對互易電路性質的補充討論

田社平,陳洪亮,張 峰

(上海交通大學電子信息學院,上海 200240)

0 引言

互易電路是指滿足端口互易特性的電路。對于不含獨立電源的電路,如果該電路對外具有兩個端口,構成二端口電路,當該二端口電路的參數矩陣的元素滿足如下關系,即

則稱該電路為互易電路或互易二端口電路[1]。

互易定理是互易電路性質的概括與總結,現行電路教材中一般將互易定理描述為三種形式[2,3]或兩種形式[4]。這三種形式可簡單地表述為:對互易電路,電路的正向轉移電阻和反向轉移電阻相等;電路的正向轉移電導和反向轉移電導相等;電路的正向轉移電流比和反向轉移電壓比大小相等,符號相反。上述三個結論如果用二端口電路的參數矩陣來描述,正好對應式(1)～式(3)。

由于描述二端口電路的參數矩陣有六種形式,從邏輯上講,由式(1)～式(6)可知互易電路的性質應該有六種表現形式,除互易定理的三種形式外,互易電路還具有式(4)～式(6)所表達的性質。下面就式(4)～式(6)所表達的性質作一補充討論。

1 互易電路性質的補充討論

1.1 互易電路補充性質之一

針對式(4),可推出互易電路具有如下性質。

[補充性質1]已知圖1所示電路中N為互易電路,如果在端口11’施加電壓源激勵uS1,在端口22’得到電壓響應u2,如圖1(a)所示。反之,對端口22’施加電流源激勵iS2,可在端口11’得到電流響應i1,如圖1(b)。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖1 互易電路補充性質之一

上述性質可直接由式(4)推出。由該性質可知,如果N為互易電路,則電路的正向轉移電壓比和反向轉移電流比大小相等,符號相反。請注意該性質與電路教材中互易定理形式3的區別[2,3]。

1.2 互易電路補充性質之二

針對式(5),可推出互易電路具有如下性質。

[補充性質2]已知圖2所示電路中N為互易電路,如果在端口11’施加電壓源激勵或電流源激勵,在端口22’得到電壓響應或電流響應,分別如圖2(a)～圖2(d)所示。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖2 互易電路補充性質之二

證明:不失一般性,假設二端口電路N的a參數矩陣為

則對圖2(a)電路,有

由式(9)可得

同理,由圖2(b)電路,有

由式(11)可得

類似地,由圖2(c)和圖2(d)可得關系式:

N為互易電路,因此Δa=a11a22-a12a21=1,由式(10)、式(12)～式(14)可得出式(8)。

1.3 互易電路補充性質之三

針對式(6),可推出互易電路具有如下性質。

[補充性質3]已知圖3所示電路中N為互易電路,如果在端口22’施加電壓源激勵或電流源激勵,在端口11’得到電壓響應或電流響應,分別如圖3(a)～(d)所示。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖3 互易電路補充性質之三

上述性質的證明與互易電路補充性質之二的證明類似。

2 互易定理和補充性質之間的關系

由于描述二端口電路的六種參數矩陣之間可以相互轉換,因此對互易電路,如果描述其端口特性的六種參數矩陣都存在,則互易定理的三種形式和三種補充性質中任意一者都可推出其他五者,即互易電路的六種性質是完全等價的。但是,并非所有的二端口電路都存在六種參數矩陣,因此對互易電路,如果描述其端口特性的某一種參數矩陣不存在,則與之對應的性質也就不存在。從這個意義上講,互易電路的六種性質之間具有一定的獨立性。

如圖4所示,二端口電路均由電阻元件構成,因此都是互易電路。經計算可知,圖4(a)電路不存在G矩陣,因此不滿足正向轉移電導和反向轉移電導相等這一性質。圖4(b)電路不存在R矩陣,因此不滿足正向轉移電阻和反向轉移電阻相等這一性質。圖4(c)電路不存在G、H、A、^A矩陣,因此僅滿足正向轉移電阻和反向轉移電阻相等和補充性質之一。

圖4 二端口互易電路

值得指出的是,對互易電路,如果其A矩陣存在,由于A矩陣元素滿足式(5),由A矩陣與^A矩陣的轉換關系可知,對應的 ^A矩陣必存在。反之,如果^A矩陣,則對應的A矩陣必存在。因此補充性質之二和補充性質之三可互相推出,兩者等價。

3 結語

由于二端口電路可以有6種參數矩陣描述形式,因此對互易二端口電路具有式(1)～式(6)由矩陣參數所表達的6種性質,與之對應,互易二端口電路的端口電壓、電流關系應具有互易定理3種形式和本文介紹的3種補充性質所表達的性質。

本文在互易定理的基礎上給出互易電路所具有的三個補充性質,給出了相應的證明,通過這些討論,有助于正確理解互易性的概念,并對電路課程的教學具有一定的幫助作用。

[1] 李瀚蓀.簡明電路分析基礎[M].北京:高等教育出版社.2002

[2] 陳希有.電路理論基礎[M].北京:高等教育出版社.2004

[3] 陳洪亮,張峰,田社平.電路基礎[M].北京:高等教育出版社.2007

[4] 于歆杰,朱桂萍,陸文娟.電路原理[M].北京:清華大學出版社.2007