對數能量熵的最優小波包基搜尋算法

李姣軍，唐 娜，蘇理云，徐 勤

(重慶理工大學 a.電子信息與自動化學院;b.數學與統計學院，重慶 400054)

近年來，小波包得到了快速發展，被越來越多地應用到通信及其他領域中［1－8］。由于小波包有多種分解結構，其中會有一種分解結構可以最好地表達被分析的原始信號，這種分解結構就是最優的小波包基，所以很多人把研究方向投入到最優小波包基的搜尋算法。目前所使用的最優小波包基選取算法大致可歸為2類:一類是Volkan Kumbasar等［9－10］所提出的 Brute Force Algorithm(BFA)算法;另一類是1992年 Wickerhauser與Coifman［11－12］提出的基于熵值的 Best Basis Selection(BBS)算法。BFA算法的基本過程是列舉所有可能的二叉樹結構，對其中滿足完全重構條件的二叉樹結構進行對比，選取其中度量函數最小的一組結構作為最優基。BBS算法則是采用對完整小波包二叉樹結構進行自下而上的“靜態修剪”方法選擇最優基，算法簡單且高效［13］。BFA算法適用性要優于BBS算法，但計算復雜度高于BBS，實用性不強。本文在BBS基礎上，選擇對數能量函數作為熵，進行最優小波包基的搜尋。

1 小波包介紹

小波包變換是小波變換的延伸，小波變換僅對信號的低頻部分進行分解，而小波包變換則是對信號進行低頻分解的同時也要對高頻部分進行分解。因此與小波變換相比，小波包變換為信號頻帶分析提供一種更精確的方法。對比小波分解，小波包分解的優勢主要表現在3個方面［14］:

1)可以對頻帶進行多層次劃分;

2)小波包不僅對輪廓(低頻)進行分解，還對多分辨分析沒有細分的細節(高頻)部分進行進一步的分解;

3)自適應選擇頻帶，使其與信號頻譜相互匹配，提高了時頻分辨率。

由于小波包較小波體現了更多的優勢，因此，目前對小波變換的研究和應用較為廣泛。小波包的定義:

由

所定義的函數 φn(n=2l或2l+1，l=0，1，…)為關于正交尺度函數Φ(t)的小波包。這里:φ0(t)=Φ(t)稱為尺度函數;φ1(t)=φ(t)稱為為小波函數;h0k和h1k分別為尺度函數和小波函數對應的低通濾波器系數。

小波包有多種形式的分解，不同的小波包分解結構具有不同的性質，且反映不同的信號特征。眾多的分解結構構成小波包基庫，每一種小波包基都能夠完整地保存信號的全部能量，并可以對原始信號進行重構，因此在對待分析信號進行小波包分解時，希望根據不同的信號特征在小波包基庫中選擇一個最好的小波包基來表達信號的特點。對信號f(t)進行小波包分解時，是將信號投影到小波包基上，從而獲得一系列系數，并用這一系列的系數來刻畫f(t)的特征。如果這一系列系數之間值的差距越大并且只有少數系數很大，則越好，因為可以用這些少數大的系數代表f(t)的特征，顯然這樣的小波包基則是所要尋找的較優的基;但如果這一系列系數值的差別并不大，也就是刻畫信號的系數攜帶的信息差不多，則能量集中性差，會使權重接近而難以取舍，那么很難找出f(t)的特征，因此與之對應的基就不是最優基。下面提出一種最優小波包基的搜索算法，并應用到多載波通信系統中。

2 最優基算法

2.1 最優基的選擇

從小波包基庫中任意選取1個小波包基均能在不同程度上反映待分析信號的特性，只是每個小波包基反映信號所用的數據量不同，最優小波包基應該是用盡可能少的數據來反映盡可能多的信息。對某一特定信號而言，選擇一個“最優度量準則”下性質好的最優基進行分解，則可以使展開的系數之間存在明顯差異，這樣便可以較好地刻畫信號特征。對于如何選擇最優基，通常是要定義一個信息花費代價函數，對于一個給定的向量來說，代價越小表示越有效。然后在小波包庫中尋找一個使代價函數最小的基，那么此基便是最優基。其中最關鍵部分就是信息花費代價函數。代價函數的定義有很多種，選取原則也較為寬泛，任何關于序列的實函數、能測得集中度的可加性函數均可作為代價函數。通常作為最優小波包基搜索的代價函數有門閥函數和熵，其中以熵應用最為普遍，且大部分的文獻是應用香農(shannon)熵。但是熵也包括很多種類，比如 lp范數熵、SURE熵、對數能量熵等，而本文則選用對數能量熵作為代價函數，打破一直以來應用shannon的慣例。對數能量熵的定義為［15］

其中:s是待分析原始信號;si是在正交基上的投影系數，同時滿足E(0 )=0，且，即熵E是遞增的價值函數。熵值直接反映了它所處狀態的均勻程度:熵值越小，它所處的狀態越是有序，越不均勻;系統的熵值越大，它所處的狀態越是無序，越均勻。本研究希望用小波包對待分析信號分解時的系數之間的差異明顯，即不均勻性，這樣易舍棄非關鍵信息，用較少數的數據反映盡可能多的信息。最優基的選擇能使分解系數間彼此有較大差異而信息損失又較少。

2.2 最優基的快速搜索

假設小波包樹是一個N層分解的二叉樹，則整個搜索過程是對小波包二叉樹結構進行由下而上的“靜態修剪”，計算每個節點處的信息花費代價函數即對數能量熵，并從底層開始逐級向上比較父節點與子節點的信息花費代價函數的大小。若父節點比子節點之和的對數能量熵小，則保留父節點的對數能量熵值，否則以子節點之和的對數能量熵值代替父節點，然后再同更上一層進行上述比較，直至搜索到最頂層，此時的樹結構便是最優樹結構，即最優小波包基［16］。整個搜索過程如圖1所示。

2.3 算法實現舉例

應用Matlab按照上述搜索方法對輸入的語音信號test進行小波包分解，搜索最優小波包基。此處以N=3為例。

圖2中各節點處所標注的數字為各節點的對數能量熵值，即代價函數，如圖2(a)所示;然后自下向上搜索，計算末端節點熵值，與上一層父節點比較，標記熵值最小的節點，如圖2(b)所示;最后按照標記的輸出，得到最優基。

圖1 最優小波包基搜索流程

圖2 最優小波包基搜索例圖

2.4 算法應用

近幾年，在通信領域中小波包的應用非常廣泛，尤其是在多載波調制系統中。由于小波包自身具有良好的尺度正交性和平移正交性，可以作為多載波調制系統中的子載波，來對抗子載波間干擾和符號間干擾。這種調制方式稱為基于小波包變換的正交多載波調制，簡稱小波包調制。這種調制方式有多種方案［17］，其中以小波包分復用(wavelet packet division multiplexing，WPDM)技術最為突出。WPDM主要是將一串數據流經串并變換后轉換成K路子數據，每一路子數據用小波包函數進行調制。由于WPDM中應用小波包函數調制子數據流，那么就涉及到最優小波包基的選擇，將本文所講述的算法應用到WPDM中，把搜索得到的最優小波包基根據子載波分配算法分配給各子數據流進行調制，這樣可以有效地提高頻譜利用率、實現頻帶利用最優化，提高數據傳輸速率，進一步提高通信系統性能。

3 結束語

本算法是在已成熟的BBS算法基礎上進行創新，以對數能量熵代替香農熵進行最優小波包基的搜尋，算法簡單高效，實用性強，但仍具有一定的缺陷(如在未知分解層數即未知末端節點的情況下算法受到約束)，有待進一步改進和提高。本算法的一個應用領域是多載波通信系統，但對于應用小波包進行圖形處理、故障診斷等諸多領域同樣適用。

［1］龔仁喜，寧存岱，謝井華，等.基于LabVIEW和小波分析的電力電纜故障定位方法［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2010，24(1):65 －70.

［2］胡坤，徐亦凡，何斌.改進小波變換方法在魚雷控制系統中的應用［J］.四川兵工學報，2010，31(2):32－34.

［3］汪小梅，朱華.一種改進的小波變換閾值去噪法［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2010，24(6):48－51.

［4］晏力.基于小波變換的自參照圖像數字水印研究［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2010，27(1):50－54.

［5］董湘君.基于局部協方差模型的小波圖像降噪［J］.激光雜志，2010，31(3):22 －23.

［6］張志紅，任杰.B樣條小波邊緣檢測改進算法［J］.四川兵工學報，2010，31(2):136 －138.

［7］晏力.基于小波變換的數字圖像壓縮研究［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2009，26(4):341 －345.

［8］范永輝，王剛，曲文娟.基于小波域分類隱馬爾可夫樹模型的圖像融合算法研究［J］.激光雜志，2009，30(5):32－34.

［9］Volkan Kumbasar，Oguz Kucur.Better wavelet packet tree structures for PAPR reduction in WOFDM systems［J］.Digital Signal Processing，2008，18:885 －891.

［10］Volkan Kumbasar，Oguz Kucur.Better wavelet packet tree based OFDM for multipath powerline channel［J］.Computers and Electrical Engineering，2010，36:397－403.

［11］Laksmanan MK，Nikookar H.Review of wavelets for digital wireless communication［J］.Wireless Personal Communications，2006，37:387 －420.

［12］Yang Jingyu，Xu Wenli，Dai Qionghai.Fast adaptive wavelet packets using interscale embedding of decomposition structures［J］.Pattern Recognition Letters，2010，31:1481－1486.

［13］李姣軍.一種快速自適應最優小波包基搜索算法［J］.現代電子技術，2011，34(11):72 －75.

［14］ZHONG M S.Characterization of signals from multiscale edges［J］.IEEE Trans on Pattern Anal Mach Intell(PAM I)，1992，14(7):710 －732.

［15］郭晶.小波分析理論與MATLAB7實現［M］.北京:電子工業出版社，2005:155－156.

［16］陳東明.一種最優小波包基搜尋算法［J］.哈爾濱工業大學學報，2009，41(1):200 －203.

［17］郝久玉.基于小波變換/小波包變換的多載波調制技術［J］.信號與處理，2003，19(1):64 －68.