換路后兩個(gè)連接電容電場能量變化分析

齊 超,王子譽(yù),楊瀚潮,齊 賽

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué),黑龍江哈爾濱 150001;2.黑龍江電力職工大學(xué),黑龍江哈爾濱 150030)

0 引言

我們現(xiàn)在討論在如圖1所示的兩個(gè)電容相連的情況下,t=0時(shí)刻開關(guān)閉合,帶電量為Q1的電容器C1與另一帶電量為Q2的電容器C2將并聯(lián)。不妨設(shè)C1的電壓U1大于C2電壓U2。

并聯(lián)之前電容器儲(chǔ)存的靜電能為

開關(guān)閉合較長時(shí)間后系統(tǒng)穩(wěn)定,并聯(lián)儲(chǔ)存的靜電能為

顯然,系統(tǒng)的靜電能比原來減少了。靜電能損失的值為

由此看似系統(tǒng)能量沒有守恒[1,2]。其原因可以看成是:①由于電容器間導(dǎo)線存在內(nèi)阻,電荷重新分配過程產(chǎn)生電流,會(huì)產(chǎn)生焦耳熱消耗部分能量;②電場的改變要向空間輻射電磁波,能量以電磁輻射的形式消耗。

設(shè)電容間的導(dǎo)線電阻為 Rl,等效輻射電阻為Rr,回路的總電阻R=Rl+Rr,電路簡化為如圖2所示的電路。

圖1 兩個(gè)連接電容

圖2 考慮兩種損耗的等效電路

1 從串聯(lián)暫態(tài)電量角度分析

兩邊對(duì)t微分得

此零輸入一階微分方程解[3]

換路后電容C1的電量

換路后電容C2的電量

損失的電場能量

可見,其結(jié)論和式(3)一致,說明損失的電場能被等效的導(dǎo)線電阻和輻射電阻所消耗。

2 從串聯(lián)穩(wěn)態(tài)電壓整體角度分析

如果仔細(xì)分析圖2,在有電阻的情況下兩個(gè)電容器也可當(dāng)做串聯(lián)。其實(shí),兩個(gè)電容不論串聯(lián)還是并聯(lián),對(duì)結(jié)果都不會(huì)產(chǎn)生影響。原因在于電容串聯(lián)放電到終了時(shí),兩極板的電勢(shì)分別相等,相當(dāng)于短路,與并聯(lián)時(shí)一致,而能量的變化只與始末態(tài)有關(guān),與過程無關(guān)。而且上面的分析是根據(jù)基爾霍夫電路定律討論的結(jié)果,不論串聯(lián)還是并聯(lián)都可成立。

下面,我們將從串聯(lián)穩(wěn)態(tài)電壓角度進(jìn)行分析?，F(xiàn)將兩個(gè)電容看做一個(gè)串聯(lián)整體,等效電容和其電壓分別為

串聯(lián)前兩電容的能量為

串聯(lián)穩(wěn)態(tài)后對(duì)于整體電路相當(dāng)于零輸入響應(yīng),最終電容電壓為零,即能量為

能量損失為

可見結(jié)論與式(3)和式(7)一致,我們可將其理解為串聯(lián)等效電容CS從電壓US為放電到0時(shí)損失的電場能量。

3 從并聯(lián)穩(wěn)態(tài)電壓分體角度分析

現(xiàn)若將兩個(gè)電容不看做串聯(lián)整體,按并聯(lián)分開考慮,則有兩個(gè)電容的終態(tài)電壓U0相等,且滿足電荷守恒。不妨設(shè)U1>U2,由電荷守恒,電容C1放電電荷應(yīng)等于電容C2充電電荷:

得到的并聯(lián)穩(wěn)態(tài)電壓為

電容C1損失的能量為

電容C2損失的能量為

總能量損失為

可見,上述結(jié)論與式(8)一致。

4 從功率密度角度分析

電磁場理論中,麥克斯韋認(rèn)為能量是存在于場中的。電容兩個(gè)極板上聚集起等量正負(fù)電荷時(shí),就會(huì)在電容兩端之間建立起電場,也就存儲(chǔ)了能量。單位時(shí)間內(nèi)穿出與能流方向垂直的單位面積上的能量(即功率密度也稱坡印亭矢量)為[4]

圖3 兩個(gè)電容功率密度

從換路到放電結(jié)束,C1板間圓柱形空間側(cè)表面輸出的能量為

將式(4)和式(5)代入上式整理得

將式(4)和式(6)代入上式整理得

將式(10)減去式(11),可得

其結(jié)果與式(7)、式(8)及式(9)一致。由此再次說明電容放電過程中發(fā)出的能量一部分轉(zhuǎn)移到充電電容C2中,還有一部分被損失掉。

5 討論

系統(tǒng)損失的電場能量全部轉(zhuǎn)化為電磁輻射能。

系統(tǒng)損失的電場能量一部分轉(zhuǎn)化為焦耳熱能,一部分轉(zhuǎn)化為電磁輻射能。

由此可見,兩個(gè)帶電的電容器并聯(lián)時(shí)損失的靜電能與這兩個(gè)電容器串聯(lián)時(shí)損失的靜電能相等,這反映了靜電場是保守場,靜電能是狀態(tài)函數(shù),損失的靜電能只與始末態(tài)有關(guān)而與中間過程無關(guān)。

[1] 程榮龍,楊春蘭.關(guān)于電容器連接中能量損失問題的討論[J].滁州:滁州學(xué)院學(xué)報(bào).2010,12(2):35-36

[2] 祁翔.兩電容器連接時(shí)的能量損失初探[J].貴州:貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2009,4(2):10-12

[3] 陳希有.電路理論基礎(chǔ)(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2004

[4] 倪光正.工程電磁場原理(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2009