非因果輸入的LTI系統全響應求解方法

2011-08-16 01:13:54金欣磊張韻農陳紅亮

電氣電子教學學報 2011年4期

任蕾,薄華,金欣磊,張韻農,陳紅亮

(上海海事大學信息工程學院,上海 200135)

系統全響應可以通過分別求解系統的零狀態響應和零輸入響應,通過二者疊加而獲得[1-5]。

而當給定系統非因果輸入、系統初始條件未知的情況時,非因果輸入信號中的反因果分量作用于系統,其結果轉換為系統的初始條件,作用于系統后對應零輸入響應;非因果輸入信號中的因果分量作用于系統,其結果對應系統的零狀態響應[6]。因此可無需分別求解零狀態和零輸入響應,系統全響應可直接求解。

本文從時域、頻域和復頻域三個角度,總結了已知系統全響應信號、初始條件未知情況下,直接求解系統全響應的三類主要方法。這三類方法是系統分析問題在不同域的描述形式,三者是統一的。

1 已知非因果輸入直接求解全響應

1.1 問題描述

設線性時不變系統的微分方程為

式中,f(t)是系統非因果輸入信號,即f(t)=f-(t)+f+(t)。其中f+(t)是輸入信號的因果分量,f-(t)是輸入信號的反因果分量,y(t)是系統全響應信號。

系統在初始條件下對初始時刻后的輸入在初始時刻后產生的響應稱為系統的全響應。零輸入響應是系統在初始時刻之前的輸入信號作用的結果。

1.2 時域分析方法

時域分析方法的思路是利用規范化方法,首先求解系統沖激響應,然后利用卷積技術求解系統全響應。

我們利用規范化方法確定系統的沖激響應:

其中,hx(t)是對應的規范化系統的沖激響應。

利用卷積的概念,系統全響應為

1.3 頻域分析方法

由系統微分方程可得系統沖激響應對應的傅里葉變換為

因此可以求解在整個時間區間上系統全響應為

故系統的全響應為y(t)=ya(t)u(t)。

1.4 復頻域分析方法

由系統微分方程得系統函數為

利用雙邊拉普拉斯變換得系統于整個時間區間上的全響應:

因此,系統全響應為y(t)=ya(t)u(t)

1.5 二種方法的對比

可以看出,這三類方法是一個問題在時域、頻域和復頻域的不同表現形式。時域方法求解全響應,重點是利用系統沖激響應的物理意義,統一求解系統零輸入和零狀態,無需再判斷系統的初始條件,卷積后結果需要取其因果分量;頻域與復頻域方法,均是利用時域卷積定理,首先在變換域中求解全部時間區間中的全響應,然后對其做逆變換,同樣需要對該結果取因果分量。因此,上述三類方法是統一的,是直接求解系統全響應問題在不同角度的三種描述。特別需要說明的是,對于復頻域的方法,需要利用雙邊拉普拉斯變換。對于非因果激勵中的直流信號部分,其雙邊拉普拉斯變換需注意。在第三部分例題中將會特別介紹。

當遇到已知系統非因果輸入信號,而系統初始條件未知時,可適當選擇方法,但是無論從時域、頻域或復頻域出發,均可以解決問題。