非標準模型下的逐點可測性

陳東立，鄭煥平，史艷維

(1.西安建筑科技大學理學院，西安 710055;2.西安培華學院 基礎部，西安 710125)

20世紀60年代A.Robinson［1］創立了非標準分析。非標準分析是利用數理邏輯方法來探討和刻畫微積分的理論基礎，為數學開辟了新的研究領域。自非標準分析創立以來，國內外許多的數學家利用非標準分析理論，對拓撲空間［2］、泛函分析、微分方程、概率論［3］、代數數論、數理經濟等多方面領域做出了深入細致的研究與刻畫。

連續函數是數學分析的主要研究對象，而可測函數要比連續函數內容更加豐富，應用更加廣泛。測度通俗地講就是測量幾何區域的尺度。本文是在非標準模型下引入逐點可測性的概念，從而得到一些相應性質定理，并討論了逐點可測性與Loeb可測性及泛Loeb可測性之間的關系，進而使得在飽和原理下，內函數的逐點可測性有意義且等同于一般的可測性。

設X、Y是無限集，R是實數集，V(S)是以S為個體集的超結構，V(*S)是V(S)的非標準模型，*X是X 的擴張，X?*X，Y?*Y。

定義1 設A是一個集合，Ω?P(A)，若對于Ω的任意有限個元素A1，A2，…，An，均有，則稱集族Ω具有有限交性質。

定義2［4］設κ是無限基數，V(*S)是κ飽和的，即對于V(*S)中的任一具有有限交性質的非空內集族{At}t∈T，且 card(T)＜ κ，有特別地，如果V(*S)對于κ≥card(V(S))是κ－飽和的，則稱V(*S)是多飽和的。

定義3 設X是任意集合，A是X的一個子集族，如果A滿足

① X∈A。

② 對任意集A∈A，有Ac∈A。

③ 對任意有限序列A1，…，An∈A，有，則稱A為X上的一個代數。

定義4 設Ai?P(Xi)，i=1，2是代數，則稱函數 f:X1→X2關于A1和A2可測，當且僅當對所有C2∈A2，有 f－1(C2)∈A1。

在拓撲空間上可以定義逐點連續的概念:設X，Y是拓撲空間，函數f:X→Y，x∈X，如果對f(x)的任意鄰域V，存在x的鄰域U，使得f(U)?V，則稱f在點x處連續，且一個函數在某一個集合上連續當且僅當它在此集合上的每一點處連續。

設X，Y是非空集合，f:X→Y，A，B是X上的代數，可類似的定義f在X上一點x處可測:若對任意B∈B，f(x)∈B，存在且x∈A，使得f(A)?B，則稱f在x處可測。但是如此定義的“點可測”沒有與通常可測性相似的性質。

定義5 設A?P(X)，B?P(Y)是代數，且 g:*X→*Y是內函數，σA={*A:A∈A}，σB={*B:B∈B}，函數g稱為在點x∈*X處關于σA和σB可測，當且僅當對任意B∈B，g(x)∈*B，存在A∈A，x∈*A，使得g(*A)?*B。

下面此定理證明了對所有x∈*X的逐點可測性等同于通常的可測性，并且進一步等價于某給定拓撲的連續性。

定理1 設A，B分別是X，Y上的代數，對內函數g:*X→*Y下列條件等價:

(1)g是關于σA和σB可測。

(2)g是在所有點x∈*X處關于σA和σB可測。

(3)g是 T(σA)，T(σB)－連續.其中 T(σA)是包含σA 的最小拓撲，T(σB)類似。

證明

(1)?(3)設對任意B∈σB，只要證g－1(B)∈T(σA)即可.因為g是關于σA和σB可測，所以對所有B∈σB，有 g－1(B)∈σA，又由于σA?T(σA)，所以 g－1(B)∈T(σA)。

(3)?(2)設x∈*X，B∈B且 g(x)∈*B，因為 g在 x處是 T(σA)，T(σB)－連續，所以對任意 T∈T(σA)，存在 x∈T，使得 g(T)?*B，又由于σA 是 T(σA)的基，則存在*A∈σA，使得 x∈*A?T，所以g(*A)?*B。

(2)?(1)設 B∈B，x∈*X，g(x)∈*B，存在 Ax∈A，x∈*Ax，且 g(*Ax)?*B，由于g－1(*B)，且 g－1(*B)是內的，由多飽和原理，存在有限多 Axi，i=1，…，n，且，因此g－1(*B)=*A，其中，因為A是代數，所以有A∈A。

推論設A，B分別是X，Y上的代數，函數f:X→Y，則f是關于A和B可測當且僅當*f在點x∈*X處關于σA和σB可測。

證明

? 因為 f是關于 A 和 B 可測，所以對 B∈B，有 f－1(B)∈A，由轉換原理［5］:有*f－1(*B)∈σA，則由定理1知*f在點x處關于σA和σB可測。

? 設B∈B，則對每個x∈*X，存在 Ax∈A且 x∈*Ax，使得*f(*Ax)?*B。由于是內的，由多飽和原理，存在有限個 Axi，i=1，…，n，且有因此*f－1(*B)=*A，其中，由轉換原理得 f－1(B)=A，因為 A為代數，所以 A∈A，即f－1(B)∈A。

Loeb測度是Loeb在1975年將一個內代數上定義的內測度擴張到由這個內測度生成的σ－代數上，成為一個標準測度。

定義6［6］設(X，A，μ)是一個有限測度空間，則由轉換原理(*X，*A，*μ)是一個內的，有限可加測度空間。關于(X，A，μ)的 Loeb空間定義如下:令及是P(*X)到R+∪{0}的映射，使得對任意A∈P(*X)有:

注 設Aμ是A關于μ的完備，顯然有Aμ是σ－代數并且有Aμ={C?X，存在A，N∈A，使得A?C?A∪N，且 μ(N)=0}。

定義7 設A?*X，如果對所有有限內測度*μ，都有A∈L(*A，*μ)，則稱A是泛Loeb可測的。所有泛Loeb可測集的集族記為Lμ(*A)=Lμ。

引理［7］設A是X上的代數，L?A是子族，則有

下來證明*f在點 x處對所有 x?N是關于σA和σB可測，設 x?N，B∈B，*f(x)∈*B，因為 x?*NB，*f－1(*B)?*AB∪*NB，取 x∈*AB，由于 AB∈A，則*f(*AB)?*B，所以*f在點 x 處是關于σA 和σB

定理2 設A?P(X)是σ－代數，B? P(Y)是代數，且μ|A是有限測度，函數f:X→Y，則有f是關于Aμ和 B 可測，當且僅當*f在點 x處關于σA 和σB 可測，其中 x∈*X，*μL－a.e..。

證明

? 因為 f－1(B)∈Aμ，B∈B 則存在 AB，NB∈A，AB，?f－1(B)?AB∪NB，且 μ(NB)=0，設 N=可測。

? 設B∈B，只要證C=f－1(B)∈Aμ即可。由于

則由引理及條件知*C是*μL－可測的，所以對n∈N，存在D，E∈*A，D?*C?E且*μ(E－D)＜1/n，由轉換原理C∈Aμ。

設 μ 是完備測度，即 A=Aμ，則由推論和定理2知:如果*f是逐點關于σA 和σB 可測*μL－a.e..，則它是處處逐點關于σA和σB可測。特別地，定理2證明了*f的所有關于σA和σB可測點的集對關于Aμ和B可測函數f是*μL可測。然而下面此定理不需要基于Loeb測度*μL，對任意函數f和測度μ，可測點的集是μL可測的。

定理3 設 A? P(X)是σ－代數，B? P(Y)是代數，且對任意B∈B，都有函數f:X→Y，令F是所有點x∈*X的集使得*f在點x處關于σA和σB可測，則F是泛Loeb可測。

證明由題知，其中

由FB的定義有:

設 μ|*A是有限內測度，對每個C?Y 選An∈A 且f(An)?C，μL(*An)↑sup{μL(*A):A∈A，f(A)?C}，設，則 AC∈A，f(AC)?C。又對任意 A∈A，有 f(A)?C，所以

令LB={A∈A:f(A)?B或，由式(1)與(2)可得

由式(3)對任意 B∈B，A∈LB，取，因此由引理有 μL(N)=0。設 D=，則由引理知，D是μL可測。由于F－D?N且μL(N)=0，F－D也是μL可測的，因此F=D∪(F－D)是μL可測的。

［1］Davis M.Applied nonstandard analysis［M］.New York:Wiley，1977.

［2］陳東立，馬春暉，史艷維.拓撲的非標準定義［J］.西北大學學報:自然科學版，2006，36(3):348－350.

［3］Loeb P A.Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory［J］.Trans.Amer.Math.soc.，1975，211:113 －122.

［4］Cutland N J.Nonstandard measure theory and its applications［J］.Bull London Math Soc，1983，15:529 －589.

［5］Anderson R M.Star-finite representations of measure spaces［J］.Trans Amer Math Soc，1982，271:667 －687.

［6］Chen Dongli.The Loeb Space of Denumerable Infinite Dimensional Probability Product Measure Spaces［J］.Northeast Math J，2003，19(3):249 －253.

［7］Landers D，Rogge L.Universal Loeb-measurability of sets and of the standard part map with applications［J］.Trans Amer Math Soc，1987，304:229－243. (責任編輯劉 舸)