Banach空間上強混合的廣義C0-半群

高 峰，趙華新

（延安大學數學與計算機學院，陜西延安 716000）

Banach空間上強混合的廣義C0-半群

高 峰，趙華新

（延安大學數學與計算機學院，陜西延安 716000）

在傳統強混合C0-半群的基礎上，給出了廣義強混合C0-半群的定義，并且利用廣義C0-半群的生成元的一些性質，證明了每個可分無限維復Banach空間上都存在一個強混合的廣義C0-半群。

強混合；廣義C0-半群；Banach空間

文獻［1］在C0-半群的基礎上，將其定義中的T（t），t≥0是強連續算子族減弱為CT（t）是強連續算子族，其中C∈B（X），引入了廣義C0-半群的概念。文［2］證明了每個可分無限維復Banach空間上都存在一個強混合的C0-半群。本文在文獻［1］和［2］的基礎上給出了廣義強混合C0-半群的概念并且證明了每個可分無限維復Banach空間上都存在一個強混合的廣義C0-半群。

1 預備知識

定義1.1［1］｛T（t），t≥0｝是Banach空間X中的單參數有界線性算子族，C∈B（X），其中B（X）為X到X的有界線性算子族全體，若滿足以下條件：

（1）T（0）=I，I是X上的單位算子；

（2）T（t+s）=T（t）T（s），t≥0，s≥0；

（3）CT（t）是強連續算子，t≥0。

則稱｛T（t），t≥0｝是X上的廣義C0-半群。

定義1.2［1］線性算子A是廣義C0-半群｛T（t），t≥0｝的無窮小生成元，是指：

定義1.3［2］稱一個C0-半群｛T（t），t≥0｝是強混合的，如果對X的任意兩個非空開集U，V，存在某個L∈R+，使得對任意t≥L都有T（t）U∩V≠Φ。

（1）?x∈X，Lλx∈D（A），（λC-A）Lλx=C2x；

（2）若x∈D（A），Lλ（λC-A）x=C2x。

引理1.2［1］（生成定理）設X為Banach空間，C∈B（X），A為線性算子，且滿足：

（1）A：D（A）?X→X閉稠定；

（2）x∈D（A），ACx=CAx；

則A是廣義C0-半群T（t）的生成元，（λCA）-1C2x=C2（λC-A）-1x=Lλx，x∈X。

引理1.3［3］設X是一個可分無限維Banach空間，則存在序列（ep）p∈N?X和（φq）q∈N?X*，滿足如下的條件：

2 主要結果

下面是本文中的主要定理。

定理2.1設X是一個可分無限維的Banach空間，則由A生成的廣義C0-半群｛T（t）：t≥0｝在X上是強混合的。

由引理1.2知，由A生成的廣義C0-半群

從某個t開始，定義向量如下：

設ui（t）=zi，i=0，1，…，L-1，這里

則系數v2L+1（t），…，v3L（t）是下面線性方程組的解：

由這個線性方程組可知

注意到v2L（t），v2L+1（t），…，v3L-1（t）的系數矩陣可以寫作

這里

由Aλ?λA（λC-A）-1及引理1.2的證明過程可知ω可逆。所以，

容易看出存在一個常數C1，使得

的所有系數是有界的，并且其界為C1t-L-i-1。由引理1.2的證明可知，?一個常數C2，使得

因此，對?ε＞0，?t2＞0，使得當t≥t0時有‖T（t）v（t）-z‖＜ε。定理得證。

［1］王宗毅.廣義C0-半群的生成元和擾動［J］.惠州學院學報，2002（3）：11-15.

［2］姚玉武，劉恒，胡秀林.Banach空間上強混合的C0-半群［J］.數學年刊A輯（中文版），2010，（02）.

［3］Ovsepian R I，Pelczynski A.On the existence of a fundamental total and bounded biorthogonal sequence in every separable Banach space，and related constructions of uniformly bouneded orthonormal systems in L2［J］.Studia Math，1975，54：49-159.

［4］姚玉武，史恩惠，周友成.Banach空間上強混合算子［J］.數學年刊，2006，27A（2）：189-196.

［5］Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations［M］.Springer-Verlag，New York Berlin Heidelberg Tokyo.

［6］Zaidman S.Topics in abstract differential［J］.London：Longman Scientific anc technical.1994.

［責任編輯 賀小林］

The Strongly M ixing Generalized C0-Sem igroup on Banach Spaces

GAO FENG，ZHAO Hua-xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an university，Yan an 716000，China）

On the basis of traditional stronglymixing C0-semigroup，the paper gives the definition of the strongly mixing generalized C0-semigroup，and uses its basic properties，it is shown that every separable infinite dimensional complex Banach space admits a stronglymixing generalized C0-semigroup.

strongmixing；generalized C0-semigroup；Banach space

O177.2

A

1004-602X（2011）04-0001-03

2011 09 16

高 峰（1984—），女，陜西榆林人，延安大學在讀碩士研究生。