基于Simulink的直流伺服電機PID控制仿真

李沁生 于家鳳

（ 江蘇海事職業技術學院輪機工程系，南京 211170 ）

1 引言

輪機自動化中，無論是機械式，模擬式還是數字式控制器，普遍采用PID控制算法。PID控制參數整定的優劣直接決定著控制過程動態性能的好壞。通過計算機仿真來整定PID控制參數的傳統方法要用到大量控制理論和計算機編程方面的知識，比較抽象，不易被輪機員所掌握。可視化編程環境為解決此類困難提供了便捷的手段。所謂可視化編程，指的是無須編寫或只須編寫很少的程序代碼，隨時可以看到運行結果，程序與結果的調整同步，這樣能夠極大提高工作效率[1]。

MATLAB是一個適用于科學計算和工程用的數學軟件系統，歷經多年的發展，已是科學與工程領域應用最廣的軟件工具[2]。該軟件具有以下特點：數值計算功能強大；編程環簡單；數據可視化功能強；豐富的程序工具箱；可擴展性能強等。Simulink是MATLAB下用于建立系統框圖和仿真的環境。Simulink環境仿真的優點是：框圖搭建方便、仿真參數可以隨時修改、可實現完全可視化編程。

本文以工程控制中常用的直流伺服電機控制為例，演示了在Simulink環境下PID參數可視化整定及動態仿真的過程，為PID參數整定提供參考。

2 直流伺服電機模型[3]

2.1 直流伺服電機的物理模型

本文采用的直流伺服電機的物理模型與參數如圖1所示。圖中：ua—電樞輸入電壓（V）；uq—感應電動勢（V）；ia— 電樞電流（A）；Ra— 電樞電阻（Ω）；La— 電樞電感（H）；θ— 電機輸出轉角（rad）；Tg—電機電磁轉矩（N·m）；J—轉動慣量（kg·m2）；B—粘性阻尼系數（N·m·s）

2.2 直流伺服電機的數學模型

2.2.1 基本方程組

根據基爾霍夫定律和牛頓第二定律對圖1所示的電機列基本方程組：

圖1 直流伺服電機的物理模型

2.2.2 電機的傳遞函數

對式（1）—（4）進行拉普拉斯變換，得

消去方程組的中間變量，整理得電機系統的傳遞函數

其中：J=3.23 mg·2m ，B=3.51μN·m·s，Ra=4 Ω，La=2.75 μH，K t=K e=0.03(N·m)A

3 PID控制簡介[4]

PID控制是將設定值r(t)與輸出反饋值C(t)的偏差e(t)=r(t)-C(t)，按比例、積分、微分運算后，并通過線性組合構成控制量u(t)，對控制對象進行控制，如圖1所示，所以簡稱為P(比例)、I(積分)、D(微分)控制器。

圖2 PID 控制原理

（1）PID控制器的微分方程

式中：Kp為比例系數，TI為積分時間，TD為微分時間

（2）PID控制器的傳遞函數

4 Simulink仿真

4.1 仿真系統的設計要求

本文所述電機系統（式（9））要求在電壓輸入端輸入單位階躍電壓（1 V）后，直流伺服電機的轉軸應能輸出1 rad轉角，且應同時滿足下列要求：系統調整時間ts＜0.04 s，最大超調量Mp＜10﹪，系統穩態誤差ess=0。

4.2 系統階躍輸入響應仿真

在Simulink中搭建圖3所示方框圖，設置仿真環境的參數。運行后顯示如圖4所示開環系統對單位階躍輸入的響應，即直流伺服電機輸入單位階躍電壓時，電機的輸出轉角呈直線性上升。仿真結果表明，該系統沒有達到預期的設計要求。

圖3 開環系統階躍輸入響應方框圖

4.3 PID校正

為了使系統能夠達到設計要求，在圖3的前向通道上設置一個PID控制器，基于Simulink構建如圖5所示的閉環系統來校正直流伺服電機的轉速。分別雙擊3個“Gain”元件，在其對話框里填入相應的Kp，Ki和Kd數值，即可構成P、PI、PID控制器.

圖4 開環系統階躍響應曲線

4.3.1 比例（P）控制校正

為使在要求的時間內達到設定的角位移，比例增益應盡可能大，以提高比例作用的強度，但必須同時考慮系統的穩定性。采用單純的比例控制，其調整時間和超調量是一對矛盾，無法同時滿足，要縮短調整時間，就要加大比例增益，但超調量也同時加大了。經過多次參數選擇，當Kp=10、Ki=Kd=0時，運行后，得到圖6，階躍響應曲線較為理想，呈現接近75%衰減率的振蕩過程。由圖6可知0.04 s時的穩態誤差為0.2044，超調量接近50%，均不能滿足設計要求，特別是調節過程0.08 s后才能逐步進入穩態。

圖5 PID校正系統階躍輸入響應方框圖

圖6 P校正系統階躍響應曲線

由上述分析，對圖6所示的動態過程，首先要采取措施縮短調整時間，減小超調量。

4.3.2 比例微分（PD）控制校正

微分作用具有超前控制能力，可抑制最大動態偏差，提高系統的穩定性。但微分作用又不能單獨使用，因為它的輸出僅與偏差的變化速度有關，如果偏差存在而不變化，微分作用是沒有輸出的。現將比例和微分控制結合使用，控制作用互補，組成PD控制器。令Kp=10，Kd=0.2，Ki=0，運行后，系統的階躍響應曲線如圖7所示，由圖可知，此時動態過程的品質指標大幅度提高，其超調量、調整時間等均能滿足設計要求，只是在調整時間范圍內的穩態誤差尚需進一步減小。由于加入微分了作用，系統的穩定性提高了，可適當增加比例增益，以減小穩態誤差。令Kp=14，Kd=0.2，Ki=0，運行得到圖8的響應曲線，和圖7相比，在0.04 s時的穩態誤差由0.0136減小到0.0029。

圖7 PD校正系統階躍響應曲線

圖8 改進比例系數后PD校正系統階躍響應曲線

圖9 PID校正系統階躍響應曲線

3.3.3 PID控制器校正

從比例、微分作用的原理[5]可知，PD作用無法完全消除穩態誤差，而積分作用主要用于消除靜差[6]。為此，在PD作用的基礎上加入積分作用，設Ki=200，以使穩態誤差減至0。

運行得到如圖9所示的階躍響應曲線，由曲線可知其響應過程產生了超調，在0.04 s處的穩態誤差為0.024，未達到設計要求。究其原因，是積分作用太強而產生了過調，考慮到此時其穩態誤差已很小，稍有積分作用即可，于是令Ki=20，運行后得到圖10所示的曲線，超調量為0%，在0.039 s處的穩態誤差已為0，性能高于設計要求，穩定、準確、快速達到了完美的統一。

5 結論

通過上述實例的演示可知，在Simulink仿真環境下，建模簡潔，修改參數方便，無須編寫或只須編寫很少的程序代碼，就能準確、清晰地測繪出直流伺服電機對單位階躍的輸出響應曲線圖，且有很高的量化精度。這種預見性，為系統PID控制規律的選擇和參數整定提供了可視化而精確的依據。

圖10 滿足要求的 PID校正系統階躍響應曲線

[1] 龐中華，崔紅. 系統辯識與自適應控制MATLAB仿真[M]. 北京：北京航空航天大學出版社，2009.

[2] 薛定宇. 控制系統計算機輔助設計-MATLAB語言及應用（第2版）[M]. 北京：清華大學出版社，2006.

[3] 白繼平, 許德輝. 基于MATLAB下的PID控制仿真[J]. 中國航海，2004（4）：77-80

[4] 陳平. 不完全微分型PID控制的應用研究[J]. 機電技術，2006（4）：31-32

[5] 周暉. 基于MATLAB的PID參數整定[J]. 艦船電子對抗, 2008(4): 107-109

[6] 齊劍玲, 曾玉紅, 劉慧芳. PID調節器的仿真研究[J].海淀走讀大學學報, 2004(1): 69-71.