→ΔKth對應的裂紋擴展速率計算得到的α值，α(ΔK)隨著裂紋擴展速率的降低而增大，從而使得K*參數能夠很好解釋應力比對近門檻值區和中部區的裂紋擴展速率的影響，其中函數g(ΔK)=exp(1－ΔK/ΔKth)。

對于裂紋的擴展速率曲線由加速區到中部區，提出了一個新相關參數 αM=αbf(ΔK)，其中，f(ΔK)=exp(1－(1－R)KC/ΔK)，αb是 ΔK→(1－R)KC時，對應的裂紋擴展速率計算得到的相關參數 α 值。當 ΔK→(1－R)ΔKC時，f→1，能夠反映加速區裂紋擴展驅動力主要是Kmax。而隨著ΔK的降低，裂紋的擴展由加速區轉到了中部區，f→0，αM=αbf(ΔK)的值逐漸減小，1－αM值相應的增大，反映了裂紋擴展驅動力由Kmax→ΔK+的逐步過渡。從而得到一個適合于中部區和加速區，修正的裂紋擴展雙參量動力根據修正的兩參量驅動力K*M，本工作得到不同應力比所對應的裂紋擴展速率曲線，如圖4所示。

圖4 用K定義的裂紋擴展速率Fig.4 Fatigue crack growth data of orientation PMMA as a function of K

從圖4可以看出，對于定向有機玻璃YB-DM-11，K*M參數能夠很好地解釋應力比對裂紋擴展速率的影響規律。由此就得到包含應力比對裂紋擴展速率影響的Forman公式表達式:

式中，KM*C是試件斷裂瞬間K*M對應的最大值，即和m是擬合參數。

對于參數 K*M，當 R≤0時，ΔK+=Kmax，此時，，最終不同應力比R=0.4和R=0.1的裂紋擴展速率曲線與曲線重合。

3 結論

(1)Forman公式能夠很好擬合YB-DM-11有機玻璃中部區和快速擴展區，應力比越大，擬合參數C和m越大，(1－R)KC的值變小，導致裂紋擴展較早進入加速擴展區。

(2)將雙參量裂紋擴展驅動力模型中的α值用函數αM=α1f(ΔK)代替，得到修正的雙參量裂紋擴展驅動力K*M，能夠反映裂紋擴展由中部區過渡到加速區ΔK+和Kmax的轉變，使雙參量裂紋擴展驅動力模型很好地解釋應力比對有機玻璃裂紋擴展中部區和加速區的影響。

(3)對于參數K*M定義應力比R=－0.4，R=0.1和 R=0.4的裂紋擴展速率曲線，與應力比R=－0.4時，Kmax定義的裂紋擴展速率曲線重合。

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