物理過程中的共速問題

朱 琴 趙詩華

(1.北京市昌平區第二中學,北京 102208;2.中國礦業大學(北京)理學院,北京 100083)

有些物理問題,在分析物理過程中有一種特殊狀態,即兩物體共速的狀態.這往往是連接前后兩個分過程的臨界狀態,需要分析物體或系統在此共速狀態下的受力情況,相應的加速度等等.對這類問題的分析研究,有助于提高學生運用物理規律分析和解決問題的能力.下面對此進行舉例分析.

圖1

例 1.如圖 1,質量為M的長木板靜置在光滑的水平面上.一個質量為 m的小物塊以水平速度v0從左側進入到木板的上表面.它們之間的動摩擦因數為μ.試求小物塊相對于木板滑行的最大距離L.

圖2

解析:分別對 m、M作受力分析,如圖 2.m在水平向左摩擦力作用下向右做勻減速直線運動,M在水平向右摩擦力作用下向右做勻加速直線運動,直到 m與M達到共同的速度,相對靜止地向右做勻速直線運動.設共同速度為v,取 v0方向為正方向,對m+M 系統,由動量守恒得

設開始到共速,m滑行s1,M滑行s2.分別對 m,M應用動能定理得

兩式相減

圖3

例 2.如圖 3所示,水平傳送帶AB段的長為L,以一定的速率運行,一塊紅色的磚頭從 A處以小于傳送帶的速率v1滑上傳送帶,磚頭與傳送帶間的動摩擦因數為μ,由于摩擦磚頭在傳送帶上留下了長也為L的劃痕,試求傳送帶的運行速率.

解析:設傳送帶的速度為 v2,由于v1＜v2,所以磚頭在傳送帶對它的摩擦力作用下向右做初速度為 v1的勻加速直線運動,直到與傳送帶共速,磚頭向右做勻速直線運動.設磚頭質量為m,加速度為a,加速時間為 t.由牛頓第二定律得 μ mg=ma,即 a=μ g,所以

依題意

由此解得

例 3.如圖4所示,傾角θ=37°的傳送帶,上下兩端 AB相距s=7 m,當傳送帶以v=4 m/s的恒定速度順時針轉動時,將一個與傳送帶間動摩擦因數為μ=0.25的滑塊 P輕輕放于傳送帶的A端,求P從A端運動到B端的時間?

圖4

圖5

解析:取沿傳送帶向下為正方向,受力分析如圖5.設滑塊P質量為m,當P從A由靜止運動到與傳送帶共速的C點時所用時間為t1,加速度為a1.由牛頓第二定律得

解得 a1=8 m/s2,所以 AC距離以及時間t1分別為

由于 mgsin37°＞μ mgcos37°,所以從 C 點開始P 繼續沿傳送帶向下做勻加速直線運動,受力如圖5.設C到B過程中加速度為 a2,所用時間為 t2.由牛頓第二定律得

解得a2=4 m/s2.

相對地面發生位移

即6=4t2+2t22.解得 t2=1 s.(舍去負根)

所以t=t1+t2=1.5 s.

圖6

解析:由受力分析、過程分析和做功分析,可將物塊的運動過程分為4個階段.

(3)碰撞后物塊與鋼板以共同速度向下運動直至速度為0,然后向上運動到O點時具有共同速度v2,此后物塊將與鋼板分離.取O點為重力勢能零點,由機械能守恒定律有

解得v22=gx0.

(4)物塊自O點與鋼板分離,做豎直上拋運動,設物塊到達的最高點距離 O點為h,則

例5.如圖7,光滑水平面上有質量均為 1 kg的小車 A與B,B車靜止,A車用L=0.2 m的細線懸掛一個質量為0.5 kg的小球 C,小車 A以2 m/s的初速度沖向B并與B車正碰后粘在一起,求C球能擺上的最大高度(g取10 m/s2).

圖7

解析:整個過程可分為2個階段.

(1)小車A與B發生完全非彈性碰撞,設碰撞后的共同速度為v1,以A車初速度方向為正方向,由動量守恒定律得 mAv0=(mA+mB)v1,解得 v1=1 m/s.

(2)碰撞完成后,由于小球 C的速度仍然為2 m/s＞v1,C向右擺動,并通過細線對A、B作用.當C擺至最高點時,三者速度相同,設此共同速度為v2,C上升的最大高度為h.由動量守恒定律得(mA+mC)v0=(mA+mB+mC)v2,解得 v2=1.2 m/s.

由機械能守恒定律有

解得h=0.04 m.

例6.如圖8,兩根足夠長的固定平行金屬導軌位于同一水平面內,導軌間距L,導軌上橫放著兩根質量皆為 m,電阻皆為R的導體棒ab和cd,導體光滑且電阻不計.在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場,磁感應強度為B.開始時,ab和cd兩導體棒有方向相反的初速度,初速度大小分別為v0和2v0.求從開始到最終穩定之時,回路中產生的焦耳熱.

解析:分別取ab、cd棒為隔離體,它們各自受到的重力和支持力相平衡.剛開始運動時,回路 abdc中磁通量發生變化,產生感應電動勢,電流方向為abdca,因而兩棒分別受到安培力 F1、F2作用,如圖9.由于 ab棒和cd棒的總動量水平向右,ab棒先向左做初速為v0的變減速直線運動至速度為0,再向右做變加速直線運動,同時 cd棒向右做初速為2v0的變減速直線運動,直到兩棒具有共同的水平向右速度,回路中無感應電流,不再產生焦耳熱.

圖9

設整個過程中產生的焦耳熱為 Q,兩棒最終的共同速度為v,水平向右為正方向.由能量轉化與守恒定律得

由動量守恒定律有

類似以上共速問題很多,本文僅以幾個代表性的例子來分析共速狀態的應用.對這類問題進行歸納,引導學生掌握它們的特征和求解技巧,有助于提高學生的綜合分析能力.