弱積分C-半群拓撲

董曉麗，趙華新

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

弱積分C-半群拓撲

董曉麗，趙華新

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

利用積分C-半群及連續線性泛函的概念，引入了一個新的局部凸向量拓撲，并對其基本性質及積分C-半群在新的局部凸線性拓撲意義下的性質進行了初步研究。

積分C-半群；局部凸向量拓撲；生成元；弱積分C-半群拓撲

1 預備知識

定義1.1設（X，‖·‖）是一個Banach空間，（X，‖·‖）′為X的共軛空間，B（X）為X到X的有界線性算子的全體構成的算子空間，n∈N+，C∈B（X），B（X）中的一個強連續算子族｛T（t）：t≥0｝稱為（X，‖·‖）上的一個n次積分C-半群，即滿足下列條件：

又稱｛T（t）：t≥0｝是非退化的，如果

定義1．2n次積分C-半群｛T（t）：t≥0｝的無窮小生成元A是如下定義的算子：

定義1．3A的C-預解式定義如下：

PC（A）=｛λ：λ-A為單射且R（C）?R（λ-A）｝。對?λ＞ω，及x′∈（X，‖·‖）′，令

則利用積分C-半群的定義容易驗證，對?x，y∈X及λ＞ω有：

即Pλ，x′（x）是X上的一個半范數，從而由半范數族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝可以確定一局部凸向量拓撲，記為τ*。

2 主要結果

定義2．1由上述半范數族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝所確定的X上的局部凸向量拓撲，稱為X上的相應于x′的弱積分C-半群拓撲，相應的局部凸線性拓撲空間記為（X，τ*）。

引理2．1［5］設E是線性空間，A，B是E上的兩族半范數，則由A確定的拓撲弱于由確B定的拓撲的充要條件是：對每個q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正數c1，c2，…，cm，使得對一切x∈E成立：

q（x）≤c1p1（x）+c2p2（x）+…+cmpm（x）。

定理2．1X上的弱積分C-半群拓撲弱于積分C-半群拓撲，也弱于由范數所確定的局部凸向量拓撲。

證明因為對?λ＞ω及x′∈X′，x∈X有

Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，由此及引理2.1與積分C-半群拓撲的概念，易見命題成立。

定義2．2在一個局部凸線性拓撲空間X中，若對任意Cauchy序列｛xn｝，｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）都收斂，則稱X關于相應于x′的弱積分C-半群是完備的。

定理2．2局部凸線性拓撲空間（X，τ*）是弱積分C-半群完備的。

證明設｛xn｝是（X，τ*）的任意Cauchy序列，則對于任意連續半范數q（x）及ε＞0，集合U=

｛x：q（x）＜ε｝構成0的一個鄰域，從而必存在自然數N，使得當n，m＞N時，有

（xn-xm）∈U，即q（xn-xm）＜ε。

特別地，對任意Pλ，x′（x）∈S有

Pλ，x′（xn-xm）=‖x′R（λ，A）C（xn-xm）‖

=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）（xn-xm）dt‖

=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）xndt-x′λn∫0+∞e-λtT（t）xmdt‖＜ε。

可知｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）為Banach空間（X，‖·‖）中的Cauchy序列，從而｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）必收斂，由定義2.2得證。

定理2．3當｛T（t）：t≥0｝是非退化的積分C-半群且x′≠0時，弱積分C-半群拓撲τ*是分離的。

證明由于｛T（t）：t≥0｝是非退化的，即如果對?t有T（t）x=0，必有x=0。所以對?x≠0有sαu＞pωPα，x′（x）=sαu＞pω‖x′R（α，A）Cx‖＞0。從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈（ω，+∞），使得

Pα，x′（x-y）=3d＞0，令V=｛x：Pα，x′（x）≤1｝，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即半群拓撲τ*是分離的。

由于Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，所以拓撲τ*弱于由范數所確定的局部凸向量拓撲，從而當｛T（t）：t≥0｝是（X，‖·‖）上的積分C-半群時，它也是局部凸線性拓撲空間（X，τ*）上的積分C-半群。

關于相應由不同的x′∈X′的弱積分C-半群拓撲之間的關系，有如下結果：

定理2．4設x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數，即x′是x1′，x2′的任意線性組合，則由半范數族｛Pλ，x′（x）｝所確定的局部凸向量拓撲弱于由半范數族｛Pλ，x1′（x），Pλ，x2′（x）｝所確定的局部凸向量拓撲。

證明因為對?x∈X，有

再利用引理2.1，可證得本定理結論。

［1］趙華新.C0-半群拓撲（I）［J］.純粹數學與應用數學，2006（3）：420-423.

［2］趙華新.C-半群拓撲［J］.河南科學，2006（2）：157-158.

［3］王曉夢，趙華新，常勝偉.積分C-半群拓撲［J］.延安大學學報（自然科學版），2008，27（2）：5-6.

［4］常勝偉，趙華新.弱C-半群拓撲［J］.江西科學，2007，25（6）：669-671.

［5］夏道行，楊亞立.線性拓撲空間引論［M］.上海：上海科學技術出版社，1986.

［6］劉曼，郭玲利.n次積分C-半群的表示定理［J］.徐州工程學院學報，2005（5）：4-8.

［責任編輯 賀小林］

Weakly Integrated C-Sem igroup Topological

DONG Xiao-li，ZHAO Hua-xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an 716000，China）

By using the integrated C-semigroup of bounded linear operator and continuous linear functional，a new locally convex vector topological is introduced，some propositions of it are given.

integrated C-semigroup；locally convex vector topological；generator；weakly integrated C-semigroup topological

O177.2

A

1004-602X（2011）04-0004-02

20110920

董曉麗（1986—），女，陜西銅川人，延安大學在讀碩士研究生。