兩類形狀可調五次廣義Ball曲線

嚴蘭蘭， 張 文， 溫榮生

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兩類形狀可調五次廣義Ball曲線

嚴蘭蘭， 張 文， 溫榮生

（東華理工大學數學與信息科學學院，江西撫州344000）

定義了兩種帶形狀參數的曲線。第一種曲線包含了五次Wang-Ball和Said-Ball曲線以及介于這兩種曲線之間的無數曲線；第二種曲線包含了五次Said-Ball和Bézier曲線以及介于這兩種曲線之間的無數曲線。通過分析這兩種曲線與五次Bézier曲線之間的關系，得出了形狀參數的幾何意義，并給出了這兩種曲線的幾何作圖法。

Wang-Ball基函數；Said-Ball基函數；Bernstein基函數；Ball曲線；形狀參數

自數學家Ball在CONSURF機身曲面造型中提出一種三次參數曲線以來，廣義Ball曲線面的研究工作大量展開，其中以Wang-Ball和Said-Ball曲線曲面為主。2000年鄔弘毅提出了兩類新的廣義Ball曲線。2003年Delgado和Pena定義了DP-Ball基。在實踐中人們發現Ball曲線面具有良好的保形性，且在求值及升降階的計算速度上優于同次的Bézier曲線面。文獻[8]通過增加的次數，得到了一組含參數的基函數，由之定義的曲線具有與三次Ball曲線類似的性質。文獻[9-10]提出了帶位置參數的廣義Ball曲線，新曲線均包含Wang-Ball與Said-Ball曲線，以及介于二者之間的若干曲線。這里綜合文獻[8-10]的思想，通過構造兩組分別含參數和的基函數，實現了從五次Wang-Ball基到Said-Ball基以及從五次Said-Ball基到Bernstein基的過渡，由這兩組基定義的曲線均具有形狀可調性。

1 介于Wang-Ball和Said-Ball曲線之間的曲線

1.1 基函數的構造與性質

1.2 曲線的構造及性質

（4）幾何不變性與仿射不變性。

1.3 形狀參數的幾何意義

，，

圖1 B曲線中形狀參數的幾何意義

圖2 取不同值時的B曲線

圖3 B曲線的幾何作圖法

2 介于Said-Ball和Bézier曲線之間的曲線

2.1 基函數的構造與性質

2.2 曲線的構造及性質

（2）凸包性。

（3）對稱性。

（4）幾何不變性與仿射不變性。

2.3 形狀參數的幾何意義

式(7)中(c)、(d)式可分別改寫為

（8）

由形狀參數的幾何意義，并結合Bézier曲線的逼近性可知，越大，B曲線越靠近其控制多邊形，如圖5所示。圖中曲線1~5依次取，曲線1和5分別為五次Said-Ball和Bézier曲線。

圖4 B曲線中形狀參數的幾何意義

圖5 取不同值時的B曲線

圖6 B曲線的幾何作圖法

3 結束語

這里給出的兩種曲線生成方法，不僅分別以五次Wang-Ball和Said-Ball曲線以及五次Said-Ball和Bézier曲線為特例，而且由于帶有形狀參數，所以可以在不改變控制多邊形的情況下對曲線的形狀和位置進行調整，從而分別得到介于五次Wang-Ball和Said-Ball曲線之間以及介于五次Said-Ball和Bézier曲線之間的無數中間曲線。與文獻[9]和文獻[10]中的方法相比，這里給出的是基函數的顯式表示，而且基函數的表達式相對比較簡單。另外，這里得到中間曲線的方法也很簡單，只要改變形狀參數的值即可，而且中間曲線的條數是無限的，與曲線的次數無關。并且這里的形狀參數均具有明確的幾何意義，所以可以很方便地選擇其值來得到所需要的中間曲線。

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[3] Ball A A. CONSURF, Part 3: How the program is used [J]. Computer Aided Design, 1977, 9(1): 9-12.

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[8] 王成偉. 三次Ball曲線的擴展[J]. 工程圖學學報, 2008, 29(1): 77-81.

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[10] 沈莞薔, 汪國昭. Ball基的推廣[J]. 軟件學報, 2005, 16(11): 1992-1999.

Two Classes of Quintic Generalized Ball Curves with Adustable Shape

YAN Lan-lan, ZHANG Wen, WEN Rong-sheng

( College of Mathematics and Information Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China )

Two new classes of curves with shape parameters are defined. The first class of curve contains the quintic Wang-Ball and Said-Ball curves and the curves located between them. The second class of curve contains the quintic Said-Ball and Bézier curves and the curves located between them. By analyzing the relationship between the new curves and the quintic Bézier curve, the geometric meaning of shape parameters are obtained, and the geometrical drawing method of the new curves are given.

Wang-Ball basis function; Said-Ball basis function; Bernstein basis function; Ball curve; shape parameter

TP 391

A

1003-0158(2011)06-0016-05

2008-07-16

嚴蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，講師，碩士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。