產品無失效概率的貝葉斯估計

徐 寶，姜玉秋

(吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000）

0 引言

泊松分布是一種在實際中有著廣泛應用的離散分布，它常與單位時間或單位面積及單位產品上的計數過程相聯系。這種分布中的參數以及它的一些函數是應用統計中的重要指標：參數λ在可靠性應用中稱為產品可靠度；變異系數1λ是刻畫保險風險最常用的數量指標之一；產品無失效概率e-λ用來刻畫單位時間內的計數為零的可能性，因此對這些函數進行理論研究是有一定的價值和實際意義的。

泊松分布參數的估計及性質在一些熟知的損失函數下已得到廣泛的研究[1-4]，近些年，隨著與信息論中的熵函數有關的一系列損失函數的提出并在參數估計中的高頻率使用，泊松分布參數的研究已經拓展到分布參數的幾種函數的估計問題[5-7]。本文將在貝葉斯框架下繼續研究應用中常見的泊松分布參數函數的估計問題.對已有的與熵函數有關的損失函數加以改進，提出一種新的損失函數，在這個損失函數下，研究泊松分布參數的另一種函數——無失效概率的估計問題。

1 無失效概率的估計

其中x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的一組實現值.若令θ=e-λ，則參數θ為泊松分布的無失效概率，即P(X=0)=e-λ.

這一部分在q對稱熵損失函數[7]的改進形式—加權p,q對稱熵損失函數下，研究參數θ的貝葉斯估計，其中δ是待估參數θ的估計量.容易看出損失函數(2)關于待估參數及其估計量是p,q對稱的，也就是交換二者以及p,q的位置，不改變損失函數的形式.這是熵損失函數所不具備的特性，而且當p=q時，損失函數(2)具有與平方損失函數以及絕對損失函數一樣的對稱性。

在平方損失函數下，對于任一先驗分布，參數θ的貝葉斯估計為后驗均值E(θ|X)，在加權p,q對稱熵損失函數(2)下也有類似的結論.下面定理給出了參數θ的貝葉斯估計.這里只給出定理內容，證明從略，詳見文獻[5]。

下面考慮在給定先驗分布下，參數θ的貝葉斯估計的精確形式。

進而，參數θ的貝葉斯估計為

即貝葉斯估計δB(X)的貝葉斯風險有限，從而δB(X)是可容許的。

下面在給定置信水平1-α下，研究無失效概率θ的置信區間[9]的精確形式。

證明：先計算參數λ的置信水平1-α的置信區間，再根據無失效概率θ是λ的單調函數，可以得到θ的置信水平1-α的置信區間.

2 討論與模擬

首先取先驗分布Γ(5,2)，即k=5,β=2，其次限定樣本容量n=100，然后對無失效概率e-λ的5個不同值，在滿足p+q=4的兩種可能情況下進行隨機模擬，模擬結果列于下表，表中除了參數真值e-λ外，其余數值均為隨機模擬20次的平均值.下列表格中，表示參數θ的貝葉斯估計表示估計的偏差平方表示估計的偏差的絕對值。

其中表1的結果可看成是參數θ在q對稱熵損失函數下的貝葉斯估計的模擬值.由上述模擬結果可知，本文給出的貝葉斯估計和最大后驗區間估計的精度還是很高的.并且由表1與表2中的模擬數據對比可知，本文給出的貝葉斯估計的精度在一定程度上優于在q對稱熵損失函數下得到的貝葉斯估計的精度。

表1 p=q=2時的模擬結果

表2 p=3,q=1時的模擬結果

[1]Vellaisamy P.Sushmita J.Estimating the Parameter of the Population Selected from Discrete Exponential Family[J].Statist.Probab.Lett,2008,（78）.

[2]Stamey J D.bratcher T L.young D M.Parameter Subset Selection and Multiple Comparisons of Poisson rate Parameters with Misclassification[J].Comput.Statist.and Data Anal,2004,（45）.

[3]Marchand é.Parsian A.Minimax Estimation of a Bounded Parameter ofaDiscreteDistribution[J].Statist.Probab.Lett,2006,（76）.

[4]Jozania M J.Marchand é.Parsian A.On Estimation with Weighted Balanced-type Loss Function[J].Statist.Probab.Lett，2006,（76）.

[5]徐寶，宋立新.貝葉斯框架下泊松分布參數的估計[J].西北師范大學學報(自然科學版)，2009，45(6).

[6]宋立新，陳永勝，許俊美.刻度平方誤差損失下Poisson分布參數的Bayes估計[J].蘭州理工大學學報，2008，34(5).

[7]史云亮.Q-對稱熵損失下Poisson分布無失效概率的估計[D].[碩士學位論文].大連：大連理工大學，2007.

[8]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，1998.

[9]張堯庭，陳漢峰.貝葉斯統計推斷[M].北京：科學出版社，1991.