淺議離散數學的課堂教學

趙 萍

哈爾濱鐵道職業技術學院數理化教研部，黑龍江 哈爾濱 150081

離散數學是以研究離散結構為對象的一門數學課程，可以培養學生的邏輯思維能力、概括抽象能力、歸納能力以及創新能力。同時離散數學又是計算機科學理論的基礎課程之一，與計算機應用技術有著密切聯系，如離散數學中的綜合、分析、歸納、演繹、遞推等方法在計算機科學技術中都有著廣泛的應用。本文從幾年的教學實踐中，得出一些心得體會。

1）離散數學，顧名思義，它的一大特點就是“散”。離散數學中包含大量的定義，定理，幾乎每節課都要出現幾個甚至十幾個定義和定理，而且都是極其抽象，難以理解的，為此，在課堂教學中，我們必須攻克這一難題。

首先，可以將散文的一大特點“形散而神不散”借用到教學中，也就是要抓住主線。在離散數學的四個分支中，集合論、代數結構、圖論和數理邏輯每部分都包含大量的定義和定理，所以在教學中教師應該抓住主線，讓學生感到每一個定義和定理都被主線緊密的聯系在一起。同樣大量的定義和定理要學生單獨記憶也十分困難，所以在學習完每一部分之后，教師還應該引導學生沿著主線，將零散的知識融會貫通，并要注意一個分支的學習對其它分支學習的幫助。如數理邏輯由命題邏輯和一階邏輯兩部分構成，每部分都有很多概念，如果一一記憶十分困難，但是將命題邏輯和一階邏輯對比，會發現一階邏輯命題的符號化只是在命題邏輯的基礎上新引入了謂詞和量詞的概念，一階邏輯等值式相比命題邏輯等值式也是新增加了關于量詞的消去，量詞轄域的收縮與擴張以及量詞分配律等，至于一階邏輯的推理相比命題邏輯的推理同樣增加了關于量詞的部分，包括存在量詞和任意量詞的引入和消去。所以,在數理邏輯部分，只要掌握了命題邏輯部分，再進行擴展就可以很好的掌握一階邏輯部分。而集合恒等式和基本邏輯等值式對各分支都是很重要的。因為，它們雖然不屬于同一分支，但是有著驚人的相似，如命題邏輯中的基本等值式結合律與集合恒等式中的結合律，名稱和形式基本相同，可以說在抽象層次上沒有什么差異，只是表層上元素的名稱和運算的記號不同，所以在學習過程中對它們的理解、掌握和運用應該都是一樣的。又因為學生對集合論這一部分內容在高中階段有過初步的接觸，而且比較直觀，容易學習和掌握。所以就要讓學生先學好這部分內容，再用同樣的思路去學習命題邏輯的相關內容就容易了。

2）離散數學的內容還比較“機械”，所以在教學過程中要避免照本宣科。教師應該結合學生的特點，將教材中內容進行再組織、再創造之后，再搬上課堂。在教學內容的組織上，應該重點突出，詳略得當，還要讓學生產生興趣。

首先，加強對概念的解釋和翻譯很重要。從概念的引入開始，要多舉實例展示概念的直觀背景，用學生易于理解的言語牽引出書本的概念，在進一步對其進行解釋與翻譯，即結合一些符號、式子和圖形對概念行分解講解，突出概念的內涵與外延，分清與其它概念的區別與聯系。如在關系的性質講解過程中，可以先通過鄰居關系、祖先關系、父子關系、兄弟關系等不同的引例對各種關系性質進行歸納，進而引出自反關系、對稱關系、傳遞關系與反傳遞關系，然后對文字描述進行精簡提煉，給出課本中的精確定義，再通過關系矩陣反映關系的特征，讓學生對概念有個進一步的理解。

其次，在教堂教學中要注重啟發式教學，只有讓學生參與進來，才稱得上成功的教學。

可以先通過若干實例提出問題，再師生共同探討思路，建立數學模型，然后總結求解的方法和理論，同時配合典型實例驗證，最后進行歸納總結，進行一般化推廣。例如圖論部分的概念和定理很多，而其中“握手定理”簡單實用，學生也很感興趣，所以在教學過程中，不但要注意講解握手定理及其變形，還應該注重突出握手定理的意義，以及如何利用其建立數學模型，解決實際問題。如一次羽毛球單打比賽中，一位同學統計如下：13位同學參加比賽，其中4位同學出場5次，3位同學出場4次，2位同學出場3次，3位同學出場2次，1位同學出場1次。你知道在沒有觀看比賽的情況下，該如何判斷這個統計結果的對錯嗎。其實很簡單，只需采用圖論思想進行建模，用13個節點分別表示13位參加比賽的同學，每場比賽有兩位同學出場，在代表出場的兩位同學的節點之間連一條線，這樣便得到一個圖，圖中每個節點的度數便是其代表同學的出場次數，可得個節點的度數和為45，違背握手定理的各個頂點的度數和應為邊數2倍（偶數）的結論，所以統計錯誤。

3）隨著課程改革的不斷推進，離散數學的教學還面臨一個“學時少，內容多”的尷尬現象，為此，要求教師在教學中也要做些變革。

首先，在選取教學內容時，并不是多多益善。因為“水滿則溢”的這個道理，對學生學習也是一樣的，所以為了避免內容太滿，要舍得“砍”去一些。要盡量選講基礎內容、重點內容、抽象的新概念、容易混淆的概念、方法以及表達或者推理證明中的常見錯誤和難點，并且要做到只要講就要講清楚，講明白，不能蜻蜓點水。而砍掉的內容，可以根據學生的培養方向不同，靈活處理，并且有些不講的內容，可以讓學生在概念、定理清楚的情況下自學，這樣往往可得以事半功倍。

其次，課堂教學要有張有弛。離散數學教學中有大量的邏輯推理過程，教師由于比較熟悉所授內容，思維過程也自然清晰，可是學生參差不齊，邏輯思維能力更是各不相同，所以為了“顧全大局”，課堂教學要做到“有張有弛”。也就是要在適當的時候做一些短暫的“停頓”，給學生一個緩沖?？刹捎玫姆绞接泻芏啵鐚⒄n后的一些簡單習題拿來，讓同學們利用新學的概念與定理一起解答。這樣做不但能給學生一個緩沖，還讓學生參與進教學，同時減輕了課后的習題負擔。還可以在這時穿插介紹一些與離散數學相關的趣事，例如在講解歐拉圖時可以引領學生做“一筆畫”的智力游戲，放松學生緊張的思維，提高學生學習這門課程的興趣。

離散數學是個仍需我們探究的學科，所以在今后的教學中，老師要和學生一起學習，一起努力。