混沌系統同步性質的一個注記

徐玉華，李坤花，周武能

(1.東華大學信息科學與技術學院，上海201620;2.鄖陽師范高等?？茖W校 數學與財經系，湖北 十堰442000，3.濟源職業技術學院基礎部，河南濟源454650)

0 前言

1 狀態反饋同步控制

由于混沌系統是有界的，因此，對于混沌系統，下面的假設是容易滿足的［4］。

假設1 對于混沌系統，假設 f(y)－f(x)≤ly－x，其中l＞0。

由式(1)和式(2)，得到誤差系統:

當l+k≤0時，V·≤0，根據Lyapunov穩定性理論，當時間t趨于0時，誤差e趨于0。把式(1)和式(2)的單邊匹配變成如下的雙邊匹配，即:

事務處理模塊 事務處理模塊主要包括用戶事務和系統事務兩部分，其中用戶事務主要包括對用戶信息的處理；而系統事務主要包括對播放器進行一些邏輯控制，如暫停、播放、截圖等操作。

則式(4)誤差系統仍為式(3)，即:

顯然，單邊匹配和雙邊匹配系統同步的條件相同，盡管單邊匹配和雙邊匹配所得到的誤差系統一樣，但是仿真結果表明它們達到同步的時間不一樣。

下面以文獻［13］中的混沌系統為例:

由于混沌系統是有界的，根據文獻［14］，l=50，由 l+k≤0取k=－51，取系統初值分別為(10，30，3)，(5，17，19)，用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖1可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經改變了系統的混沌特性(見圖2)，而單邊匹配仍保持了系統的混沌特性(見圖3)。

圖1 無量綱誤差E隨時間的演化圖

2 自適應反饋同步控制

下面用自適應控制方法得

到類似于上述用狀態反饋同步控制方法所得到的結論，值得一提的是，用自適應控制方法對于某些混沌系統，控制器ke可能僅僅只包含一個或者兩個自適應反饋控制器就可以實現同步。

對于單邊匹配，有:

圖2 雙邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖3 單邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

那么誤差系統為:

構造如下Lyapunov函數:

其中H≥nL。則:

下面舉例說明對某些混沌系統，控制器me可能僅僅只包含一個或者兩個自適應反饋控制器就可以實現同步。

例1 Lorenz混沌系統［15］:

顯然，假如e1=0，那么e2=0，e3=0，因此，可取me=m(e1，0，0)，即只需一個自適應反饋控制器。設 λ =8，即= －。

在仿真中，取系統初值分別為(10，2，3)，(5，17，9)，由于m是自適應變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖4可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經改變了系統的混沌特性(見圖5)，而單邊匹配仍保持了系統的混沌特性(見圖6)。

圖4 無量綱誤差E隨時間的演化圖

圖5 雙邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖6 單邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

例2 Rikitake混沌系統［16］:

顯然，假如e1=0，e3=0，那么e2=0，因此，可取me=m(e1，0，e3)，即只需兩個自適應反饋控制器。設 λ =8，即= － 8(e21+e23)。

在仿真中，取系統初值分別為(3，2，3)，(5，1，8)，由于m是自適應變量，可取它的初值為1。用無量綱誤差來比較兩種方法收斂的速度。從圖7可知:單邊匹配比雙邊匹配收斂的更快一些。通過仿真還可知:雙邊匹配已經改變了系統的混沌特性(見圖8)，而單邊匹配仍保持了系統的混沌特性(見圖9)。

圖7 無量綱誤差E隨時間的演化圖

圖8 雙邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

圖9 單邊匹配時驅動系統和響應系統在無量綱x-y-z軸上的相圖

3 結論

本文把單邊匹配響應系統的控制器分解成兩部分分別匹配到驅動系統和響應系統(雙邊匹配)時，得到雙邊匹配的誤差系統與單邊匹配的誤差系統完全相同。仿真發現:兩種匹配方法系統達到同步的時間不一樣，并且雙邊匹配改變了系統的混沌特性，而單邊匹配仍保持了系統的混沌特性。

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