大學數學中演繹體系與構造體系的鏈接及應對策略＊

張月蓮，黃祖達，楊家興

(湖南文理學院數學與計算科學學院，湖南 常德 415000)

大學數學中演繹體系與構造體系的鏈接及應對策略＊

張月蓮，黃祖達，楊家興

(湖南文理學院數學與計算科學學院，湖南 常德 415000)

從大學數學的視角，探討了收斂性思維與發散性思維即演繹體系與構造體系的鏈接及相關的應對策略，試圖找到學生的思維模式由演繹體系進入構造體系的適當的教學途徑、教學手段、教學理念，以適應國家對高校人才培養目標的要求。

大學數學;演繹;構造;鏈接;策略

演繹與構造是數學思維體系中兩個不同的方向，演繹注重邏輯，思維縝密，是收斂性思維。構造注重創建和模型，是發散性思維。中學階段的數學課程多數是演繹的，而大學階段的數學課程則是構造的。中學強化了演繹而大學強調構造，這是中學數學和大學數學的區別所在。

一、存在的問題

《歐氏幾何》是以古希臘的畢達哥拉斯學派的一些幾何學知識為基礎而誕生并經過歐幾里德及其他學者的不斷修訂和完善而形成的經典。明朝時期意大利傳教士利馬竇與我國的學者徐光啟合譯了前六卷。徐光啟對這部著作給予了高度的評價，稱此書有四不必:“不必疑，不必揣，不必試，不必改。”有四不可得:“欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，鵝欲前后更置之不可得”［1］。這種智慧的演繹結果使人們認識到理性的力量，同時也增強了人們利用這種才能獲得成功的信心。它讓我們認識到邏輯的縝密，論證的準確，演繹的完美以及演繹帶給我們的精確與權威。也因此我們認為數學是絕對的真理，是不容質疑的，是沒有缺憾的，我們在不知不覺中強化著這種演繹。

但每個學科是不斷發展不斷變化的，數學也不利外。十七世紀微積分的出現使數學發生了一次革命，極大地拓展了數學的研究和使用范圍，當然也改變著人們的思維方式和處理問題的方法。于是當學生們進入大學階段的時候，問題出現了。首先是思維方式的根本性轉變，其次是處理的問題模型的根本性轉變，就其本質是演繹和構造兩種思維體系的轉變。那么，用什么樣的教學理念和教學方法引導和幫助學生調整思維結構以盡快適應大學階段的數學學習，確實是一個值得探討的問題，本文結合自己的教學實踐作了一些探討。

二、認識有限與無限

無窮大!任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神，任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力;但是沒有任何概念比無窮大需要澄清(希爾伯特)［2］。無論多么小的一個具體的數都不是無窮小，而一個無論多么大的具體的數也不是無窮大，那么，何謂無窮小?何謂無窮大?可見，了解無限是一個至關重要的事情。

數學家說;數學是無限的科學。我們在有限的世界里也能夠感覺到無限的存在，如自然數有多少個?不管你手中有多大的一個自然數，它總有后繼數。自然數集包括平方數集作為子集，但自然數集可以與平方數集建立一一對應，這個對應說明了什么?是整體等于部分?還是矛盾?等等這些都是學生在有限中不曾碰到的問題。而在認識無限的過程中，常識有時是一個蹩腳的向導。因此，感知無限，解密無限，用無限的觀點解決問題是轉變學生思維體系的一個關鍵步驟。數學更嚴密地研究著有限和無限的關系，大大提高了人類認識無限的能力。獲得把握無限的能力和技巧是人類的智慧。在獲得這些成果過程中體現出來的奮斗與熱情是人類的情感，對無限的認識成果，則是人類智慧與熱情的共同結晶［3］。而教師必須引導學生認識與了解無限，才能調整思維結構，進入大學數學的學習階段。

三、理解極限

極限奠定了微積分，是微積分的基礎。由于有了嚴格的極限的定義才使微積分日臻完善。而怎樣引導學生認識極限，理解極限，運用極限又是一個思維體系的架構過程。函數的連續，函數的導數，定積分，二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分等等這些概念都是建立在極限的基礎之上的，只有充分理解和合理應用了分割、求和、取極限這三部曲而建立的數學模型，充分地理解了這些抽象的數學知識，才能將這些具體的方法與實際的模型靈活地運用于其他相關的學科。在這里，取極限是一個量變到質變的過程，而怎樣講述極限這個非常重要的概念，也是思維體系的一個重大調整，是學生學習微積分的關鍵所在。

四、挖掘公式、定理背后的真理

數學學科當然離不開公式、定理，而正是公式和定理才構成了數學學科的靈魂。要引導學生挖掘這些公式、定理背后隱藏的真、善、美，了解一代代數學工作者為了探索真理而前仆后繼的精神。在潛移默化中轉變學生的思維方式，調整思維方法。如微積分中的微積分基本定理，為什么叫基本定理，它的基本性體現在哪里呢?它是否是萬能的公式?它在什么條件下不能用?格林公式、高斯公式在其他學科中有更廣泛的應用嗎?其他學科是怎樣使用的?又作了哪些調整，添加了什么，數學意義和物理意義分別是什么?等等。對于公式、定理不局限于課本的現有知識，通過介紹更多的背景知識，數學史知識，讓學生眼中的公式、定理動起來，飛起來，讓學生熱愛公式，鉆研公式，拓展公式，從而熱愛數學，熱愛科學。

五、結語

數學中的公理化體系一直是數學學科的驕傲。但以為數學教育就是對學生進行演繹訓練，不僅是對數學學科的一個誤解，也是十分有害的。純粹的演繹具有單向思維的特點，其思維指向及大體線索都已清楚，其邏輯起點與依據也已清楚。因此很難由演繹獲得開拓性的思維成果，很難由收斂性思維獲得開創性的發現。只強調公理的作用，過分注重演繹思維(收斂性訓練)而忽視數學的發散性思維。雖然現在大家都意識到了這一點，但并沒有從根本上加以改變，這正是數學教育令人擔憂的現狀［3］。

要使學生具有竟爭力，最關鍵的問題是培養他們的創新能力，而這種創新首先是從教師開始的，沒有創新的教育理念，沒有全新的文化視角，沒有承前啟后的治學態度，沒有腳踏實地的、立足本國、放眼世界的雄偉目標，就沒有朝氣蓬勃、勇于創新的天之驕子。我們應該與學生同行，在大學這個廣闊的舞臺上，給他們一雙騰飛的翅膀。同時也讓學生欣賞數學、品味數學，領略和吸取數學千秋滄桑鍛造出的不朽思想，了解數學是人類文明結晶出的偉大智慧。而不是繼續著2000年前的歐氏幾何，300年前的微積分，反復在黑板上演繹著永恒的公式與定理。因此本文從大學數學入手，探討了演繹體系與構造體系的鏈接及相關的應對策略，試圖找到學生的思維模式由演繹體系進入構造體系的適當的教學途徑、教學手段、教學理念，以適應國家對高校的人才教學目標的要求。

［1］蕭建昌.人文數學導引［M］.成都:西南交通大學出版社，2006.

［2］張順燕.數學的美與理［M］.北京:北京大學出版社，2006.

［3］張楚廷.數學文化［M］.北京:高等教育出版社，2003.

2011－03－15

芙蓉學院教改項目

張月蓮(1965－)，女，副教授。