基于正多面體法的單相異步電機優化設計

馬吉祥 孫 華

（1.上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200129；2.江蘇省吳江市供電公司，江蘇 吳江 215200）

單相異步電動機又稱單相感應電動機，具有結構簡單，價格低廉，運行可靠，維護使用方便等一系列優點，被廣泛運用于輕工設備，日用機電器具等諸多方面，成為最貼近人們生活的電機品種。隨著電力電子和控制技術的不斷發展，單相異步電機的控制性能也得到了很大的提升，因此對其進行優化設計，降低其成本，提高其性能是必然的趨勢。

傳統電機優化設計[1-2]采用的優化算法是一種基于設計變量可微分性的數值方法，主要有直接搜索法和隨機搜索法兩種尋優模式，其中經典尋優策略有Powell法、單純形法、懲罰函數法（SUMT）[3]、可變容差法和梯度法等等。20世紀90年代以來，模擬退火（SA）[4-8]、遺傳算法（GA）[9-14]、禁忌搜索（TS）[15]和模擬進化（SE）等現代啟發式優化算法得到迅速發展。其中懲罰函數法（SUMT）的懲罰因子常常難以選取；懲罰因子過大，函數會因對分配的權重過小而忽略對目標函數的影響，將給計算增加困難，懲罰因子過小，懲罰項得不到足夠的懲罰，滿足約束條件的精度就會降低。模擬退火算法（SA）的溫度控制難以掌握，計算量很大，需要太長的計算時間，直接影響了此算法的尋優能力。遺傳算法（GA）需要進行大量的目標特性的分析，如果目標分析方法比較耗時，計算量很大，此外在遺傳操作中會產生大量的不可行解，對參數的控制要求也比較嚴格，且易發生早熟現象。

正多面體法是一種約束優化的有效方法，收斂迅速，在搜索過程中只需要計算目標函數值，程序簡單，控制量少。算法包含平移、翻轉、收縮3個主要動作，利用搜索點的局部測試信息來尋找目標函數的下降方向，并向這個方向平移，越限后翻轉或者收縮，然后重復這樣的動作直至到達最優點。正多面體法適合于單相異步機這樣低成本，結構簡單的電機設計，是本文研究的算法。

1 正多面體算法的基本原理

1）選擇一個可行點（內點）X(0)作為初始點，在n維歐氏空間中生成一個以 X(0)為形心，邊長為T0的初始正多面體。此正多面體具有n+1個頂點。

2）在比較形心點 X(0)和正多面體n+1個頂點的目標函數數值以及約束滿足的情況下，使正多面體在n維空間執行平移，翻轉和收縮等3種基本搜索策略，并形成一個新的正多面體。在每次變動中必須滿足以下條件：

（1）在搜索過程中，始終保持形心在可行域D內。

（2）在搜索過程中，正多面體不發生畸變，始終保持為正多面體的形狀，只是位置或大小有所變化。

（3）每次搜索變動后，正多面體形心的目標函數值必須小于變動前的形心函數值。

反復運用上述3種基本搜索策略，使新的正多面體的形心 X(0)逐漸逼近最優點X*。

3）以2維的正三角形為例加以說明。

（1）平移：每在一個新的正多面體形成后，經過形心函數值和各頂點函數值比較后，如果有一個函數值最小的可行頂點 X(L)，其函數值 FL比形心X(0)的函數值F0還要小時，正多面體就沿 X(0)X(L)連線方向平移搜索（如圖1所示）。

圖1 平移策略

平移步長H就是形心 X(0)與那個好頂點 X(L)的距離，即

平移點為

函數值為 F ( Z )= F( X(Z))，一旦平移成功，則按步長H繼續平移，直至平移失敗，退回最后一個成功點 X(Z)，且把 X(Z)作為新正多面體的形心 X(0)。

如果可行頂點 X(L)的函數值 FL并不比形心函數值F0小時，則無法平移，而進入翻轉移動。若各頂點中無一是可行點，則進入收縮。

（2）翻轉：當正多面體所有可行頂點的函數值均比形心值F0大時，就準備翻轉。所謂翻轉就是，除某一頂點 X(U)外，正多面體的其他幾個定點不動，將 X(U)用其他n個頂點所決定的超平面對稱點X(W)來代替，形成一個新的正多面體（如圖2所示）。

圖2 翻轉策略

翻轉后的新正多面體的形心 X(V)稱為原正多面體的旁心。顯然，一個正多面體有n+1個旁心，可以有n+1種不同的翻轉。

為實現最理想的翻轉，從n+1個旁心中找出函數值最小的可行旁心，記 X(V)，其函數值記為FL。如果滿足

即旁心的函數值 FL小于原正多面體形心得函數值F0，則實施這種翻轉，并令 X(0)= X(V)；否則，說明無法進行翻轉，只能實現收縮。

（3）收縮：當正多面體的各頂點均為非可行點或無法進行翻轉時，就實施收縮。將正多面體的各個頂點均向形心 X(0)收縮相同的距離，本文中收縮1/2，使形成的新正多面體的邊長T也相應收縮1/2，即

如圖3所示。

2 正多面體法的具體實現

（1）給定維數n，初始可行形心 X(0)，初始邊長 T0和精度ε。 T0要取得適當，如果取得過大或者過小都會增加搜索時間。

圖3 收縮策略

（2）形成初始正多面體：設形心 X(0)的坐標為函數值為 F0= F ( X(0))則n+1個頂點坐標可用兩維數組 X Y( i, j)表示如下，行號i為頂點號，列號j為該頂點的各維坐標分量。

其中

（3）判別正多面體的各個頂點是否均為外點。

如果所有頂點都為非可行點，則轉式（9）進行收縮；否則轉式（4）。

（4）找出可行域中的最好頂點 X(L)

若滿足 F L＜F0，則轉式（5）進行平移；否則轉式（6）找旁心。

（5）平移搜索：平移的方向是 X(0)→X(L)，平移的步長為 H = X(L)- X(0)。對 Z=1，2，…，n，依次考察 X(Z)= X(0)+ ( Z + 1 )H ， F ( Z )= F ( X(Z))。如果X(Z)是內點，且 F ( Z)＜F0，即平移成功，繼續平移，且令 Z = Z+1， F0= F ( Z)；否則，退回最后一個成功點作為形心，即

平移后形成的新正多面體的各頂點坐標為

且轉式（3）。（6）計算各旁心，并判別是否均為外點？各旁心的坐標為

各旁心的約束函數最大值

若各旁心均為非可行點，則轉式（9）進行收縮；否則找出最好的可行旁心 X(V)，其函數值記為FL。

（7）翻轉判別：如果滿足 F L＜F0，則轉式（8）實施正多面體的翻轉，否則式（9）進行收縮。

（8）翻轉計算：設翻轉前的形心為 X(0)，頂點為 X(U)，翻轉后的對應頂點為 X(W)，翻轉后的新形心為 X(V)，則

且轉式（3）

（9）收縮：當形成的正多面體的各頂點均為非可行點或者無法進行翻轉移動時，便實施收縮策略。將正多面體各頂點向形心 X(0)移動一半的距離，形成一個新的小正多面體。各新頂點的坐標為

(i = 1 ,2,… ,n + 1 , j = 1,2,… ,n )邊長也減為一半，即

（10）終止迭代判別：如果正多面體的邊長滿足

此時，則輸出最優點

否則轉式（3）進行新的迭代。

3 軟件開發和算例分析

3.1 軟件的主要功能

（1）根據電機結構和尺寸計算其電磁特性、輸出轉矩、效率、輸出功率等力能指標以及溫升、損耗和有效材料成本。

（2）采用基于正多面體算法，以成本作為目標函數對電機的結構參數進行優化，并進行優化前后電機性能和成本的比較。

3.2 軟件的主題結構

根據軟件的主要功能，可分為兩個模塊，即電機電磁特性、性能、成本等計算模塊和優化算法模塊。模塊圖如圖4所示。

圖4 軟件模塊圖

3.3 算例分析

我們以有效材料成本為目標函數，采用正多面體優化算法對單相異步電機進行了優化設計。這里我們采用的電機仍為單相4極異步電機，額定轉速1500r/min，額定功率14W，電壓200V。具體結果如表1所示。

表1 參數對比分析

優化后，主繞組槽滿率下降了29.02%，副繞組槽滿率下降了27.38%，成本降低了6.73%。

4 結論

（1）正多面體算法程序簡單，控制量少，在搜索過程中只需要計算目標函數值，避免了因進行大量的目標特性分析、方法比較而造成的速度慢，計算量大，運算時間長等弊端。

（2）正多面體算法具有收斂迅速的優點，操作過程中不會產生大量的不可行解。

（3）正多面體算法適用于低成本，結構簡單的電機設計，可有效地降低成本，具有經濟實用性。

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