基于離散余弦變換的IMF特征頻率提取

陳彥龍，張培林，吳定海，王懷光

(軍械工程學院，石家莊 050003)

通過傳感器提取的軸承振動加速度信號具有非線性、非平穩特征。經驗模態分解(EMD)具有自適應的信號分解和降噪能力,非常適用于分析和處理非平穩、非線性信號，是軸承故障檢測的一種有效途徑，并得到了廣泛應用[1-2]。

在EMD分解過程中，存在著很多影響分解結果的不確定因素，如插值誤差、邊界效應、終止篩選的標準不嚴格等，使各個固有模態函數(IMF)分量含有其他干擾成分，不能很好地表達IMF的物理意義，影響故障的準確判斷[3]。

離散余弦變換(DCT)作為一種歸一正交變換，在一定條件下是K-L變換的近似，且又有快速算法，在語音、圖像的處理中得到廣泛應用，研究表明該方法也能有效地應用于故障診斷[4]。文獻[5]利用離散余弦變換對小波系數進行處理，實現了齒輪故障診斷；文獻[6]利用離散分數余弦變換對信號進行降噪和識別，取得了良好的效果；文獻[7]對高頻段的小波系數采用離散余弦變換進行包絡分析，提取出了列車的故障頻率。

下文提出一種基于DCT的軸承IMF特征頻率提取方法。首先對采樣信號進行EMD處理得到IMF，利用DCT理論對IMF進行處理并重構信號，從重構信號中提取故障頻率完成故障診斷。仿真信號和工程實際信號的處理結果表明，該方法能夠突出受噪聲污染的IMF中關鍵成分，明確物理意義，從而正確提取出特征頻率，實現故障的可靠識別。

1 基于DCT的故障檢測原理

1.1 IMF的計算方法

EMD方法中定義了IMF分量，1個IMF分量

必須滿足下列2個條件：

(1) 在整個數據段內，極值點的個數和過零點的個數必須相等或相差1個；

(2) 在任意時刻，由局部極大值點形成的上包絡線和由局部極小值點形成的下包絡線的平均值為零。

對任一實信號x(t)進行EMD分解獲得IMF的具體步驟是：

(1) 確定出信號x(t)上的所有極大值點和極小值點，然后將所有極大值點和所有極小值點分別用3次樣條曲線連接起來,作為x(t)的上、下包絡線,并計算出平均值曲線m1(t),再用x(t)減去m1(t)得

h1(t) =x(t)-m1(t) 。

(1)

如果h1(t)不滿足IMF的條件，再將h1(t)作為原信號重復上述過程得到

h11(t) =h1(t)-m11(t) ，

(2)

并反復篩選k次，直到h1k(t)變為1個IMF，即

h1k(t) =h1(k-1)(t) -m1k(t) 。

(3)

這樣,就從原信號中分解出了第1個IMF，稱為第1階IMF，并記作

c1(t) =h1k(t) 。

(4)

(2)從原信號中減去c1(t),得到第1階剩余信號

r1(t)=x(t)-c1(t) ，

(5)

將r1(t)作為新的原信號重復步驟(1)，并對ri(t)進行同樣的篩選，依次得到第2～n階IMF和剩余信號，

r1(t)-c2(t)=r2(t)

?

rn-1(t)-cn(t)=rn(t)。

(6)

當剩余信號rn(t)變成一個單調函數，不能再從中提取IMF時篩選結束。

綜上，可得到

(7)

至此，就將一個數據分解成若干IMF和殘余量之和。嚴格意義上，IMF是滿足單分量信號物理解釋的一類信號，在每一時刻只有單一頻率成分，從而使得瞬時頻率具有了物理意義。直觀上，IMF分量具有相同的極值點和過零點數目，其波形與標準正弦信號通過調幅和調頻得到的新信號相似。但在EMD實際計算過程中，采用了近似處理，沒有嚴格按照IMF的條件判別，不能完全保證IMF的物理意義，各個IMF分量中將出現其他干擾頻率，造成故障誤判。

1.2 離散余弦變換

一維離散余弦變換和反變換定義為

(8)

(9)

(10)

離散余弦變換具有良好的能量集中特性，這是其應用于信號檢測的優點。離散余弦變換的1個變換系數對應一定的時長，通過檢測各個時窗內信號幅值的變化捕捉信號的變化情況，而不是去捕捉與噪聲統一數量級的信號突變，因此對噪聲不敏感。這對軸承的在線狀態檢測與故障診斷非常實用[5]。同時，離散余弦變換屬時頻原子分解，其時頻局部化特性和能量集中度好，是線性變換，無能量相干現象。離散余弦變換將信號的所有信息映像到多網格構成的時頻平面，代表信號在時域、頻域處的投影，分析系數變化就能檢測到故障信號[7]。

為了突出IMF中的主要成分，將IMF進行DCT處理，對獲得的DCT系數進行硬閾值處理，去除包含在正常信息中的噪聲干擾，達到降噪和平滑的作用，突出故障特征，然后通過DCT逆變換重構信號，在重構信號中提取特征頻率。

2 仿真信號分析

采用如下仿真信號進行試驗分析, 采樣頻率1 000 Hz，時間長度2 s。

s=sin(40πt)+3sin(6πt)，

(11)

加入Gauss白噪聲，時域波形圖如圖1所示。

圖1 仿真信號時域波形

將信號作EMD分析，選取其中一個IMF，如圖2所示。該分量前后差異明顯，后半部分幅值穩定，表現出周期性，前半部分含有高頻成分，波形起伏較大，多次出現突變，成為不規則信號段，受到噪聲污染。IMF具有明確的物理意義，直觀上，其波形與一個標準正弦信號通過調幅和調頻得到的新信號相似，該IMF并未表現出這一特征，給IMF的理解帶來困難，這是分解過程中的不確定因素導致。

圖2 IMF時域波形

圖3為將IMF離散余弦分解，對分解系數進行硬閾值處理后，重構所得時域波形。對比圖2，原始IMF信號高頻噪聲消失，突出了信號主要成分；信號突變消失，波形光滑、連續，具有明顯的周期性；信號波形表現調制特征，表達了IMF應有的物理意義。

圖3 DCT處理后IMF時域波形

對IMF在DCT處理前、后的信號進行頻率分析，如圖4所示。圖4a中含有多余頻率，說明信號受到其他成分的干擾，可能在工程實踐中演變為較強烈干擾，影響故障判斷。對信號進一步處理，圖4b中干擾頻率大量消失，幾乎只保留故障特征頻率。故障特征頻率20 Hz對應仿真信號中sin(40πt)，具有明確的物理意義，結果準確。

圖4 IMF頻域圖對比

3 軸承故障信號分析

實測齒輪故障信號來自于單級傳動的減速箱，軸承型號為6205-2RS JEM SKF, 故障設置為內圈單點故障，經計算得軸承內圈單點故障特征頻率為158 Hz。轉速為1 772 r/min, 振動加速度信號由安裝在驅動端的加速度傳感器進行采集,采樣頻率12 kHz，采樣點數1 000。圖5中故障信號淹沒在振動信號中，無法直接識別。

圖5 故障信號時域波形

圖6為對信號EMD處理后所得IMF。信號隨時間變化差異明顯，前一部分波形變化較快，頻率較高，最后一部分幅值不穩定，信號整體變化不規律。信號受到較強干擾，不能直觀反映信號特征，有必要對信號進一步分析處理，凸顯關鍵成分。

圖6 IMF時域波形

對IMF進行DCT處理，重構得出如圖7所示信號。直觀上，其波形與標準正弦信號通過調幅得到的信號相似，嚴格符合IMF的數學要求，且與工程實踐中軸承故障常受到調制這一現象符合。信號關鍵成分得到增強，反映出信號的主要特征；原始IMF中突變消失，波形光滑；信號具有明顯周期性，利于EMD分解后的進一步分析。

圖7 DCT處理后IMF時域波形

對信號DCT處理前、后的IMF進行頻率分析比較。圖8a中頻率上升和下降階段均呈階梯形，給信號的物理解釋帶來困難，故障診斷受到干擾，引起誤判斷。圖8b為DCT處理后的重構信號頻率圖，圖中僅出現了故障頻率，干擾頻率得到徹底清除，描繪了信號的主要成分。分析所得故障頻率為156 Hz，與理論故障頻率158 Hz相比，誤差為1.28%，符合工程要求。

圖8 IMF頻域圖對比

4 結束語

將IMF特征頻率提取與離散余弦變換相結合，對仿真信號和實際信號進行分析， 取得了很好的效果。離散余弦變換具有快速算法，計算量小，算法簡單，可以滿足工程實時性要求。處理結果表明，該方法更精確地描述了IMF在時域和頻域的特征，物理意義清晰，對于軸承故障診斷，是一種可靠而有效的辦法。