萬向鉸傳動偏斜軸系橫向振動的主共振分析

馮昌林,朱擁勇,王德石

(海軍工程大學兵器工程系,湖北 武漢 430033)

0 引 言

偏斜軸系在各種艦艇機械結構中廣泛存在,考慮用萬向鉸(萬向聯軸器)運動約束描述一類軸系的偏斜。由于萬向鉸的運動傳輸特性,即使在主動軸轉速和輸入力矩恒定的定常工況下,從動軸依然表現出波動的轉速,承受波動的傳遞彎矩和軸向轉矩的作用,從而引起軸系的非線性振動[1]。1958年,Rosenberg曾采取具有集中轉子質量的均勻無質量彈性軸模型對萬向鉸傳動的旋轉軸的橫向振動穩定性進行過研究[2],得到了偏斜角導致的各種亞臨界失穩條件,研究成果至今仍得到學術界的普遍重視。結果同時表明,振動的穩定性依賴于傳遞力矩的幅度。T.Iwatsubo與M.Saigo,研究了彈性支撐下的有非跟隨力矩作用的剛性軸,將幾何約束處理為0偏斜角度,即類似于直軸,而考慮萬向鉸約束下的運動波動,給出了力矩表達式,發現了參數失穩和顫振型失穩;并在廣義坐標的選擇方法上,給出了萬向鉸驅動軸橫向振動的Euler坐標描述方法[3]。與此同時,H.Ota,M.Kato與H.Sugita等發表了2部研究報告[4-5],導出了萬向鉸約束中的波動力(力矩),研究了約束激勵下的橫向強迫振動機理與規律,給出了特征參數的實驗研究結果。其后,又進一步考慮了摩擦[6],將軸系中的從動軸考慮為無質量、偏心且對稱的轉子,將軸柔性處理為集中剛度,研究了參數共振問題,得到主軸轉速接近于扭轉、或者橫向固有頻率的偶數倍時,產生參數共振。盡管由于研究過程中做了較多假設,還存在進一步的待研究空間,Rosenberg[2]與T.Iwatsubo[3]的工作仍然成為研究萬向鉸傳動軸系橫向振動與穩定性的經典成果,對本文的模型研究也具有參考價值。本文將研究萬向鉸傳動的剛性旋轉軸橫向振動的主共振問題。應用希爾無限行列式方法對萬向鉸傳動的從動軸的橫向振動微分方程進行穩定性分析,得到系統主共振的穩定圖,并分析系統參數對主共振穩定性邊界的影響。

1 模型描述

取單萬向鉸傳動的偏斜軸系,系統包括主動軸、從動軸和萬向鉸十字軸。只考慮存在萬向鉸固有結構偏斜時,驅動軸與從動軸處于同一平面內,且2軸之間的夾角用 φ表示。當驅動軸轉動時,在萬向鉸的作用下,從動軸產生橫向振動,如圖1所示,用廣義坐標(角位移)αL和 βL描述從動軸的橫向振動。

圖1 偏斜旋轉軸橫向振動的廣義坐標Fig.1 The sketch map of lareral vibration on mialigned rotary shaft

2 運動方程

本文主要研究偏斜軸系的橫向振動,因此忽略從動軸的扭轉彈性。從動軸受到的外力主要包括2個部分:一是萬向鉸十字架作用在從動軸上的力,這些力共同產生的合力矩就是主動軸輸入力矩通過萬向鉸傳遞到從動軸上的力矩;二是軸承處的彈簧力和阻尼力,分別對從動軸作用產生彈簧力矩和阻尼力矩。萬向鉸傳動偏斜軸系的橫向振動可以看成是從動軸在外力矩的作用下繞萬向鉸十字軸的中心的轉動。利用改進的從動軸繞原點轉動的普遍運動微分方程(即歐拉方程),可以建立該萬向鉸傳動的從動軸的橫向振動微分方程:

其中:T0為主動軸上的輸入力矩;l為從動軸長度;J0為從動軸橫向轉動慣量;κ為從動軸的極向轉動慣量和橫向轉動慣量的比值;Kx2和Ky2為從動軸端部軸承處彈簧剛度系數;Cx2和Cy2為從動軸端部軸承處阻尼器阻尼系數;p(τ)為萬向鉸傳遞的角速度波動函數。

方程(1)左邊第2項的系數矩陣為阻尼矩陣,阻尼矩陣中的元素有的是常數,由系統參數決定,有的是變量,與無量綱時間 τ有關;左邊第3項的系數矩陣為剛度矩陣,剛度矩陣是常數矩陣,只與系統參數有關;左邊第4項不含無量綱時間 τ的函數,僅與橫向振動本身有關,故它能引起系統的自激振動,產生顫振型失穩;左邊第5項和第6項含有無量綱時間 τ的正弦、余弦函數,作為參數激勵,能引起系統的參數共振;方程右邊為強迫振動項,它能引起系統的強迫共振,方程左邊第4～6項及右邊項都含有從動軸受到的彎曲力矩,它們均與主動軸輸入力矩T0有關,是對由萬向鉸傳遞力矩引起從動軸橫向振動的定量描述。可見,對于萬向鉸驅動的偏斜軸系橫向振動問題,萬向鉸傳遞力矩不僅能引起系統的自激振動,還能引起系統的參數振動。

3 穩定性分析

令 φ=0,采用希爾無限行列式方法[3]進行主共振穩定性分析。將方程(1)對應的齊次方程組中的三角函數表示成復數形式:

由于式(1)中三角函數的周期T*=π,設式(2)解的形式為:

其中,Q(τ)=[q1(τ),q2(τ)]T為復周期函數,其周期為T*或2T*。由此,可將Q(τ)展開為傅立葉級數形式:

其中,向量qi=(qi1,qi2)T,且當其周期為T*,有qi=0(i=±1,±3,±5,……)。方程(2)的解可表示為:

將式(5)代入式(2)中,得到如下2個關系式:

其中 ,Fi(z)=- ν2(z+i)2I+j(z+i)ν C+K+Γ E2(i=0,±1,±2,±3,±4, ±5, ±6,…);S1和S2為無窮階矩陣。則式(2)的解為非零解的充要條件為:

即式(2)存在非零解時必須滿足矩陣S1和S2的行列式均為0。由于f2(z)=f1(z+1),說明式(8)和式(9)是等價的,分析系統穩定性,只需對式(8)或者式(9)進行穩定性分析即可。由于式(8)中既含有參數振動項和,又含有自激振動項 E2,因此,式(8)可同時給出參數激勵與自激振動共同作用時的穩定性條件。

為便于計算,可將無窮維矩陣S1近似為有限維n階矩陣進行穩定性分析,階數越高,則所得穩定性結果與理論結果越相近。當驅動軸旋轉角頻率 ω接近于主共振頻率 ω10時,無窮維矩陣S1近似為2階矩陣,其相應的行列式寫為:

可得系統主共振(產生在固有頻率 ω10處)時的穩定性條件:

或者

從式(11)和式(12)可以看出,主共振穩定性條件不僅與輸入扭矩T0、支撐軸承安裝位置l以及軸承剛度Ky2有關,還與阻尼系數Cy2以及從動軸轉動慣量J0等因素有關,通過合理選取系統參數,減小系統的不穩定區,可以達到抑制系統主共振的產生。

同樣,當主動軸角速度 ω接近于主共振頻率 ω20時,系統主共振(產生在固有頻率 ω20處)穩定性條件為

或者

分析系統參數對主共振穩定性邊界的影響。以固有頻率 ω10作為中心頻率時,根據式(12)可知,若輸入扭矩T0一定,增大支撐軸承彈簧剛度系數Ky2與阻尼系數Cy2,增大從動軸轉動慣量J0或者增大軸長l,均可使主共振的不穩定區變大,系統在頻率 ω10附近易產生主共振。以固有頻率 ω20作為中心頻率時,也存在同樣的規律。因此,在實際萬向鉸傳動的偏斜軸系中,要抑制系統主共振的產生,應適當選擇支撐軸承的安裝位置,并盡量選取大剛度且足夠光滑的支撐軸承,同時減小從動軸轉動慣量J0。

圖2 系統主共振穩定圖Fig.2 Stability of principal resonance

圖3 主共振穩定圖(Kx2=Ky2)Fig.3 Stability of principal resonance(Kx2=Ky2)

若支撐軸承具有均勻性,則Kx2=Ky2,此時有ω10=ω20=Ω0,同樣取C11=C22=0.3,則根據式(11)或式(13)可得到系統產生主共振時的穩定圖,如圖3所示。此時,由于兩固有頻率相同,系統主共振時只存在1個不穩定區,其中心頻率為 Ω0;注意到(ω10+ω20)/2=Ω0,這說明系統在Kx2=Ky2時產生的主共振即為系統的和型組合共振。

4 結 語

偏斜軸系的振動是機械科學及力學領域的重要研究內容。本文在考慮萬向鉸結構偏斜,將從動軸當作剛性細長軸,將從動軸端部支撐軸承簡化為2對彈簧阻尼器的基礎上,建立了萬向鉸傳動偏斜軸系的橫向振動微分方程。應用希爾無限行列式方法對方程進行了穩定性分析,得到了系統主共振的穩定圖,并分析了系統參數對主共振穩定性邊界的影響。結果表明,增大支撐軸承彈簧剛度系數與阻尼系數、增大從動軸轉動慣量或者增大軸長,均可使主共振的不穩定區變大,系統在固有頻率附近易產生主共振;系統在支撐均勻(Kx2=Ky2)時產生的主共振即為系統的和型組合共振。研究工作對進一步確定萬向鉸傳動的偏斜軸系的動力學行為,抑制偏斜軸系振動具有重要的意義。

[1]馮昌林,王德石,等.變工況條件下萬向鉸驅動軸的運動特性分析[A].數學力學物理學高新技術交叉研究進展-2010(13)卷[C].北京:科學出版社,2010.479-484.FENG Chang-lin,WANG De-shi,etal.Kinematic characteristic analysis of shaft driven by universal joint in varying operating condition [A]. The Progress of Interdisciplinary Research ForMathematics,Mechanics,Physics and High New Technology,2010(13)[C].Beiing:Science Press,2010.479-484.

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