基于蒙特卡羅法的電磁齒輪的可靠性分析

倪 濤

（黃岡職業技術學院，黃岡 438002）

0 引言

磁力機械已經成為了國內外研究的熱點，電磁齒輪屬于一種新興的磁力機械，其工作原理就是磁性耦合，通常情況電磁齒輪通過非接觸形式完成傳動任務，相對于傳統齒輪，電磁齒輪的傳動特性更加優秀，比如，不用采用潤滑手段，沒有摩擦和磨損，對環境沒有污染，同時沒有振動和噪聲。電磁齒輪是以現代電磁理論為依據的，通過電磁鐵或永磁材料形成磁力，從而能夠保證電磁齒輪能夠以非接觸的形式實現力或力矩的傳遞。電磁齒輪的每一個輪齒的極齒都具有N極或S極磁性，全部的極齒分布在電磁齒輪的外圓面上，N極和S極通常情況下都是配對使用的，一個N極和一個S極就可以構成一個極對，當將直流電接入線圈以后,磁通左端沿軸向通過導磁鐵芯、與左極齒相對應的法蘭經過左極齒部，就構成了N極；右端磁通通過直流線圈的導磁環經過右極齒的環圈最后流經右極齒部,最終構成了S極。

當保持激勵電壓不變的條件下，提高電磁齒輪線圈內的電流值，就會相應地增強磁感應強度，進而能夠增加電磁齒輪的電磁吸力，然而，按照牛頓冷卻定律，電磁齒輪線圈的溫升和電磁齒輪線圈內的流通電流的平方是服從正比例的關系，所以，電磁齒輪線圈內的流通電流的提高同時會導致線圈的溫度增加，發出更多熱量，如果在電磁齒輪的設計階段沒有充分地考慮線圈的散熱問題，就容易線圈的溫度過高。一旦電磁齒輪的溫度超出了設計溫度，電磁齒輪的絕緣材料就將老化，電磁齒輪的可靠性不斷地降低，從而極大地減小了電磁齒輪的壽命，因此電磁齒輪的控制電流是電磁齒輪安全平穩運行的關鍵。

可靠性設計可以考慮參數的不確定性，能夠以可靠度或其他可靠性的指標作為評價標準，使設計更加合理，傳統的可靠性分析都是以大樣本實驗數據為依據，而電磁齒輪電磁力和熱性能可靠性僅僅能夠依據小樣本的實驗數據，從而會導致分析結果和實際情況不相符合。蒙特卡羅模擬法能夠對電磁齒輪的熱性能的變化規律進行模擬計算，接著，根據電磁力和熱性能的變化規律進行可靠性指標的計算，并且進行敏感性研究。

1 蒙特卡羅法概述

蒙特卡羅法屬于一種計算機模擬技術，也可以被稱為統計模擬實驗技術法或隨機模擬技術，目前該方法已經被成功地應用于各個工程領域之中，屬于一種基于統計理論的對工程中的數學或物理問題進行近似計算的手段，蒙特卡羅法的主要思路為：第一步，根據工程問題的實際情況建立一個能夠充分反映實際問題的隨機過程或概率數學模型，所建立的數學模型的數學期望或概率分布也就是欲求問題的解；第二步，通過對所建立的概率模型或隨機過程模型進行抽樣統計從而最終確定所求解的參數的概率分布；最后，能夠求解出概率模型的近似值。這樣就能夠有效地解決工程中的數學或物理問題。

蒙特卡羅法的原理如下：按照大數定律，設有m個相互獨立的變量，分別為x1,x2,…,xm，這n個變量是同一母體中的獨立變量，分布均一樣，同時具備一致的均值與方差，可以由字母μ與σ2來標識，這樣針對任何的ε＞0都滿足以下條件：

2 靈敏度分析概述

靈敏度分析就是隨著系統的輸入改變，系統的輸出隨之而變的敏感性的強弱。利用靈敏度分析能夠有效地反映概率模型中不同的參數對系統的輸出的敏感程度。利用靈敏度分析，能夠發現系統的設計變量對目標函數的敏感程度。

目標函數對設計變量的靈敏度代表了設計變量的輕微改變導致目標函數的變化情況，目標函數表示為以下形式：

依據隱函數定律，輸出變量對輸入變量的靈敏度可以表示為如下的形式：

式中，xn表示第n個輸入變量。

某系統含有三個相互耦合的子系統，相應的耦合矩陣如下所示：

其中：y1、y2、y3表示了系統所包含子系統的輸出；I表示了單位陣；公式(4)中右側的向量代表了局部靈敏度，局部靈敏度的含義是當其余影響沒有改變時，不同子系統對輸入變量的敏感性；公式(4)的左側的矩陣代表了全局靈敏度，其含義是不同子系統對其余子系統輸出的敏感性；公式(4)左側的向量表示了系統靈敏度，其含義是系統輸出變量和系統輸入變量的靈敏度所對應的導數，由于不同子系統之間存在著耦合關系。公式(4)表明，局部靈敏度以及全局靈敏度間是經過系統靈敏度向量而相互關聯起來的，系統靈敏度向量包括了系統全部輸出對任何輸入變量的靈敏度，同時導數中也表明了不同子系統間的耦合關系。

3 基于蒙特卡羅法電磁齒輪電磁力和熱性能的可靠性分析流程

1）確定電磁力和溫升的函數y=f(x1,x2,…,xm)，并且確定出隨機變量x1,x2,…,xm。

2）確定電磁力和溫升函數中隨機變量xn所對應的概率密度函數f(xn)。

3）確定電磁力和溫升函數中隨機變量xn所對應的累積分布函數F(xn)。

4）概率密度函數中的隨機變量形成一個遵循均勻分布的數列Wxij，其表達式如下所示：

式中，i表示隨機變量的序號，i=1,2,…,m；j表示蒙特卡羅模擬的次數，j=1,2,…,103。xij表示了隨機變量xi經過第j次模擬計算以后獲得的一組偽隨機數。

5）將各組偽隨機數xij代入電磁力和溫升的表達式中，可以獲得yi。

6）經過j模擬計算，獲得電磁力和溫升的每次函數大小，進行升序排列。

7）繪制y的直方圖，擬合直方圖的分布。

確定了電磁力和溫升的分布以后，利用蒙特卡羅法模擬出電磁齒輪的電磁力和溫度耦合的可靠度。

4 電磁齒輪電磁力和轉矩的計算方法

電磁齒輪的磁感應強度由于電磁齒輪的漏磁通而不一樣，因此，在分析的過程中可以將分析區域劃分為若干小區域，提出每個小區域的磁感應強度相同的假設，則磁場能量可以表示為以下的形式：

式中，Bi表示了磁感應強度；Hi表示了磁場強度；Vi表示了氣隙的體積；Ai表示了氣隙的橫截面面積；Si表示了空氣氣隙。

對應的磁場力的計算公式如下所示：

式中，Fi表示了每個小區域的磁場力。根據安培定律可得：

聯立公式(7)和公式(8)，電磁齒輪的電磁力和轉矩可以分別表示為：

式中，μ表示了真空磁導率；I表示電流強度；N表示了線圈匝數；D表示爪極的直徑，NP表示磁極數。

最后，利用電磁場分析獲得的焦耳熱轉化為電磁齒輪的溫升。

5 基于蒙特卡羅法電磁齒輪電磁力和熱性能耦合可靠性分析

表1 電磁齒輪電磁力四組蒙特卡羅模擬計算結果

圖1 電磁齒輪電磁力的頻率分布結果圖

利用蒙特卡羅法計算出電磁齒輪的電磁力的概率分布，通過計算可得近似符合正態分布，表1給出了四組電磁齒輪電磁力的計算結果。圖1給出了四組電磁力的數據模擬結果的頻率分布結果圖。

利用蒙特卡羅法計算出電磁齒輪的溫升的概率分布，計算結果表明電磁齒輪溫升的概率分布比較接近于對數正態分布，表2給出了4組電磁齒輪溫升的計算結果。圖2給出了電磁齒輪4組溫升的概率分布結果圖。

表2 電磁齒輪的溫升四組蒙特卡羅模擬計算結果

圖2 電磁齒輪溫升的頻率分布圖

表3給出了蒙特卡羅法的可靠度計算結果，從表3可以看出，當模擬結果超過2×104次的時候，可靠度的數值已經收斂。

表3 電磁齒輪可靠度模擬結果表

6 基于靈敏度的電磁齒輪可靠性分析

靈敏度分析利用蒙特卡羅法進行模擬計算，預先定義靈敏度分析的模擬次數為25次，經過靈敏度分析獲得的結果如表4所示。從表4可以看出，電磁齒輪的溫升比電磁齒輪的電磁力對電磁齒輪的可靠性影響更大。

表4 靈敏度分析結果

7 結論

電磁齒輪屬于一種新型的非接觸機械，其電磁場和溫度場的耦合計算是電磁齒輪設計的基礎，電磁力和溫度場對電磁齒輪的可靠性具有非常重要的影響，利用蒙特卡羅法對電磁齒輪進行可靠性分析，能夠避免傳統可靠性分析中需要大量實驗樣本的缺陷，具有較好的魯棒性。

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