基于粒子群優(yōu)化算法下的灰色系統(tǒng)船閘貨運量預測＊

楊 星 王婭娜

（江蘇省水利科學研究院 南京 210017）1） （河海大學交通與海洋學院 南京 210098）2）

0 引 言

航道貨運量預測是制定有關(guān)政策、編制運輸發(fā)展規(guī)劃和運輸企業(yè)經(jīng)營決策、日常管理的依據(jù)［1］，也是進行航運規(guī)劃，確定各樞紐的通航建筑物規(guī)模最直接和最重要的基礎性工作.目前常用的某些預測方法（回歸分析、神經(jīng)網(wǎng)絡法［2－5］、移動平均法、指數(shù)平滑法等），若樣本較小，常造成較大誤差 ，使預測目標失效.若樣本較大，則計算復雜，不易應用.灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測的模型所需建模信息少，運算方便，建模的精度高，在各種預測領(lǐng)域都有著廣泛的應用［6－7］.近年來，在交通流量的預測中，應用灰色理論獲得了較好的效果［8］.但在內(nèi)河運量的預測卻是從2000年開始才陸續(xù)有學者進行研究［9－10］，這些研究主要集中在中短期預測領(lǐng)域，對于長期預測尚有待于時間的檢驗和進一步的探討論證.

本文通過粒子優(yōu)化算法可以避免矩陣運算，降低運算難度.文章最后通過與實測結(jié)果的對比分析與驗證，分析研究基于粒子優(yōu)化算法灰色系統(tǒng)模型預測船閘貨運量時的精度，并比較了基于粒子優(yōu)化算法和基于最小二乘法灰色系統(tǒng)預測法的預測精度.

1 基于粒子群優(yōu)化算法下的灰色預測模型GM （1，1）的建立

1.1 模型的建立

GM（1，1）表示一階的、具有兩個參數(shù)變量（a，b）的微分方程模型，具體形式如下.

設有數(shù)列x（0）共有n個觀測值，表示為

對x（0）做一階累加，生成新的序列x（1）

令z（1）為x（1）的均值序列

則GM（1，1）的灰微分方程模型為

以k＝2，3，…，n代入式（5），有

對上述離散方程組，用隨機粒子群優(yōu)化算法求解，可得P＝（a，b）T.把所求得的系數(shù)P＝（a，b）T代入到式（5），然后求解微分方程，得到GM（1，1）預測模型為

以上所述的即是GM（1，1）的建模過程，也是建立船閘貨運量灰色預測模型的基礎.

1.2 粒子群優(yōu)化算法（PSO）

粒子群優(yōu)化算法由Kennedy和Eberhart在1995年提出，該算法模擬鳥集群飛行覓食的行為.設想一群鳥在隨機搜尋食物，這個區(qū)域里只有一塊食物，所有的鳥都不知道食物在哪里，但他們知道目前距離食物還有多遠，那么找到食物的最簡單的方法就是找尋距離食物最近的鳥的周圍區(qū)域，及根據(jù)自身飛行經(jīng)驗判斷食物的所在.每個尋優(yōu)的問題解都被想像成一只鳥或者稱為粒子.所有的粒子都有一個目標函數(shù)以判斷該粒子目前位置的好壞，每一個粒子必須具有記憶性，能記得所搜尋到的最佳位置.每一個粒子還有一個速度以決定飛行的距離和方向.

粒子群優(yōu)化算法流程如下：（1）初始化.將族群做初始化，以隨機的方式求出每一個粒子（鳥）的初始位置與速度；（2）評估.依據(jù)目標函數(shù)計算出其目標值以作為判斷每一個粒子所處位置的好壞；（3）查找個體極值.找出每一個粒子到目前為止搜尋過程中的最佳解，這個最佳解稱為個體極值；（4）查找全局極值.找出所有粒子到目前為止所搜尋到的整體最佳解，這個最佳解稱為全局極值；（5）更新粒子速度和位置.假設搜索空間為D維，粒子群中第i個粒子的2個狀態(tài)量——位置和速度分別用xi＝（xi1，xi2，…，xiD）和vi＝（vi1，vi2，…，viD）表示，該粒子迄今為止搜索到的最好位置（即歷史最優(yōu)值）記為pi＝（pi1，pi2，…，piD），所有粒子迄今為止搜索到的最好位置記為pg＝（pg1，pg2，…，pgD）.那么該粒子的速度和位置更新等式（第d維）可表示為

式中：Vid為每一個粒子在第d維的速度；i為粒子的編號，粒子數(shù)一般取50，對于比較難的問題或者特定類別的問題，粒子數(shù)可以取超過100的數(shù)；d為維度；ω為慣性權(quán)重，常數(shù)，用來控制粒子的歷史速度對當前速度的影響程度，一個較大的ω值能加速粒子搜索新的區(qū)域，因此，選取適當?shù)摩刂的芷胶釶SO算法的全局和局部搜索能力，從而得到更好的解.本文取為0.8；c1，c2為學習常數(shù)，本文取2；rand（）表示在范圍［0，1］內(nèi)取值的隨機函數(shù)；Pid為每一個粒子到目前為止，所出現(xiàn)的最佳位置；Pgd為所有粒子到目前為止，所出現(xiàn)的最佳位置；Vmax和Vmin是常數(shù)，決定粒子在一個循環(huán)中最大的速度，人為設定.式（8）中第1部分為粒子先前的速度，它使粒子有在搜索空間中擴張的趨勢，從而使算法具有全局搜索的能力；第2部分為“認知”部分，表示粒子吸取自身經(jīng)驗知識的過程；第3部分為“社會”部分，表示粒子學習其他粒子經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)了粒子間信息的共享與社會協(xié)作.

1.3 粒子群優(yōu)化算法求解灰色系統(tǒng)預測模型參數(shù)變量a，b

參照式（6），取船閘貨運量問題的目標函數(shù)為

式中：F表示為

具體計算步驟如下.

1）初始化粒子群 由于式（9）中只存在2個變量（a，b），搜索空間為2維.取粒子數(shù)＝50，c1＝2，c2＝2，ω＝0.8，最大迭代數(shù)＝1 000.

2）假設a的取值范圍為［a1，a2］，b的取值范圍為［b1，b2］，則第一維和第二維50個粒子初始位置可以分別設置為

式中：a和b的取值范圍可以先取大，先在一個較大的范圍內(nèi)進行搜索，然后根據(jù)結(jié)果逐步縮小搜索范圍，直到最優(yōu)解滿足要求為止.

3）第一維和第二維50個粒子的初始速度可以分別設置為

式中：vmax1和vmin1為第一維的速度最大和最小值；vmax2和vmin2為第二維的速度最大和最小值.

4）用目標函數(shù)評價所有粒子.

5）將初始評價值作為個體歷史最優(yōu)解Pid，并尋找群體內(nèi)最優(yōu)解Pgd.

重復執(zhí)行以上步驟，直到滿足終止條件或達到最大迭代次數(shù)，其中注意事項包括：（1）對每一個粒子，按式（8）計算［xi1，xi2］和［vi1，vi2］.當xid，vid超過其范圍時，按邊界取值；（2）用式（9）評價所有粒子，評價值為minF；（3）若某個粒子的當前評價值優(yōu)于其歷史最優(yōu)評價值，則記當前評價值為該歷史最優(yōu)評價值，同時記當前位置為該粒子歷史最優(yōu)位置，更新Pid；（4）尋找當前群體內(nèi)最優(yōu)解，若優(yōu)于歷史最優(yōu)解，則更新Pgd.

最終計算結(jié)果為

式中：Δf用于估計計算誤差，數(shù)值越小時計算結(jié)果越優(yōu).

2 GM （1，1）模型船閘貨運量預測

建模數(shù)據(jù)采用1996～2005年淮陰船閘的貨物運輸量（見表1），該數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)序列.

表1 淮陰船閘近年貨物運輸量 萬t

按照GM （1，1）建模機理，首先對x（0）做一次累加生成計算得（i＝1，2，3…）：

然后根據(jù)式（4）計算得（i＝2，3…）：

粒子群優(yōu)化算法求解a＝－0.102 471 368 29，b＝2 552.303 797 468 35.另外，參照文獻［15］中的最小二乘法計算得出a＝－0.101 513 575 46，b＝2 627.581 978 163 14.分別代入GM（1，1）模型，則船閘貨運量預測模型為

累減還原得到

應用該模型對1996～2005年淮陰船閘貨運量進行計算，并進行模型精度的比較（見表2）.比較結(jié)果粒子群優(yōu)化法平均相對誤差為3.81%，最小二乘法平均相對誤差為3.79%，兩者均小于10%，預測模型精度較好.

表2 1996～2005年淮陰船閘貨運量模型預測值及誤差值

最小二乘法需要求解矩陣（一般為奇異矩陣），其求解過程煩瑣且不易獲得近似解，所以本文進行了一些改進，用粒子群算法代替最小二乘法進行參數(shù)計算.兩者求解數(shù)據(jù)的本質(zhì)都一樣，都是尋求經(jīng)驗公式并使其最大限度的擬合到觀測數(shù)據(jù)，其結(jié)果也是相近的.最小二乘法出現(xiàn)較早，粒子群算法出現(xiàn)較晚.如果把最小二乘法看做是一種理論解，粒子群算法則更像是數(shù)值解，所以后者適應面更廣，不需要煩瑣的矩陣運算，所以算法上優(yōu)于最小二乘法.

應用基于粒子群優(yōu)化算法的灰色系統(tǒng)船閘貨物運輸量模型，進行遠景預測（見表3）.

表3 2006～2010年淮陰船閘貨物運輸量預測值

3 結(jié) 論

1）相對于其他傳統(tǒng)的預測方法，灰色GM（1，1）模型法由于具有所需數(shù)據(jù)少、計算量小的優(yōu)點.

2）基于粒子優(yōu)化算法建立的船閘貨運量灰色預測模型，方法簡便易行，結(jié)果合理可信，預測精度較高，在算法上優(yōu)于基于最小二乘算法建立的船閘貨運量灰色預測模型.

3）灰色預測法在中短期預測（n≤5）上具有優(yōu)勢，應用于船閘貨運量的長期預測，尚有待于時間的檢驗和進一步的探討論證.

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