線性狀態等式約束下兩種 H∞濾波的比較

王兆敏, 徐 杰, 何臘梅, 劉 瑜

(四川大學數學學院,四川成都610064)

1 引言

工業中,含有線性狀態約束的控制使用越來越廣泛,然而在處理實際問題中,對于含有線性狀態約束的隨機模型或者隨機信號,一般采取忽略或啟發式思考的方法[1]。實際上,某些已知的信號或許不該被忽略。為此,在投影系統和無約束的 H∞濾波方程的基礎上,考慮線性狀態等式約束的條件,給出了一種含線性狀態等式約束的H∞濾波。通過比較其與狀態投影下的 H∞濾波的一步向前估計誤差協方差的上界,得出了文中所給方法的估計性能優于狀態投影下的H∞濾波的估計性能的結論。并給出一個數值模擬的例子,驗證了上述結論。

對含有狀態約束的H∞控制及其狀態估計,已經進行了較多研究[2-4]。在文獻[5-7]理論基礎上,對傳統的帶有加性白噪聲的隨機系統模型,如果狀態變量滿足硬的等式約束(所謂的硬的等式約束,就是狀態變量之間的關系確切知道),伴隨著加在其上的約束,過程噪聲的協方差是奇異的[7]。為了設計正確的滿足狀態等式約束的H∞濾波,必須用到實際(奇異)的帶有約束的噪聲協方差矩陣。文中,把基于投影系統含有狀態約束的H∞濾波稱之為投影系統約束的H∞濾波。主要關注投影系統約束的H∞濾波的推導及其與狀態投影H∞濾波的狀態估計性能比較。所謂狀態投影H∞濾波,就是把無約束的H∞濾波投影到狀態約束的平面上。在文獻[5]中,D Simon證明了無約束的H∞濾波估計誤差協方差的上界不高于狀態投影的 H∞濾波估計誤差協方差的上界的結論。將給出狀態投影的H∞濾波估計誤差協方差的上界不高于投影系統約束的 H∞濾波估計誤差協方差上界的證明。

注：為記法簡便,文中把基于投影系統帶線性狀態約束的H∞濾波的狀態估計稱之為投影系統約束的H∞濾波的狀態估計。把無約束的H∞濾波投影到約束的狀態平面上的估計,稱之為狀態投影的H∞濾波估計。對于矩陣 A,AT為A的轉置。對于對稱矩陣P,P＞0或者P＜0表示P是一個正定的或者半正定的矩陣。

2 帶有等式約束的線性系統

假設線性系統的動態模型為：

狀態約束條件為Dkx=0。其中,Dk是已知s×n階約束矩陣,0是 s維零向量,s為約束個數,n是狀態變量個數,且s≤n。假定Dk是行滿秩的,即Rank(Dk)=s。這個條件較容易滿足,因為若Dk不滿足滿秩的條件,則可通過去掉其相關行使其滿秩,去掉多余的狀態約束條件即可。并且可以正規化,即DkD=I。其中狀態變量 xk∈Rn。把矩陣Dk的左零空間記為這里代表觀測向量。均是零均值的白噪聲。并且有

3 隨機系統下含線性狀態約束的H∞濾波

首先給出不含線性狀態等式約束的H∞濾波的方程,然后給出狀態投影和投影系統約束下的H∞濾波的方程。狀態投影的 H∞濾波就是把無約束的狀態估計投影到狀態約束的平面上,而投影系統約束的H∞濾波則是通過正確的使用過程噪聲協方差矩陣來得到。繼而,通過比較投影系統約束的 H∞濾波和估計投影H∞濾波的估計誤差協方差的上界,可以看出投影系統約束的 H∞濾波的估計性能更優一些。

3.1 不含線性狀態等式約束的H∞濾波

對于線性系統(1),通過文獻[6]知,將假定對手的輸入如下其中是一個確定的增益,是一個給定的矩陣,可以稱為可調參數或者加權矩陣為一個噪聲序列。假定和是不相關的白噪聲序列,并且它們均與不相關。矩陣可由對手噪聲輸入的先驗信息來調整。+1表示在觀測{,,…,}下狀態+1的估計。狀態估計表達式為其中為狀態估計的增益,從文獻[6]中知：

3.2 狀態投影的H∞濾波

對于滿足線性等式約束的隨機系統(1),在文獻[5]中,通過把無約束的狀態估計?xk投影到約束平面上,給出了狀態投影的H∞濾波方程。文中,把它叫做狀態投影的H∞濾波,用上標(?)p來表示。狀態投影的 H∞濾波解決如下問題：

3.3 投影系統約束的H∞濾波

在這一節中,為了記號的簡單,用D來代替Dk。在文獻[7]中,由于D是行滿秩的,所以DT的列向量線性無關,因此可以定義DT的左零空間。記DT的左零空間的正交補空間為D⊥,并且滿足DT⊥DT=0和DT⊥D⊥=I。因此,存在唯一的序列zk∈R(n-s)滿足

由zk的定義及系統(1),可知

將式(5)代入式(4)中,可以得到：

其中PN(D)?D⊥DT⊥表示零空間D的正交投影。而根據文獻[8],可知如果選擇 PN(D)=P(Qu)-1=I-QuD(DTQuD)-1DT,會得到更好的結果。約束的H∞濾波在系統投影下的表達式如下：

其中Qc=P(Qu)-1QuP(Qu)-1,上式成立的條件為并且有

定理：對于式(3)中所給狀態投影的一步向前估計誤差協方差的上界,和式(7)中給出的投影系統約束的估計誤差協方差的上界,投影系統約束的估計誤差協方差的上界不大于狀態投影的估計誤差協方差的上界,即

證明：假定當前時刻兩個狀態估計相同,也就是 ?xp=?xc,于是有以及于是由從式(2)和式(3)可得

所以

又因為

所以

又(I-Vk+1)和(I-QuDT(DQuDT)-1D)的每個特征值為0或者1,而且 Qu是非奇異的,所以有 Trace(A?∑kAT.從文獻[8]中,可知

由式(10)可知,(I-Vk+1)2=I-Vk+1,故 Trace((I-Vk+1)Qu(I-Vk+1))=Trace(Qu(I-Vk+1)).

又因為(I-Vk+1)的每個特征值為0或者1,根據文獻[9],可得

由于式(12)中不等號兩旁的矩陣為正定矩陣,結合式(13)則有

4 數值模擬

考慮如下例子,對于一個用GPS導航系統定位的陸地車輛,其運動軌跡可由下面的系統模型來逼近[8]：

首先標準化觀測方程,使得觀測噪聲的協方差為單位陣,然后給出正規化的觀測yk如下：

在數值模擬中,給出如下形式的過程噪聲和觀測噪聲：

并且假定車輛沿方位角α在一條直路上行駛,于是約束方程給出如下：

圖1 H∞濾波位置估計誤差曲線對比曲線

圖2 H∞濾波速度估計誤差曲線對比曲線

圖1和圖2中的位置和速度估計誤差指的是估計誤差的均方根誤差(RMS)。從圖上可以看出投影系統約束的H∞濾波的估計性能要優于約束投影 H∞濾波的估計性能。

5 結論

比較了兩種帶有線性狀態等式約束的H∞濾波的狀態估計性能,并證明了約束投影H∞濾波誤差協方差的上界不大于投影系統約束的H∞濾波誤差協方差的上界。數值模擬驗證了文中的結論。當然關于約束狀態的H∞濾波還有問題去研究,比如投影系統約束的H∞濾波的穩定性問題等。

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