一種新型閾值決策的小波去噪方法

邱愛中

（鄭州師范學院物理系，河南 鄭州 4500443）

0 引言

在通信中信號去噪有著重要的作用。Donoho提出的統一閾值降噪法是針對多維獨立正態變量聯合分布的[1-2]。在利用閾值去噪方面，主要有硬閾值函數法和軟閾值函數法。硬閾值法可以很好地保留信號邊沿的局部特征，但會出現振鈴、偽 Gibbs效應等失真，而軟閾值函數法處理相對要平滑，但可能造成邊沿模糊等失真現象[3-4]。為了解決以上問題，將一種新型閾值函數引入信號去噪，以期實現更好的去噪效果。

固定閾值會產生過扼殺現象，如果在同一級尺度上都采用同一閾值，在較低尺度上，會去除有用信息，在最大尺度級上，則會留下一部分噪聲。為此，采用自適應的閾值算法來有效解決這個問題。

文中提出一種基于改進型閾值函數和自適應閾值的去噪方法，分析了改進型閾值函數的特點，給出了自適應閾值計算的方法。理論和試驗均說明，該法能獲得比常規的離散小波降噪法更好的效果，且保留了原始信號的細節特征，與傳統去噪法相比是一種較好的恢復微弱信號的降噪方法。

1 傳統閾值函數

在閾值去噪中，閾值函數體現了對超過和低于閾值的小波系數模的不同處理策略以及不同估計方法。根據小波去噪的數學模型，疊加了高斯白噪聲的信號可以表示為：

式中：s（t）為真實的信號，e（t）為方差 σ2的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)分布，k=1,2,…,N-1,N為信號長度。

基于小波變換的去噪主要分為3個步驟：①選擇小波和小波分解的層數，根據 Mallat算法對信號做小波變換得出到N層的各級小波分解的系數。②因為噪聲主要集中在小波細節系數中，故對每層的細節系數進行濾波，而對尺度系數不做處理。選擇軟閾值或者硬閾值函數，對小波系數進行收縮處理。③根據第N層的低頻系數和第一層到第N層的經過修改過的高頻系數，完成信號的小波重構，得到去噪信號作為真實信號的估計[3]。根據 Donoho提出的閾值算法，對小波系數處理的軟閾值函數為：

硬閾值函數為：

噪聲標準差σn可以用以下經驗公式估計，即：

2 改進的閾值函數

小波閾值降噪中閾值量化和閾值函數決定信號重構的連續性和精度。傳統的軟閾值函數和硬閾值函數在信號的連續性和重構信號與真實信號的逼近程度方面都有各自的不足。軟閾值函數降噪，雖然處理的小波系數整體連續，光滑性也好，可是對于大于閾值的小波系數恒定壓縮，自然會損失一些有用的高頻信息，影響重構信號的真實；硬閾值算法可以避免軟閾值的恒定偏差，然而由于小波系數在T±處是不連續的，給重構信號帶來一些附加振蕩，使重構信號的光滑性變差。改進的思想是要讓小波系數的偏差盡可能小，又要在小波空間連續，具有高階導數，為此，參考文獻[4-5]引入新的閾值處理函數，其表達式為：

式（6）中，m、n、k為新閾值函數的調解因子，它能較好增強應用的靈活性。m、n決定閾值函數的形式，參數k取值在0到1之間，若k為1，則該閾值函數相當于硬閾值函數；若k為0,相當于軟閾值函數。故此，在0到1之間調節參數 k，可以克服硬閾值函數的不連續和軟閾值函數在處理小波系數時出現的恒定偏差，同時保留了硬、軟閾值原有的優點。該閾值函數具有無窮階連續導數，為小波閾值的自適應選擇提供了基礎。

3 自適應閾值計算

其中n為小波系數的個數，由元素iw（i=1,2,…,n）得：

式（8）中ir為引入的風險向量元素，將式（8）多次迭代得出最小的ir，記為0r，與0r對應的iw記為0w，則閾值表達式為：

按照該方法將每一級尺度都看作相互獨立，計算出一個與之最匹配的閾值來進行降噪，最后再用各個尺度上降噪處理后的系數來重構信號。

4 仿真試驗分析

為了驗證該算法的降噪效果，利用Matlab構造信號并加入白噪聲和有色噪聲，生成具有不同信噪比的含噪信號，然后用Daubechies小波作為小波函數，分解級數為4層，采用基于改進型閾值函數和自適應閾值的去噪法進行去噪，再和傳統的軟閾值函數、硬閾值函數去噪法進行降噪處理比較。以下繪出的信號波形是降噪后最接近原始信號的波形，當在此基礎上進一步加大或者減小閾值時，會出現波形失真。由圖1～圖5可看出基于新閾值函數和自適應閾值的去噪法提高了重構信號的信噪比，較好保留了原始信號的細節特征。

圖1 原始信號

圖2 染噪信號

圖3 該新閾值決策去噪法的降噪信號

圖4 軟閾值函數去噪法的降噪信號

圖5 硬閾值函數去噪法的降噪信號

5 結語

本文提出了一種新型閾值函數和自適應閾值的信號降噪法，仿真實驗和應用實例顯示該法可獲得比常規傳統硬閾值函數、軟閾值函數的去噪方法更好的去噪效果，能更有效地提取有用微弱信號的信息。改進的小波閾值函數克服了軟閾值信號失真和硬閾值不連續、振蕩等缺點，提高了信號去噪的恢復能力。采用自適應的閾值算法能有效解決固定閾值產生過扼殺現象。試驗證明該法提高了重構信號的信噪比，有效去除了噪聲，且保留了原始信號的細節特征。

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