壓縮感知中的信號重構方法分析

魯周迅，徐曉梅

（南京工業大學,江蘇 南京 211800)

現代信息技術的飛速發展，使得人們對信息量的要求劇增，對信號帶寬采樣速度和處理速度的要求也越來越高。傳統的奈奎斯特采樣定律要求信號的采樣速度至少要達到信號帶寬的兩倍才能重構原信號，這就為現代信息技術較高的要求設置了障礙。另外，在實際應用中，為了降低存儲、處理和傳輸的成本，人們常采用壓縮方式以較少的比特數表示信號，大量的非重要的數據被拋棄,這種高速采樣在壓縮的過程浪費了大量的采樣資源。

為了解決這個問題,由Candes和Donoho等人提出了壓縮感知理論CS(Compressive Sensing)[1-2]。該理論可以理解為將模擬數據節約地轉換成壓縮數字形式，避免了資源的浪費，即在采樣信號的同時就對數據進行適當的壓縮，相當于在采樣過程中尋找最少的系數來表示信號，并能用適當的重構算法從壓縮數據中恢復出原始信號。壓縮感知的核心概念在于試圖從理論上降低對一個信號進行測量的成本。壓縮感知理論包含了許多重要的數學理論，具有廣泛的應用前景。

本文就壓縮感知理論進行了分析，著重介紹了其重構方法，并對其效果進行了詳細分析。

1 壓縮感知概述

假設一個采樣信號s,s∈RN。用一個與變換矩陣不相關的 M×N(M＜＜N)測量矩陣 Φ對信號進行線性投影,得到線性測量值 y=Φs。測量值 y是一個 M×1矩陣，這樣使測量對象從N維降為M維，觀測過程是非自適應的,即測量矩陣Φ的選擇不依賴于信號s,測量矩陣的設計要求信號從f轉換為y的過程中,所測量到的K個測量值不會破壞原始信號的信息,保證信號的精確重構。由于壓縮感知要求信號是可稀疏表示的，且K＜＜M，所以滿足有效等距的性質(RIC)，即對于任意的稀疏信號s和常數 δs，δs∈(0,1)。 滿足：

其中，|T|≤S, 對于系數序列(cj)，j∈T。

根據 RIC性質可知，當 δ2s+δ3s＜1時，信號 s可由下式重構：

Φ 為高斯隨機序列，Φi,j～N(0,1/M)。 如果滿足式(3)信號可被準確地重構。

2 用戶的壓縮頻譜感知

對信號進行直接采樣時，要求高速度的模數轉換器(ADC)并且要存儲和傳輸大量的數據。模擬信號轉換器(ADC)可以實現這樣的功能。基帶信號x(t)是經AIC采樣得到的信號。根據參考文獻[3-4]，AIC可以看作是工作于奈奎斯特定律下的ADC。ADC輸入端的堆棧向量為：

壓縮信號的N×N和 M×M自相關矩陣和式 (4)、式(5)有如下的關系：

其中：H指 Hermitian矩陣；[Ry]ij=ry(i-j)=ry*(j-i);[Rx]ij=rx(i-j)=rx*(j-i)。

根據式(4)、式(5)壓縮信號的 2N×1和 2M×1自相關矩陣可以寫成下面的形式：

其中，第一個0值是人為加入的，并且這些向量的第一排和第一列分別是自相關矩陣。為了得到CS的重構信號，根據式(8)、式(9)，應用矩陣的運算，可以得到：

[4]知：

其中，Zs是 2N×1 向量，G=(Γfw)-1。 2N×2N 矩陣 w 和 f分別指基帶濾波和傅里葉變換，聯合式(10)、式(11)可以得到CS信號邊緣頻譜重構的優化條件:

3 信息重構方法

目前為止出現的重構算法可以分為如下幾類：

(1)貪婪追蹤算法:這類方法是通過每次迭代時選擇一個局部最優解來逐步逼近原始信號。這些算法包括MP算法、OMP算法、分段OMP算法和正則化OMP算法。

(2)凸松弛法:這類方法通過將非凸問題轉化為凸問題求解找到信號的逼近，如BP算法、內點法、梯度投影方法和迭代閾值法。

(3)組合算法：這類方法要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建,如傅里葉采樣、鏈式追蹤和HHS(Heavg Hitters on Steroids)追蹤等。

每種算法都有其固有的缺點，凸松弛法重構信號所需的觀測次數最少，但往往計算負擔很重。貪婪追蹤算法在運行時間和采樣效率上都位于另兩類算法之間。由此可知，重構算法和所需的觀測次數密切相關。當前，壓縮感知理論的信號重構問題的研究主要集中在如何構造穩定的、計算復雜度較低的、對觀測數量要求較少的重構算法來精確地恢復原信號。本文將用梯度投影算法(GP)和 Projected Barzilai-Borwein(PBB)來重構信號，并對這兩種算法進行仿真分析。

3.1 GP算法介紹

根據前面的壓縮感知理論，假設A=ΦG,即

在第j個感知用戶中，引進向量uj和vj來代替zs。zs,j=uj-vj，uj≥0，vj≥0，j=1，…，J。 其中，對于所有的 i=1,…,2N,都 有 uj(i)=(zs,j(i))+=max{0,zs,j(i)}，vj(i)=(-zs,j(i))+=max{0,-zs,j(i)}(a)+=max(0,a)。于是，可以得到其中 12N=[1,1,…,1]T。 式(12)可以寫成下面的形式：

式(14)可以寫成帶約束二次規劃的形式（BCQP）:

3.2 基本GP算法

3.3 GBB重構算法

4 仿真結果分析

根據上面的理論，文章對這兩種方法進行了仿真分析，并作出了比較。仿真結果如圖1、圖2所示。

圖1表明：在壓縮感知中，當壓縮率減小的時候，MSE增加。如果考慮多用戶的頻譜感知機制，MSE也會隨著用戶的減少而增加。因此，可以采用降低壓縮率，而增加感知用戶的方法來進行壓縮感知，不會降低重構的性能。同時，PBB算法比基本GP算法效果更好一點。

圖2表明：當用戶增加時，檢測概率增加，虛警概率減小。PBB算法和基本GP算法的結論是基本一致的。

為了更好地重構信號，壓縮感知是很有必要的，而且壓縮感知可以降低硬件消耗，減少存儲空間的浪費。在壓縮感知理論的信號重構方法中，梯度投影算法和PBB算法會取得比較好的效果。在未來的研究中，將嘗試改進這種算法，使壓縮感知理論更加完善。

參考文獻

[1]DONOHO D.Compressed sensing[J].IEEE Trans.Information Theroy,2006,52(4):1289-1306.

[2]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(4):1289-1306.

[3]KIROLOS S,RAGHEB T,LASKA J et al.Practial issues in implementing analog-to-information conventers[J].in The 6thInternational Workshop on System-on-Chip for Real-Time Applications,2006:141-146.

[4]LASKA J N,KIROLOS S,DUARTE M F,et al.Theory and implementation of an analog-to-information converter using random demodulation[J].In IEEE international symposium on Circuits and Systems(ISCAS),2007:1959-1962.

[5]傅迎華.可壓縮感知重構算法與近似QR分解[J].計算機應用，2008,28（9）：2300-2302.