結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)費(fèi)馬型線柔性彈簧性能的影響分析

袁重雨 陳 曦 祁影霞 劉 穎 李 靜

1 引言

現(xiàn)代低溫制冷機(jī)中壓縮機(jī)采用直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)、間隙密封和柔性彈簧支撐等技術(shù)，改變了傳統(tǒng)的活塞與氣缸之間非金屬?gòu)椥越佑|式密封方式，大大降低了活塞與氣缸之間的磨損。柔性彈簧軸承作為壓縮機(jī)動(dòng)子共振系統(tǒng)中支撐排出器和壓縮活塞的關(guān)鍵部件，在為活塞的往復(fù)振動(dòng)提供較大的徑向剛度、合適軸向剛度的同時(shí)，要保證運(yùn)動(dòng)活塞具有一定的行程。對(duì)保持排出器和壓縮活塞在直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中活塞與氣缸的密封間隙，防止活塞與氣缸的直接接觸，提高制冷機(jī)的壽命同樣起到十分關(guān)鍵的作用［1］。

評(píng)價(jià)柔性彈簧性能的4個(gè)最主要指標(biāo)［2-3］:疲勞強(qiáng)度、軸向剛度、徑向剛度和自振頻率。其中柔性彈簧的應(yīng)力分布特性和徑軸向剛度同其結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)。上海理工大學(xué)陳曦［4］基于費(fèi)馬曲線，提出了一種新型費(fèi)馬型線柔性彈簧，其中可以調(diào)整的結(jié)構(gòu)參數(shù)有起點(diǎn)半徑A、渦旋系數(shù)B、曲線起始發(fā)生角φ、曲線略角θ、彈簧厚度以及渦旋槽的幾何分布等。然而受壓縮機(jī)氣缸內(nèi)徑的限制，調(diào)節(jié)彈簧外徑和內(nèi)孔徑的大小受限。本文主要通過(guò)改變曲線略角、厚度、渦旋臂數(shù)及封閉方式，分析這幾個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔性彈簧的剛度性能和最大應(yīng)力值的影響，同時(shí)研究了一定略角范圍內(nèi)渦旋槽首尾封閉方式優(yōu)化彈簧臂上應(yīng)力分布集中的問(wèn)題。

2 柔性彈簧的設(shè)計(jì)方法

費(fèi)馬方程:

費(fèi)馬曲線是根據(jù)費(fèi)馬方程(1)在平面上的齊次坐標(biāo)所定義的代數(shù)曲線，其直角坐標(biāo)方程式為:

式中:a為曲線起點(diǎn)半徑，b為曲率常數(shù)，θ為曲線渦旋角度。

在X-Y渦旋槽內(nèi)、外側(cè)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為:

式中:下腳標(biāo)i表示渦旋槽內(nèi)側(cè)曲線上的參數(shù)，下腳標(biāo)o表示渦旋槽外側(cè)曲線上的參數(shù)，θ表示渦旋曲線略角，φ表示表示渦旋曲線起始發(fā)生角，n為略角常數(shù)，t∈［0，1］。其中通過(guò)改變曲線起始發(fā)生角φ和曲線略角θ，可以控制曲線的起始位置和終了位置，即得到不同圈數(shù)的渦旋槽，以滿足不同內(nèi)、外徑尺寸柔性彈簧對(duì)渦旋槽型線的要求。形成彈簧渦旋槽后，必須將渦旋槽首尾端進(jìn)行光滑的過(guò)渡封閉，防止由于非平滑過(guò)渡引起的應(yīng)力集中，以提高彈簧的使用壽命。

按上述方法構(gòu)造出平滑封閉的渦旋槽型線，按一定的規(guī)律在空間進(jìn)行排列即可得到一組輻射狀渦旋槽。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，可采用不同數(shù)目的渦旋槽構(gòu)成二臂、三臂、四臂或者多臂的柔性彈簧。

3 柔性彈簧的有限元分析

有限元法已在有關(guān)柔性彈簧性能研究的諸多文獻(xiàn)中引用，并被證實(shí)是一種有效的分析方法［5-7］。基于本研究的斯特林制冷機(jī)氣缸尺寸的要求，以外徑為65 mm，內(nèi)孔直徑為 4 mm，厚度為 0.4 mm，略角為360°的三臂費(fèi)馬柔性彈簧為例，本文采用ANSYSY(10.0)軟件對(duì)其進(jìn)行分析，其中有限元分析的經(jīng)典步驟:

建立有限元模型:導(dǎo)入彈簧片模型，通過(guò)PRO-E軟件生成費(fèi)馬型線彈簧的三維實(shí)體模型，再將其轉(zhuǎn)換為IGSE文件導(dǎo)入ANSYS(10.0)軟件中;定義單元類(lèi)型和材料屬性，彈簧材料為優(yōu)質(zhì)硅錳彈簧鋼(60Si2MnA)，彈性模量為206 000 N/mm2，材料的密度為 7.908 g/cm3，泊松比為 0.3，許用應(yīng)力為 900 MPa;劃分網(wǎng)格，共19 561個(gè)單元，其網(wǎng)格劃分如圖1所示。

圖1 0.4 mm柔性彈簧的網(wǎng)格劃分Fig.1 Flexure spring meshing(0.4 mm)

加載和求解:在低溫制冷機(jī)中柔性彈簧外邊緣與氣缸內(nèi)殼固定，內(nèi)孔與電機(jī)、活塞軸固定。于是在分析過(guò)程中設(shè)定的邊界條件:柔性彈簧外邊緣一周各結(jié)點(diǎn)的X、Y、Z方向移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)的6個(gè)自由度均被約束。在內(nèi)邊緣上分別施加軸向力、徑向力和5 mm軸向位移，通過(guò)求解可以模擬出受外部載荷時(shí)對(duì)應(yīng)方向上柔性彈簧的軸向位移和徑向位移以及5 mm軸向位移時(shí)的最大應(yīng)力值。

結(jié)果后處理:輸出應(yīng)力分布的等值圖，應(yīng)力均勻的分布在彈簧臂上(如圖2、圖3、圖4)。柔性彈簧在5 mm軸向位移時(shí)的最大應(yīng)力值為330.935 MPa。在軸向上施加1 N靜態(tài)軸向力時(shí)，其最大應(yīng)力值為95.605 MPa，對(duì)應(yīng)的最大軸向位移為 1.501 mm。在經(jīng)向上施加1 N靜態(tài)徑向力時(shí)，其最大應(yīng)力值為13.33 MPa，對(duì)應(yīng)的徑向位移為0.008 9 mm。

圖2 5 mm軸向位移時(shí)的應(yīng)力分布圖Fig.2 Stress distribution when axial displacement is 5 mm

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈簧性能的影響及優(yōu)化

結(jié)合有限元分析的結(jié)果，對(duì)設(shè)計(jì)的14種柔性彈簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響其最大應(yīng)力值、徑軸向剛度等性能指標(biāo)進(jìn)行了分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)和性能參數(shù)如表1。其中A和B分別表示兩種不同封閉方式(如圖8):A為槽尾端小半徑封閉，B為槽尾端大半徑封閉。a和b分別表示厚度為0.4 mm和0.6 mm。

圖3 1 N軸向力時(shí)的應(yīng)力分布圖Fig.3 Stress distribution when axial force is 1 N

圖4 1 N徑向力時(shí)的應(yīng)力分布圖Fig.4 Stress distribution when radial force is 1 N

表1 柔性彈簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)及性能參數(shù)Table 1 Structure and performance parameters of flexure spring

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)影響費(fèi)馬型線彈簧性能的分析

隨著略角的增大，渦旋型線長(zhǎng)度也隨之增加，即渦旋臂變長(zhǎng)，彈簧在受不同方向的外部載荷時(shí)更易發(fā)生變形，同時(shí)較長(zhǎng)的費(fèi)馬彈簧臂能分散彈簧臂上應(yīng)力的集中。從第2—5、第7—10和第11—14這3組數(shù)據(jù)可看出三臂柔性彈簧隨著略角的增大，5 mm軸向位移時(shí)的最大應(yīng)力值、徑軸向剛度均隨著明顯減小。以第2—5組數(shù)據(jù)為例，當(dāng)略角為240°時(shí)，最大應(yīng)力值為1 358 MPa(已遠(yuǎn)超過(guò)彈簧材料的許用應(yīng)力值)，軸向剛度為3.552 N/mm，徑向剛度為1 459.8 N/mm;當(dāng)略角為430°時(shí)，最大應(yīng)力為272 MPa，軸向剛度為0.356 N/mm，徑向剛度為 36.3 N/mm，相對(duì)于前者其最大應(yīng)力值降低了80%，軸向剛度降低了10倍，徑向剛度降低了40倍。圖5—圖7更清晰地反應(yīng)了隨著略角的增大，最大應(yīng)力值、徑軸向剛度明顯下降。也就是說(shuō)，當(dāng)略角超過(guò)360°時(shí)柔性彈簧的最大應(yīng)力值較小，有利于減少應(yīng)力集中，但是徑軸向剛度嚴(yán)重下降，不能滿足壓縮機(jī)用柔性彈簧的剛度要求。

圖5 不同厚度時(shí)最大應(yīng)力值(軸向位移5 mm)Fig.5 Maximum stress value of different thickness when axial displacement is 5 mm

隨著厚度增加，彈簧的抗拉強(qiáng)度增強(qiáng)。從2和7、3和8、4和9、5和10這4組數(shù)據(jù)可以看出，隨著厚度的增加，5 mm軸向位移時(shí)的最大應(yīng)力值、軸向剛度、徑向剛度均隨著明顯增加，而且從這4組數(shù)據(jù)的軸向剛度對(duì)比可以看出，軸向剛度與厚度近似成3次方的比例關(guān)系，徑向剛度與厚度成正比關(guān)系，這與文獻(xiàn)［8］中的理論分析相一致。從圖6和圖7中也說(shuō)明這一點(diǎn):略角相同厚度不同的柔性彈簧軸向剛度曲線相隔較遠(yuǎn)，徑向剛度曲線相隔較近。

圖6 不同厚度時(shí)彈簧的軸向剛度Fig.6 Axial stiffness of different thickness of flexure spring

圖7 不同厚度時(shí)彈簧的徑向剛度Fig.7 Radial stiffness of different thickness of flexure spring

相同略角的渦旋型線，采用不同的彈簧臂數(shù)，渦旋臂寬也隨之改變。從1和2、5和6這兩組數(shù)據(jù)可看出，略角為240°四臂彈簧徑向剛度為551 N/mm，5 mm軸向位移時(shí)最大應(yīng)力為940 MPa，而三臂彈簧與之對(duì)應(yīng)的值分別為1 459 N/mm和1 358 MPa;略角為430°三臂彈簧徑向剛度為36.3 N/mm，5 mm軸向位移時(shí)最大應(yīng)力為272 MPa，而二臂彈簧與之對(duì)應(yīng)的值分別為211.4 N/mm和422 MPa，這說(shuō)明減少?gòu)椈杀蹟?shù)，能明顯增加費(fèi)馬柔性彈簧徑軸向剛度，但最大應(yīng)力也隨之增加，必然造成渦旋臂槽尾處應(yīng)力過(guò)于集中，容易導(dǎo)致槽尾處出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象。

4.2 費(fèi)馬曲線結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化

型線首尾端的封閉方式在一定程度上能解決槽首尾處應(yīng)力集中問(wèn)題［9］，采用較大半徑的封閉圓弧平滑過(guò)渡能減小槽尾端封閉處的最大應(yīng)力值。本文采用用B封閉方式對(duì)A封閉方式進(jìn)行優(yōu)化，如圖8。

圖8 兩種不同的封閉方式Fig.8 Two kinds of closing method

從表1中的第2和11、3和12、4和13、5和14這4組數(shù)據(jù)可看出，增大封閉圓弧的半徑，其5 mm軸向位移時(shí)最大應(yīng)力值、徑軸向剛度均減少。其中柔性彈簧的略角為300°和360°，分別采用A、B兩種封閉方式時(shí)對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)力值相差分別約為33.8%、23.6%，而當(dāng)略角小于300o或大于430o時(shí)封閉方式對(duì)最大應(yīng)力值的影響相對(duì)較小，如略角為240°的A、B兩種封閉方式的柔性彈簧的最大應(yīng)力值相差僅約為4.3%。這表明略角在300°—360°這一范圍內(nèi)封閉方式對(duì)費(fèi)馬柔性彈簧最大應(yīng)力值的影響是很明顯的(如圖9)。又從圖10和圖11可看出，當(dāng)略角大于300°時(shí)改變封閉方式對(duì)其徑軸向剛度的影響很小，剛度變化不到15%。基于彈簧剛度的要求，當(dāng)費(fèi)馬曲線柔性彈簧的型線略角處在300°—360°范圍內(nèi)時(shí)調(diào)節(jié)渦旋槽的首尾封閉方式能有效的降低最大應(yīng)力值，又能保持柔性彈簧有較大的徑向剛度和合適的軸向剛度，這對(duì)于進(jìn)一步優(yōu)化略角處在300°—360°這一范圍內(nèi)的費(fèi)馬柔性彈簧的性能有著重要作用。

圖9 不同封閉方式時(shí)最大應(yīng)力值(軸向位移5 mm)Fig.9 Maximum stress value of different closing method when axial displacement is 5 mm

5 總結(jié)

通過(guò)分析費(fèi)馬柔性彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)上述幾種柔性彈簧的最大應(yīng)力分布和徑軸向剛度變化特性的影響，歸納出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

圖10 不同封閉方式時(shí)彈簧的軸向剛度Fig.10 Axial stiffness of different closing method for spring

圖11 不同封閉方式時(shí)彈簧的徑向剛度Fig.11 Radial stiffness of different closing method for spring

(1)隨著略角的增大，費(fèi)馬柔性彈簧的最大應(yīng)力、徑軸向剛度均明顯減小，當(dāng)略角超過(guò)360°時(shí)，雖然此時(shí)最大應(yīng)力值較小，但徑軸向剛度嚴(yán)重下降，不能滿足壓縮機(jī)用柔性彈簧的剛度要求。

(2)費(fèi)馬柔性彈簧的軸向剛度與厚度的近似成三次方關(guān)系，徑向剛度與厚度成正比例關(guān)系。同時(shí)增加厚度，彈簧的最大應(yīng)力值也相應(yīng)的隨著增加。

(3)減少?gòu)椈杀蹟?shù)，能明顯增加費(fèi)馬柔性彈簧徑軸向剛度，但最大應(yīng)力也隨之顯著增加，必然造成渦旋臂槽首尾處應(yīng)力過(guò)于集中，容易導(dǎo)致槽尾處出現(xiàn)斷裂，降低彈簧的使用壽命。

(4)對(duì)于型線略角處在300°—360°范圍內(nèi)時(shí)，調(diào)節(jié)渦旋槽的首尾封閉方式能有效的降低最大應(yīng)力值，同時(shí)保持費(fèi)馬柔性彈簧有較大的徑向剛度和合適的軸向剛度，這對(duì)于進(jìn)一步優(yōu)化費(fèi)馬柔性彈簧的性能有著重要作用。

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