常微分方程在數學建模中的應用

朱美玲

（太原理工大學，山西 太原 030024；太原城市職業技術學院，山西 太原 030027）

常微分方程在數學建模中的應用

朱美玲

（太原理工大學，山西 太原 030024；太原城市職業技術學院，山西 太原 030027）

本文簡要介紹了常微分方程的發展和數學建模的過程以及常微分方程在數學建模中的一些應用，并對數學建模在數學教學中的地位和作用作了一些展望。

常微分方程；數學建模；數學應用

一、引言

常微分方程起源于生產實踐，在解決科學技術的許多問題中發展并逐步完善。而用微分方程解決問題一般分為以下幾步：第一，實際問題的提出；第二，根據問題的規律列出微分方程（稱為建立數學模型）；第三，解此微分方程或對方程進行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性質）解釋或預測問題的發展，即用數學語言描述實際現象。這個過程其實就是數學建模，數學建模是微分方程解決實際問題的最主要的途徑。

二、常微分方程的發展

常微分方程的發展有著悠久的歷史。為了解決諸如某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離與時間的函數關系，火箭在發動機推動下在空間的飛行軌跡函數等等。為了解決此類問題產生了微分方程。含有未知函數及其導數的方程稱之為微分方程。縱觀微分方程的發展史，我們發現微分方程與物理、天文學、醫學、生物學、力學等有著密切聯系，尤其是隨著科技的進步，電子計算機的廣泛應用使得微分方程的應用日益廣泛。

三、常微分方程在數學建模中應用

用微分方程求解實際問題的關鍵是建立實際問題的數學模型——微分方程。這首先要根據實際問題所提供的條件，選擇和確定模型的變量。再根據有關學科的理論，如物理、化學、生物、幾何、經濟等，找到這些變量所遵循的定律，用微分方程將其表示出來。為此，必須了解相關學科的一些基本概念、原理和定律；要會用導數和微分表示幾何量和物理量。如在幾何中曲線切線的斜率對橫坐標的導數），物理中變速直線運動的速度速度用數學語言將實際問題簡化，用數學理論和數學方法分析和解決實際問題，最后再回到實際對象中應用。這些需要扎實深厚的數學功底，還需要有能抓住實際問題變化規律的能力。下面就幾個簡單的例子談談微分方程在數學建模中的應用。

1.常微分方程在物理學中的應用

一個包裹從一個上升的氣球上掉落，當時氣球位于離地面80m高空，正以12m/s的速度上升，問多長時間該包裹落到地面？設在時刻t，包裹的速度為v(t)，離地面的高度為s(t)，地球表面附近的加速度為9.8 m/s2。假設沒有另外的力作用在下落的包裹上負號是因為重力作用于減小的方向）。這就是包裹運動的數學模型。對微分方程積分，得把初值條件代入v(0)=12得C=12。于是v=-9.8t+12。因為速度是高度的導數，即，當t=0時包裹掉落，當時位于離地面80m高空，從而有對微分方程積分，代入初值 s(0)=80得C=80。所以，在時刻t包裹離地面的高度為s=-4.9t2+12t+80。為了求該包裹落到地面的時間，我們設s=0，即 0=-4.9t2+12t+80 解得 t1≈5.45,t2≈-3。所以包裹從氣球上掉落后大約5.45s落到地面。

2.水污染模型中的應用

隨著我國經濟的高速增長，環境污染問題已成為大家共km同關注的問題。設某水庫的現有庫存量為V（單位：Q

3），水庫已被嚴重污染。經計算，目前污染物總量已達（0單位：t），且污染物均勻地分散在水中。如果現在不再向水庫排污，清水以不變的速度（r單位：km3/年），流入水庫，并立即和水庫的水相混合，水庫的水也以同樣的速度r流出。如果記當前的時刻為t=0。那么求在時刻T，水庫中殘留污染物的數量Q(t)。在時刻t，Q(t)的變化率=-（污染物的流出速度）。其中負號表示禁止排污后，Q將隨時間逐漸減少，這時污染物的質量濃度為Q(t)/V。因為水庫的水以速度r流出，所以污染物的流出速度=污水流出速度×。由此可得微分方程，這是一個可分離變量的微分方程。分離變量得，兩邊積分，得由題可知C=Q0故可得

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