空間二仿射對應點列形成的雙曲拋物面

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學，山西 太原 030024）

空間解析幾何中，單葉雙曲面和雙曲拋物面屬于二階直紋曲面中的兩種。在三維空間中，二射影點列對應點的連線包絡成的二次曲面稱為單葉雙曲面；二仿射點列對應點的連線包絡成的二次曲面稱為雙曲拋物面。利用二仿射對應點列在正投影圖中的投影，可以容易地求出其導平面位置[1]，并且分析他們截交線的變化規律及其退化情況。

1 二仿射對應點列形成的雙曲拋物面的直線型表示法

見圖1，空間任意位置不相交的二仿射對應點列l1(I1，II1，Ⅲ1，…)，l2(I2，II2，Ⅲ2，…)都可以通過投影變換得到正投影圖V/H。二仿射對應點列本身的度量性可以用仿射比來表示，當r＝1時為合同點列。l1l2二交叉直線夾角用 θ表示，可稱為二線角。l1l2二交叉直線距離用a表示，可稱為二線距。r，a和θ反映了空間二仿射對應點列的度量性。

二仿射對應點列具有兩個共性。第一，二仿射對應點列正投影后仍為仿射對應點列，且對應關系不變。第二，在平面上二仿射點列對應點連線包絡成拋物線[2]。

見圖1，投影面V中能真實反映l1l2的仿射比r和二線角 θ的大小。為了求出導平面位置，只要讓二點列在 H1面上投影后得到的新點列仿射比相等，并且同向即可。導平面是唯一的。為了敘述方便，令導平面方向用Pα表示；l1l2組成的平行平面方向用 Tα表示，Tα表示二點列對應非固有點連“線”。由于是非固有線，所以用平面表示方向。Tα與導平面 Pα夾角稱為導面角。導面角用α表示。

圖1 仿射點列確定的二次曲面直線型表示法

見圖1，l1l2上所有對應點連線上總有一點屬于點列l0(I0，II0，Ⅲ0，…)，l0和l1l2是一條同族直線[3]。l0l1，l0l2為底的點列也分別是仿射對應點列。l0平行于Tα。所有與l1l2同族的直線平行于 Tα。

因此得到二仿射對應點列形成的二次曲面的直線型表示法。見圖2。

圖2 雙曲拋物面直線型表示法

第一，主平面V，V平行于Tα。在主平面V上，二點列l1l2反映實長，r和θ反映實際大小，二點列對應點連線包絡成拋物線，就好像“壓扁”了的雙曲拋物面。簡稱為實形式投影圖。

第二，副平面H，H垂直于Tα。在H面上，能真實反映二線距a和導面角α大小，簡稱為柱面式投影圖。 對于每一個雙曲拋物面，柱面式投影圖是唯一的。

第三，次平面 H1，H2，H3，…，他們也垂直于Tα。在次平面上，必有一條同族直線lx投影積聚成點，簡稱為錐面式投影圖。圖1中H面投影也是錐面式投影圖之一。

上述三種投影圖，主平面和副平面是必須的，次平面可任意選擇。為了讓這種直線型曲面更有立體感，可以采用三線一般式表達方式，見圖3。在圖3中，V，H面與Tα既不平行也不垂直，三條同族直線不可能投影成點。

圖3 雙曲拋物面直線型表示法一般式

總之，在上述正投影圖中，如果選取的視點不同，看到的雙曲拋物面形狀不同，實形式，柱面式，錐面式和一般式分別從不同角度反映了直線型雙曲拋物面的形狀。

2 雙曲拋物面的截交線和退化

大家知道，二仿射對應點列l1(I1, II1, Ⅲ1,…),l2(I2, II2, Ⅲ2,…)，底l1l2互相交叉，稱為同族直線。對應點，I1I2，II1II2，Ⅲ1Ⅲ2，…連線和l1，或者和l2是相交的，因此稱為異族直線。屬于I1I2交叉直線的平行平面Tα方向唯一。導平面Pα方向唯一。Tα和Pα交線方向S∞也唯一，如圖4所示。

雙曲拋物面截交線有下列幾種情況：

（1）任意截平面如果通過同族直線或異族直線，截交線退化成直線。

（2）任意截平面如果平行于Tα，截交線退化成直線。見圖4中正平面 K、S。當然，注意到這些直線的方向是不定的。他們也是與I0同樣意義的同族直線，他們中任意一條都平行Tα，而且以這些直線為底的點列和 l1或 l2構成仿射對應，當然仿射比是分別不同的。可以用lx來表示這類直線。

（3）傾斜于Tα的截平面得到的截交線為拋物線。見圖4中鉛垂面R。拋物線軸線方向為Tα與導平面Pα交線S∞方向。

（4）垂直于 Tα的截平面得到的截交線為雙曲線。見圖5中的E、F平面。雙曲線兩條漸近線方向分別為截平面與 Tα平面交線和截平面與Pα平面交線表示的直線方向。

圖4 雙曲拋物面截交線為直線和拋物線

圖5 雙曲拋物面截交線為雙曲線

上述結論（1）、（2）是明顯的，（3）、（4）通過大量作圖沒有發現不同的結論。

3 二仿射對應點列形成雙曲拋物面的度量性

見圖1，二仿射對應點列 l1(I1, Ⅱ1, Ⅲ1, …)，l2( I2，II2，Ⅲ2，…) 形成雙曲拋物面的底可以互換成同族直線中任意兩條。如l0( I0，II0，Ⅲ0，…)和 l1(I1，Ⅱ1，Ⅲ1，…)形成的雙曲拋物面和 I1I2形成的雙曲拋物面是同一個。當然這時I0I1與I1I2仿射比、二線角、二線距都是不一樣的。因此，仿射比、二線角、二線距只是兩個對應點列之間度量性參數，并不能反映雙曲拋物面的大小。衡量雙曲拋物面的大小的主要參數是Tα、Pα以及它們的交線S∞方向、反映它們相互之間的位置參數導面角α。

如圖6所示，當導面角為負α時，相對于圖1，其它參數都不變，此時，可以認為形成了另一個大小相等，方向相反的雙曲拋物面。

圖6 反向雙曲拋物面

如圖7所示，如果I1I2為底的仿射點列是合同點列，即仿射比r =1，這時副平面H垂直于I1I2角分線。但是注意到其他同族直線，如 Ix與 I1為底的點列就不再是合同點列了。因此，兩合同點列形成的雙曲拋物面并不具備普遍性。

圖7 二合同點列形成的雙曲拋物面

當然，對于以I1I2為底的二仿射點列，如果只改變其中一個參數，如二線距a，或二線角θ，或仿射比r，都能得到一個新的雙曲拋物面。

4 結束語

目前，雖然用解析幾何討論雙曲拋物面已經比較全面，但是容易看出，用二仿射對應點列來分析，也有其特別之處。如對于截交線的退化，截交線為拋物線時軸線方向，截交線為雙曲線時漸近線方向的表示就比較直觀。而且利用二仿射對應點列構造一個雙曲拋物面，用計算機來實現也相對變得簡單。

[1]大連理工大學工程畫教研室編. 畫法幾何學[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992: 106.

[2]劉阜平, 丁 勇. 二射影對應點列與二級曲線[J].山西礦業學院學報, 1996, 52(4): 354-358.

[3]南開大學數學系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978:154-160.