n維非線性系統穩定性若干定理的推廣

付 華，秦宏立，周居政

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

n維非線性系統穩定性若干定理的推廣

付 華，秦宏立，周居政

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

利用Gronwall-Bellman不等式，對Lyapunov函數的限制條件作了適當的改進，得到了n維非線性系統平凡解穩定性的若干定理，從而推廣了相應文獻的已有結果。

Lyapunov函數；穩定性；漸進穩定性；一致穩定性

1 預備知識

定義4［3］設非線性系統

引理［3］（Gronwall-Bellman不等式） 設t≥t0，u（t）≥0，f（t）≥0；u（t），f（t）∈C［I，R+］，R+=［0，+∞］，且t≥t0滿足

2 主要結果

考慮非線性系統：

其中g（t），h（t）非負可積且在［τ，+∞）上積分收斂，則方程（1）的零解穩定。

（b）當t≥T時，由定理條件2）得

從T到t積分上式得

由引理1知

因為

又因為ψ∈k，故

其中g（t），h（t）非負可積且在［τ，+∞）上積分收斂，則方程（1）的零解漸進穩定。

證明 從定理1可知，方程（1）的零解穩定，以下我們只需證明系統（1）平凡解是吸引的。

由題設條件1）知，存在ψ∈k使

由題設條件2），類似定理1的證明可得

（其中m為某正數）。

由此可得

這樣就證明了方程的零解是吸引的，從而也就證明了系統（1）的零解漸進穩定。

其中g（t），h（t）非負、可積且在［τ，+∞）上積分收斂。

則系統（1）的零解一致穩定。

證明 對任意ε＞0，由題設條件1）知，存在函數ψ1，ψ2∈k使

對t≥T，由題設條件2）及引理1得

（b）當t0≥T時，同（a）的證明得

所以得

故由題設條件1）與2）知系統（1）的平凡解一致穩定。

［1］呂玉華.Lyapunov穩定性理論若干定理的推廣［J］.工程數學學報，2003，20（1）：127-130.

［2］高蓮，包曙紅.關于Lyapunov穩定性若干定理的推廣［J］.內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2006，35（4）：407-412.

［3］廖曉昕.穩定性的數學理論及應用［M］.武漢：華中師范大學出版社，1988.

［4］徐潤.關于李亞普諾夫穩定性若干定理的推廣［J］.沈陽師范大學學報，2003，21（2）：87-90.

［5］高蓮.關于Lyapunov穩定性理論若干定理的推廣［D］.碩士學位論文，2005.

［6］徐道義.關于穩定性的幾個基本定理［J］.數學季刊，1992，7（2）：61-67.

［7］胡芬.關于零解穩定和一致穩定的幾個判別定理［J］.通化師范學院學報，2008，29（4）：15-17.

［8］王瑞蓮.關于微分方程穩定性理論若干定理的推廣［J］.內蒙古財經學院學報（綜合版），2010，8（5）：143-145.

［責任編輯 賀小林］

The Generalization of Theorem s about Stability of n-dimensiond Norlinear System s

FU Hua，QIN Hong-li，ZHOU Ju-zheng
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000 Shanxi）

By using the Gronwall-Bellman inequality the limiting conditions of the lyapunov function were improved.Some theorems about the stability for the trivial solution of the n-dimensional and nonlinear systems were obtained，and several decision theorems of the related literatureswere extended.

Lyapunuov functions；stability；gradual stability；uniform stability

O175.13

：A

：1004-602X（2011）04-0006-03

20110917

付 華（1985—），男，陜西靖邊人，延安大學在讀碩士研究生。