系統動力學在中學力學問題中的應用

葛 洲

(南京外國語學校,江蘇南京 210008)

上世紀60年代,美國福瑞斯特教授提出系統動力學,在其發展過程中取得了很多令人矚目的成果,許多學者紛紛采用系統動力學方法來研究各自領域的問題,涉及到經濟、能源、交通、環境、工業、城市等許多領域.美國較早在K 12教學中應用系統動力學,從小培養學生的系統思考能力,國內從2002年開始了探索系統動力學在中學教學中的應用.在中學物理的研究性學習中應用系統思考,既可以讓學生從系統的角度加深對所學物理知識的理解,也可以培養學生系統思考的能力.

應用系統思考研究物理問題,可以按照如下步驟:(1)認識所研究的問題;(2)構建問題的系統模型;(3)STELLA軟件模擬(STELLA是系統動力學的模擬軟件之一);(4)調試與檢測.

系統思考及其模擬軟件 STELLA為學生提供了一個很好的研究性學習的平臺,學生在學習物理知識的同時,培養了他們的系統思考能力.現舉系統動力學在中學物理教學中應用的實例如下.

1 自由落體運動的分析

自由落體運動是指物體只在重力作用下,由靜止開始的下落運動,自由落體運動系統中的變量及其關系如圖1.

圖1

圖2

根據變量之間的關系,用STELLA軟件建模如圖2:

設置變量初始值及變量關系如下:

初始值:

速度 =0;位移=5m;質量=5 kg;力=50 N.

變量間的關系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

加速度=力/質量;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt.

運行軟件得到自由落體運動的速度-時間圖像和位移-時間圖像如圖3.

圖3

圖3中1線為位移-時間圖像,2線為速度-時間圖像,速度-時間圖像為直線,表明自由落體運動是勻加速直線運動.

2 考慮阻力落體運動的分析

如果考慮物體由靜止下落過程中受到空氣阻力,引入阻力因數,設空氣阻力與速度成正比,則此系統中各個變量及其關系如圖4,比較圖1和圖4,圖4在圖 1基礎上增加了速度對加速度的反饋,此反饋為負反饋,即速度的增加會引起加速度的減小,速度增加變慢.此類問題達到一個穩定的結果.

圖4

根據變量之間的關系,用STELLA軟件建模如圖5.

常量,變量初始值和變量間的關系如下:

常量及初始值:

質量=5kg;位移=0;阻力系數=2kg?s-1;

變量關系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt;

圖5

加速度=力/質量;合力=50+阻力;阻力=—速度*阻力系數.

運行軟件得到有阻力的落體運動的速度-時間圖像和位移-時間圖像如圖6.

圖6

圖6中1線為速度-時間圖像,2線為位移-時間圖像,此時速度圖像不再是直線,而是趨近于某一定值,位移圖像不再是拋物線,變化趨近于線性變化.

圖7

3 彈簧振子的分析

在考慮阻力的落體運動中,速度對加速度有負反饋,而在考慮阻力的彈簧振子模型中,如圖7,不僅有速度對加速度的負反饋,位移對加速度也有反饋,那么振子的運動情況將怎樣呢?

圖8

此系統中各個變量及變量間的關系如圖8.

根據變量之間的關系,用STELLA軟件建模如圖9.STELLA軟件給出的變量初始值和變量間的關系如下.

常量及變量初始值:

勁度系數=0.5Nm-1;質量=5 kg;阻力系數=0.5 kg?s-1;速度=0;位移 =5 m;

變量之間關系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;加速度=力/質量;

位移(t)=位移(t-dt)+(v)*dt.

合力=彈簧彈力+阻力;阻力=-速度*阻力系數;彈簧彈力=-勁度系數*位移.

圖9

運行軟件得到阻尼振動的振子的速度-時間圖像和位移-時間圖像如圖10.

圖10

圖11

改變阻力系數的大小,運行軟件可以模擬過阻尼和臨界阻尼的情況.如圖11.

自由落體運動是最簡單的勻變速直線運動,如果考慮落體運動中的阻力對加速度的負反饋,運動將變成變加速運動,如果只考慮到位移對加速度的反饋,則物體做簡諧運動,在簡諧運動基礎上,再考慮到阻力對加速度的負反饋,物體將做阻尼振動,可通過STELLA軟件模擬各種阻尼條件下的位移-時間圖像和速度-時間圖像.

4 一道高考題的分析

2010年江蘇高考題第8題,其實也可看做是位移對加速度反饋的系統動力學問題.

圖12

原題.如圖12所示,平直木板AB傾斜放置,板上的P點距A端較近,小物塊與木板間的動摩擦因數由A到B逐漸減小.先讓物塊從A由靜止開始滑到B,然后,將A著地,抬高B,使木板的傾角與前一過程相同,再讓物塊從B由靜止開始滑到A.上述兩個過程比較,下列說法中一定正確的有

(A)物塊經過P點的動能,前一過程較大.

(B)物塊從頂端滑到P點的過程中因摩擦產生的熱量,前一過程較少.

(C)物塊滑到底端的速度,前一過程較大.

(D)物塊從頂端滑到底端的時間,前一過程較長.

圖13

此系統中各個變量之間的關系如圖13,由于從A到B動摩擦因數逐漸減小,所以,從A到B運動位移越大,阻力越小,合力越大,加速度越大,位移對加速度有正反饋.而從B到A,位移對加速度有負反饋.

根據變量之間的關系,用STELLA軟件建模如圖14.

圖14

其中速度、加速度、位移、力為下降過程中的物理量,速度2、位移2、速度2、力2為上升過程的物理量.

根據題意,在建模過程中,設木板長度為100 m,摩擦力f=4-0.039x,x為物體離開A點的位移.

常量及變量初始值:

速度=0;速度2=0;位移=0;位移2=0;質量=1 kg.

變量之間關系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

加速度=力/質量;

速度2(t)=速度2(t-dt)+(加速度2)*dt;

加速度 2=力2/質量;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt;

位移2(t)=位移2(t-dt)+(速度2)*dt;

力=質量*9.8*0.5-(4-位移*0.039);

力2=質量*9.8*0.5-(0.1+位移2*0.039);

離A距離=100-位移2.

運行軟件得到如圖15圖像,其中線1表示從A到B過程的位移-時間圖像,線2表示從B到A過程的位移-時間圖像.

圖15

從圖15中可以看出,從A到B過程,完成100 m位移所用的時間較長.

運行軟件也可得到如圖16圖像,其中線1表示從A到B過程的位移-時間圖像;線2表示從B到A過程的位移-時間圖像;線3表示從A到B過程的速度-時間圖像;線4表示從B到A過程的速度-時間圖像;線5表示從B到A過程中,物體離A點的距離.

根據題意,可設線1與線5的交點為題中提到的P點,在圖中過P點作時間軸的垂線,此虛線與線 3、線4的交點分別為C、D.從圖上可以看出 vC＜vD,所以,下降過程經過P點的速度比上升過程經過P點的速度小,所以經過P點的動能,前一過程較小.

圖16

綜上所述,可選出(A)、(D)選項,根據能量守恒或圖16,不難看出(B),(C)選項是錯誤的.