三相磁集成VRM的微分幾何非線性控制研究

黃朝志，肖發遠

(江西理工大學機電工程學院，江西贛州341000)

微處理器的快速發展對電壓調節模塊VRM(Voltage Regulator Model)的要求越來越高。根據Intel VRD11.1標準，VRM的輸出電壓在0.5 V～1.6 V之間，輸出電流達到180 A，而且對動態響應和穩態特性提出了嚴格的要求[1]。在實際應用中，傳統VRM多采用多相并聯交錯同步整流技術來降低電流電壓紋波和提高動態性能[2-3]，但并不能降低各并聯支路的電感電流紋波。因此，研究者一直致力于將多相電感集成應用到VRM中[4-5]。研究表明，集成磁件在多相并聯交錯VRM的應用可以使其穩態特性和動態響應都能得到很好地改善，但同時集成磁件之間的磁耦合使得VRM的控制變得復雜。

最近幾年，有學者將精確反饋線性化控制引入到單通道buck變換器和兩通道磁集成VRM中，取得了良好的效果[6-8]。參考文獻[7]中，將微分幾何理論引入到兩相磁集成VRM中，在求解兩相反饋線性化解耦策略過程中應用了具有二次型性能指標的線性最優控制設計方法。本文以三相磁集成非隔離式VRM為研究對象，將微分幾何理論應用到三通道磁集成VRM中，首先建立三輸入三輸出仿射非線性模型，其次，基于微分幾何理論推導出其精確反饋線性化控制規律，實現控制變量的解耦，最后給出了仿真結果。

1 三相磁集成VRM電路模型的建立

為了建立統一的變換器模型，引入脈沖波形積分法[7]，利用周期脈沖函數將變換器在一個狀態周期中的各個子拓撲統一成一個拓撲，假定狀態脈沖函數為u1(t)、u2(t)、u3(t)，脈沖函數u(t)取值0和1分別對應實際三相磁集成VRM各相開關管的關斷和開通。

圖1為三相磁集成VRM的電路圖，Lk1、Lk2、Lk3為各自通道電感的漏感，M為兩兩電感之間的互感。三相磁集成VRM工作在電感電流連續模式時，每個開關周期有4個穩定的工作模態。取三相集成電感電流i1、i2、i3和電容電壓uo為系統的狀態變量，由脈沖函數可得變換器統一模型為:

式中，Vin為三相VRM輸入電壓，RL為VRM負載電阻。

2 狀態反饋線性化解耦控制

2.1 仿射非線性標準型

設:X=[x1，x2，x3，x4]T=[i1，i2，i3，u0]T，選擇輸出方程y1(t)、y2(t)、y3(t)。y1(t)表示實際輸出電壓與期望電壓值的偏差，反映VRM的動態和穩態特性；y2(t)、y3(t)分別為兩相電感電流的差值，使VRM各相電流達到均流的目的。因此，將三相磁集成VRM電路模型表示成仿射非線性標準型:

其中:

這類非線性系統的特點是:對狀態變量X(t)是非線性的，但對控制變量u是線性的。

2.2 非線性系統反饋線性化驗證及坐標變換

實現三相磁集成VRM的非線性解耦控制，必須滿足精確反饋線性化條件[10]。對于MIMO非線性系統能否實現反饋線性化，關鍵在于找到適當的輸出函數使系統的相對階等于系統的維數，即:

m為系統輸入個數，n為系統維數。對于多輸入多輸出仿射非線性系統有解的重要條件[8]是:(1)當0≤i≤n-1，分布在點x0的領域U內具有常維數；(2)當0≤i≤n-2，分布Gi是對合的；(3)分布Gn-1具有維數n。

根據微分幾何理論[9]，可得G0、G2是對合的，G3的秩為4，且與系統維數相等，仿射非線性系統式(2)可以實現狀態反饋線性化，其解耦矩陣為:

A(x)為非奇異矩陣，所以在所選定的輸出下非線性系統能轉化為布魯夫斯基標準型。

選擇坐標變換Z=Ф(X)=[z1，z2，z3]T，則

坐標變換雅可比矩陣的秩det(JФ)=-3/C≠0,它是非奇異矩陣，則式(4)為系統的一組合格坐標變換。

3 解耦控制規律的求解

仿射非線性系統式(2)經過坐標變換式(4)可以變換成以下形式:

若引入新的控制量v1、v2、v3，并令:

由式(6)可得原非線性系統式(2)的控制規律表達式為:

式(7)～式(9)分別為三相磁集成VRM上端主開關管Q1H、Q2H、Q3H的開關函數，其在一個周期內取數值1時所占的時間的長短代表了變換器占空比的大小，解出式中控制變量v1、v2、v3與向量X的關系即可求得原仿射非線性控制系統的精確反饋線性化解耦控制策略。

引入具有二次性能指標的線性最優控制設計方法[7]，實現輸出電壓穩定和三相電感電流均流。式(7)～式(9)完全能控，屬于無限時間輸出的二次型最優控制問題。在給定初始條件下，取Riccati矩陣方程中的誤差約束權矩陣Q為單位矩陣，求解最優控制V*，使系統最優二次型性能指標取最小值。最優控制向量為:

式中，k*=BTP*，P*為Riccati矩陣方程的解，B=[0 0 0；1 0 0;0 1 0；0 0 1]，因此:

由式(10)知:

由式(7)～式(9)、式(12)可以得出三相磁集成VRM的精確反饋線性化控制規律。

4 仿真驗證

由上述推導過程得到三相VRM的狀態反饋精確線性化控制框圖如圖2所示。為了驗證三相磁集成VRM模型和解耦控制的正確性，本文采用Matlab對基于精確反饋線性化控制的三相磁集成VRM系統進行仿真，同時將仿真結果與輸出誤差反饋PI控制策略進行了對比。

本文設計的三相磁集成VRM電路的參數為:輸入電壓Vin=12 V，輸出電壓Vo=1.2 V，負載RL=0.02 Ω，每相開關頻率f=200 kHz,自感L1=L2=L3取值為0.217 μH，互感M=0.023 5 μH，輸出濾波電容C=680 μF。

4.1 穩態特性仿真結果

圖3、圖4為三相磁集成VRM在精確反饋線性化控制策略下的穩態仿真波形。圖3顯示了穩態工作時，三相電感電流保持均流；圖4中輸出電壓紋波為1.9 mV，圖5中PI控制的輸出電壓紋波為6 mV，因此可以看出，精確反饋線性化控制能很好地改善系統的穩態特性。

4.2 負載擾動特性仿真結果

圖6是三相磁集成VRM在不同控制策略下的負載擾動仿真波形，設定負載從0.02 Ω跳變到0.1 Ω，然后再回到0.02 Ω。可以看出，非線性控制下電感電流、輸出電壓波形超調量小，響應時間也更快。

本文將微分幾何非線性控制理論應用到三相磁集成VRM中，實現了三輸入三輸出精確反饋線性化解耦控制。仿真結果表明，基于微分幾何理論非線性控制的三相磁集成VRM具有更好的穩態特性和更高的控制精度，動態響應特性得到明顯改善。

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