一種新型閾值決策的小波去噪方法

邱愛(ài)中

（鄭州師范學(xué)院物理系，河南 鄭州 4500443）

0 引言

在通信中信號(hào)去噪有著重要的作用。Donoho提出的統(tǒng)一閾值降噪法是針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布的[1-2]。在利用閾值去噪方面，主要有硬閾值函數(shù)法和軟閾值函數(shù)法。硬閾值法可以很好地保留信號(hào)邊沿的局部特征，但會(huì)出現(xiàn)振鈴、偽 Gibbs效應(yīng)等失真，而軟閾值函數(shù)法處理相對(duì)要平滑，但可能造成邊沿模糊等失真現(xiàn)象[3-4]。為了解決以上問(wèn)題，將一種新型閾值函數(shù)引入信號(hào)去噪，以期實(shí)現(xiàn)更好的去噪效果。

固定閾值會(huì)產(chǎn)生過(guò)扼殺現(xiàn)象，如果在同一級(jí)尺度上都采用同一閾值，在較低尺度上，會(huì)去除有用信息，在最大尺度級(jí)上，則會(huì)留下一部分噪聲。為此，采用自適應(yīng)的閾值算法來(lái)有效解決這個(gè)問(wèn)題。

文中提出一種基于改進(jìn)型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪方法，分析了改進(jìn)型閾值函數(shù)的特點(diǎn)，給出了自適應(yīng)閾值計(jì)算的方法。理論和試驗(yàn)均說(shuō)明，該法能獲得比常規(guī)的離散小波降噪法更好的效果，且保留了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，與傳統(tǒng)去噪法相比是一種較好的恢復(fù)微弱信號(hào)的降噪方法。

1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。根據(jù)小波去噪的數(shù)學(xué)模型，疊加了高斯白噪聲的信號(hào)可以表示為：

式中：s（t）為真實(shí)的信號(hào)，e（t）為方差 σ2的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)分布，k=1,2,…,N-1,N為信號(hào)長(zhǎng)度。

基于小波變換的去噪主要分為3個(gè)步驟：①選擇小波和小波分解的層數(shù)，根據(jù) Mallat算法對(duì)信號(hào)做小波變換得出到N層的各級(jí)小波分解的系數(shù)。②因?yàn)樵肼曋饕性谛〔?xì)節(jié)系數(shù)中，故對(duì)每層的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行濾波，而對(duì)尺度系數(shù)不做處理。選擇軟閾值或者硬閾值函數(shù)，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行收縮處理。③根據(jù)第N層的低頻系數(shù)和第一層到第N層的經(jīng)過(guò)修改過(guò)的高頻系數(shù)，完成信號(hào)的小波重構(gòu)，得到去噪信號(hào)作為真實(shí)信號(hào)的估計(jì)[3]。根據(jù) Donoho提出的閾值算法，對(duì)小波系數(shù)處理的軟閾值函數(shù)為：

硬閾值函數(shù)為：

噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σn可以用以下經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)，即：

2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

小波閾值降噪中閾值量化和閾值函數(shù)決定信號(hào)重構(gòu)的連續(xù)性和精度。傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)在信號(hào)的連續(xù)性和重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度方面都有各自的不足。軟閾值函數(shù)降噪，雖然處理的小波系數(shù)整體連續(xù)，光滑性也好，可是對(duì)于大于閾值的小波系數(shù)恒定壓縮，自然會(huì)損失一些有用的高頻信息，影響重構(gòu)信號(hào)的真實(shí)；硬閾值算法可以避免軟閾值的恒定偏差，然而由于小波系數(shù)在T±處是不連續(xù)的，給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)一些附加振蕩，使重構(gòu)信號(hào)的光滑性變差。改進(jìn)的思想是要讓小波系數(shù)的偏差盡可能小，又要在小波空間連續(xù)，具有高階導(dǎo)數(shù)，為此，參考文獻(xiàn)[4-5]引入新的閾值處理函數(shù)，其表達(dá)式為：

式（6）中，m、n、k為新閾值函數(shù)的調(diào)解因子，它能較好增強(qiáng)應(yīng)用的靈活性。m、n決定閾值函數(shù)的形式，參數(shù)k取值在0到1之間，若k為1，則該閾值函數(shù)相當(dāng)于硬閾值函數(shù)；若k為0,相當(dāng)于軟閾值函數(shù)。故此，在0到1之間調(diào)節(jié)參數(shù) k，可以克服硬閾值函數(shù)的不連續(xù)和軟閾值函數(shù)在處理小波系數(shù)時(shí)出現(xiàn)的恒定偏差，同時(shí)保留了硬、軟閾值原有的優(yōu)點(diǎn)。該閾值函數(shù)具有無(wú)窮階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為小波閾值的自適應(yīng)選擇提供了基礎(chǔ)。

3 自適應(yīng)閾值計(jì)算

其中n為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)，由元素iw（i=1,2,…,n）得：

式（8）中ir為引入的風(fēng)險(xiǎn)向量元素，將式（8）多次迭代得出最小的ir，記為0r，與0r對(duì)應(yīng)的iw記為0w，則閾值表達(dá)式為：

按照該方法將每一級(jí)尺度都看作相互獨(dú)立，計(jì)算出一個(gè)與之最匹配的閾值來(lái)進(jìn)行降噪，最后再用各個(gè)尺度上降噪處理后的系數(shù)來(lái)重構(gòu)信號(hào)。

4 仿真試驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證該算法的降噪效果，利用Matlab構(gòu)造信號(hào)并加入白噪聲和有色噪聲，生成具有不同信噪比的含噪信號(hào)，然后用Daubechies小波作為小波函數(shù)，分解級(jí)數(shù)為4層，采用基于改進(jìn)型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪法進(jìn)行去噪，再和傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)去噪法進(jìn)行降噪處理比較。以下繪出的信號(hào)波形是降噪后最接近原始信號(hào)的波形，當(dāng)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步加大或者減小閾值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)波形失真。由圖1～圖5可看出基于新閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪法提高了重構(gòu)信號(hào)的信噪比，較好保留了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征。

圖1 原始信號(hào)

圖2 染噪信號(hào)

圖3 該新閾值決策去噪法的降噪信號(hào)

圖4 軟閾值函數(shù)去噪法的降噪信號(hào)

圖5 硬閾值函數(shù)去噪法的降噪信號(hào)

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的信號(hào)降噪法，仿真實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用實(shí)例顯示該法可獲得比常規(guī)傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)的去噪方法更好的去噪效果，能更有效地提取有用微弱信號(hào)的信息。改進(jìn)的小波閾值函數(shù)克服了軟閾值信號(hào)失真和硬閾值不連續(xù)、振蕩等缺點(diǎn)，提高了信號(hào)去噪的恢復(fù)能力。采用自適應(yīng)的閾值算法能有效解決固定閾值產(chǎn)生過(guò)扼殺現(xiàn)象。試驗(yàn)證明該法提高了重構(gòu)信號(hào)的信噪比，有效去除了噪聲，且保留了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)特征。

[1] DONOHO D L. De-noising by Soft-thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1995,41(03):613-627.

[2] 成禮智,王紅霞,羅勇.小波的理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007(08):271-273.

[3] GERNIMO J S,HARDIN D P,MASSOPUST P R.Fractal Functions and Wavelet Expansions based on Several Scaling Functions[J].Journal of Approximation Theory,1994,78：373-401.

[4] 王睿,山拜達(dá)拉拜.一種新閾值函數(shù)的小波信號(hào)去噪研究[J].通信技術(shù),2011,44(01):50-52.

[5] 易方,李著信,蘇毅,等.基于改進(jìn)型小波閾值函數(shù)的輸油管道磁記憶信號(hào)降噪方法[J].石油學(xué)報(bào),2009(01):141-144.

[6] 唐進(jìn)元,陳維濤,陳思雨,等. 一種新的小波閾值函數(shù)及其在振動(dòng)信號(hào)去噪分析中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊,2009(07):118-121.

[7] 李冠,吳盡昭,范明鈺.基于小波的信號(hào)去噪分析[J]通信技術(shù),2010,43(09):79-81.

[8] 段其昌,鄧玉娟,應(yīng)澤貴.基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波包語(yǔ)音增強(qiáng)算法的研究[J].通信技術(shù),2009,40(05):86-88.