基于Hopf分岔理論的風電系統電壓穩定性研究

李季 周雪松 馬幼捷

(天津理工大學 自動化學院，天津 300384)

0 引言

近年來，風力發電在世界范圍內發展迅猛，風電并網乃是風電發展的必然選擇。然而隨著風電容量在電網中的比例迅速增加，風電對電網的影響日益突出［1-2］。大規模的風電接入可能會影響電能質量、線路傳輸功率越限、短路容量增加及電力系統穩定性發生變化等問題。國內外風電場運行經驗表明，大規模風電入網產生的聯網問題主要是電壓穩定問題，電壓失穩是含風電的電力系統(下文簡稱風電系統)失穩的主要形式［2］，這給大規模風電利用帶來了巨大的挑戰。

正是由于分岔理論在常規電力系統電壓穩［1］定性研究中的豐碩成果［3-5］，結合風電系統的非線性動態特征，分岔理論被引入來研究風電系統電壓穩定性［6-7］。而目前風電系統分岔研究大都是基于鞍結分岔研究［8-9］，很少涉及風電系統的Hopf分岔的研究。Hopf分岔是電力系統極限運行點的標志之一，對常規電力系統研究表明:發生Hopf分岔的系統都運行在接近“鼻形曲線鼻尖”部分，此處運行點的吸引區域非常小，系統抗擾性差。因此應用Hopf分岔理論研究風電系統的電壓穩定性也就很有意義。

本文應用Hopf分岔理論，研究了異步發電機等值的風電場的有功功率和無功功率對風電系統電壓穩定性的影響;并對靜止無功補償器(static var compensation，SVC)對Hopf分岔的控制作用進行了分析，以期得到一些對風電系統穩定運行有參考價值的結論。

1 HOPF 分岔理論簡介［10］

非線性動力系統的參數變化不能使系統從一種流連續地過渡為另一種流的現象稱為分岔，分岔理論主要包括靜態和動態兩個方面。靜態分岔指的是平衡點的數目和穩定性隨參數變化而發生的變化，如鞍結分岔。動態分岔則是對系統結構穩定性的否定，對于結構不穩定的系統，一個小擾動就可能破壞軌線的拓撲等價，Hopf分岔是最基本也最具有代表性的動態分岔。

對于非線性動力系統，其運動方程一般為

式中μ∈R是分岔參數，如果在平衡點(x0，μ0)處的系統的Jacobian矩陣有一對純虛非零特征值，這對虛根橫截的穿越虛軸時，在臨界點附近會出現周期解，即為Hopf分岔，Hopf分岔也可以理解為形成極限環或周期解的分岔。

Hopf分岔理論研究的是自治系統平衡點解分岔產生穩態周期解的問題，基本思想是基于經典穩定性理論，從方程的攝動方程零解穩定性來判別平衡點解的穩定性。Hopf證明了系統在(x0，μ0)處將從平衡點解分岔出一個非常量的周期解，即對應系統的極限環，系統發生振蕩或振蕩失穩，在電力系統中就發現了這種現象。因此追蹤系統平衡解流形、確定分岔點位置，對于了解電力系統穩定性及其變化規律有重要的意義。

2 平衡解流形的追蹤［11］

對于動力學系統

式中x為狀態變量，λ為控制參數。

若系統式(2)在平衡點(x，λ)處滿足霍普夫分岔，則在該系統的雅可比矩陣A≡?f/?x在該點處分別對應一對共軛純虛根，記為jω。對霍普夫分岔，有

上述方程為復數形式，即向量q和q0。該方程的未知數為(x，λ，q，ω)，可以分析方程個數和未知數的個數是相等的。

式(2)的平衡點滿足方程f(x，λ)=0，可以認為，該方程在n+1維空間y≡(x，λ)∈Rn×R1定義了一個1維的廣義曲線(或稱流形)M，稱之為平衡解流形或平衡解曲線，而延拓法可用來追蹤該流形，它是用一系列滿足平衡點要求的離散點(y1，y2，…)來逼近曲線M的。在追蹤該流形的過程中，通過檢測局部分岔條件來判斷是否在該流形上存在分岔點。一般延拓法只能追蹤計算得到一維流形，因而也只能計算得到單個參數的分岔值。

為了追蹤風電系統二維參數分岔邊界。現假設已算得式(2)的單個參數分岔點，由此可探索將延拓法應用于求解直接法所處理的數學方程。其意義等價于利用延拓法來追蹤局部分岔所滿足的流形，而非上述意義下平衡解流形，此時可計算得到式(2)中二維參數的局部分岔邊界。本文利用這種思想來求取風電系統的二維分岔邊界。

3 風電系統Hopf分岔算例分析

3.1 風電系統模型

本文采用的風電系統模型，如圖1所示。該模型由一個等值風電場和兩個發電機組成，其中發電機G1母線被處理成松弛母線，等值發電機G2采用二階模型，風電場G3采用動態Walve負荷模擬。

3.1.1等值發電機模型

圖1 風電系統模型

其中M、Dm、Tm和Em分別為發電機的慣量、阻尼系數、輸入轉矩和發電機機端電壓;δm、ω、θ、u分別為發電機功角、發電機角頻率、節點電壓相角、節點電壓;ym和 am為網絡參數。

3.1.2風電場模型

異步發電機是目前風力發電中應用較廣泛的機型，由于異步發電機運行時輸出的有功功率的大小取決于風速和風向，和系統負荷變化無關;同時異步發電機組運行時要從電網吸收無功功率，勢必會引起電網電壓的降低，尤其會引起風電場與電網聯絡線的電壓損耗增加。

為了研究風電場的異步發電機組發出的有功功率和吸收的無功功率對風電系統電壓穩定性的影響，所以可以把風電場等值為電力系統的特殊動態“負荷”，動態負荷模型［12］如下

其中P為風電場發出的有功功率;Q為風電場吸收的無功功率，P1+jQ1為感應電動機并聯的靜態恒功率負荷，對于風電場P1就對應風速轉化的有功功率，其余參數含義見文獻［13］。

3.1.3風電系統模型

將系統各元件模型和網絡方程聯立就可以得到描述系統的綜合模型，一般形式為，其中 f定義了發電機和負荷的動態行為。系統的狀態變量x=［δm、ω、θ、u］，變量的含義，式中參數的含義及推導可參閱文獻［13］。

3.2 仿真分析

電力系統Hopf分岔是一種很重要的動態分岔，是其余動態分岔的基礎。電力系統中的Hopf分岔與參數有密切的關系，不同的參數對Hopf分岔的影響不同。本文針對有功功率和無功功率對Hopf分岔的影響進行研究。

3.2.1有功功率和無功功率對Hopf分岔的影響

在電壓穩定分析中，當系統的無功功率Q1發生變化，使系統電壓處于穩定或不穩定平衡點狀態時，對應的系統電壓穩定或不穩定;圖2給出了風電場端電壓u隨無功功率Q1變化而發生分岔的情況，系統平衡解流形的下半個分支是不滿足運行要求的的，所以把分析的重點就放在平衡解流形的上半支上。

從圖2可以看出，從初始狀態Q1=0，u=1 開始，隨著風電場吸收的無功功率Q1的增加，風電場電壓u持續下降，在系統達到運行極限點 LP(limit point)之前，即風電系統 Q1達到1.499884時，系統發生Hopf分岔，即圖2中的H1，此時系統電壓(u=0.908584)滿足運行要求時，由Hopf分岔理論可知，當系統發生Hopf分岔時，對應的系統開始出現振蕩，所以風電場消耗的無功功率會對系統的動態電壓穩定性產生影響。

風電場運行時，有功功率和無功功率都在變化，所以對風電場進行兩參數的Hopf分岔研究更有意義，圖3給出了當P1和Q1同時變化時系統的二維電壓Hopf分岔邊界，隨著有功功率P1的增加，系統的電壓u升高，隨著無功功率Q1的增加，系統電壓u降低，相應的，隨著風電場無功功率的增加，造成了風電場在發出較少的有功功率時，就可能發生Hopf分岔，即為了避免系統發生Hopf分岔，當無功功率消耗較大時，必須限制風電場的有功功率的輸出，所以Hopf分岔的消失是以犧牲風電場的有功出力為代價的。

3.2.2靜止無功補償器SVC對Hopf分岔的影響

圖2 Q1對風電系統Hopf分岔的影響

圖3 P1和Q1對風電系統Hopf分岔邊界的影響

Hopf分岔的出現有可能導致電力系統的電壓崩潰，因此控制系統中的分岔是避免電壓崩潰的一種途徑。通過前面分析P1、Q1，y0對風電系統電壓穩定性影響分析，可知系統發生Hopf分岔和風電場吸收的無功功率有密切關系，而靜止無功補償器SVC作為動態無功補償裝置，是實現分岔控制的有利工具。

圖4 加裝SVC的風電系統模型

本文采用在上述風電系統的風電場端安裝SVC，如圖 4所示，數學模型如式 5所示。

式中，uref為參考電壓，u為補償點電壓，Kr和 Tf為控制器放大倍數和時間常數，bSVC為等值電納，發出無功功率Q=bSVCu2。

本文以Q1對風電系統 Hopf分岔點的影響為例，說明風電場在加裝SVC之后，Q1的變化對系統分岔點和電壓穩定性的影響。圖5給出了Kr=1.5和Tf=0.02時的風電系統分岔參數Q1對加裝SVC后的風電系統Hopf分岔點的影響，通過與圖2比較可知，加裝SVC后的風電系統，當 Q1增加時，系統的電壓提高了，同時系統發生Hopf分岔時的的無功功率(Q1=11.531989)大大提高了，且Hopf分岔點H1點非常接近于系統的極限運行點LP，如圖6所示，仿真表明SVC為風電場提供的無功功率，延遲了Hopf分岔的發生，增加了風電系統的穩定域。

4 結束語

風電系統隨著無功功率消耗的增加，會降低風電場的電壓水平，同時相應要限制風電場的有功出力，以避免Hopf分岔對風電系統電壓穩定性的影響。SVC作為動態無功補償設備，可以延遲系統的Hopf分岔點，增加負荷極限，提高了風電系統系統的電壓穩定性。

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