重力壩壩基失穩模糊-隨機風險率計算方法研究

彭慧慧，王 剛，馬震岳

（大連理工大學建設工程學部，遼寧大連 116024）

0 前 言

目前在重力壩抗滑穩定性分析中，一般通過剛體平衡法計算安全系數來評價，此方法原理簡單，實用性強，能夠直接提供壩體穩定性的定量結果，所以能被廣泛應用。但在實際工程中，用安全系數來評價壩基的穩定性往往具有局限性，因為規范中的安全系數主要是根據工程經驗確定的，并沒有考慮到影響安全系數的各個參數變量的不確定性。大量的試驗和工程實踐證明，影響大壩穩定狀態的因素中，有許多具有明顯的隨機性和模糊性，如壩基巖石與壩體材料的強度參數、外界荷載、邊界條件、地下水、巖土體內的各種不連續面等，用確定性方法進行計算評價往往會帶來很大的誤差，甚至結果失真[1]，因此，有必要將基于隨機性與模糊性的風險分析應用于大壩穩定性評價中，概率風險分析也已經成為大壩安全領域一個必不可少的評價方法。本文綜合考慮影響大壩穩定各因素的隨機性、模糊性以及穩定失效準則的模糊性，建立大壩失穩的模糊風險分析模型，定量分析大壩的穩定性，并根據允許風險值來評估大壩失穩的概率。

1 重力壩壩基穩定允許風險標準

大壩安全風險分析的目的之一就是通過計算大壩的風險概率來評價壩的安全性，以便決定是否需要采取提高安全性的措施，進而為風險決策和風險管理奠定基礎。風險分析需要一個統一的風險標準來衡量計算結果，然而，風險標準取值問題是政治、經濟、環境與大壩安全之間的權衡問題，因此，本文僅就一般情況提出壩體失穩風險標準，對于一旦發生壩體失穩可能導致嚴重后果的，須視具體情況，提高風險限值。

就風險標準的確定方法而言，目前國外較為盛行的是“容許風險分析方法”[2]。參考國外不同壩型的失事統計概率，借鑒其它國家的風險標準，再結合我國的實際情況，我國大壩風險分析參考的風險標準為[3]：大、中型水庫大壩，小于1.1×10-4/年，超過1.0×10-3/年是不可容忍的；對于小型水庫，小于2.8×10-4/年的風險是可以接受的，超過2.8×10-3/年的風險是不可容忍的。而本文重點研究壩基失穩的風險。據有關統計資料，因壩體失穩造成大壩失事的數量約占大壩失事總數的不到0.1個數量級，因此，對于大壩失穩的風險標準可取為：大、中型水庫大壩，小于1.1×10-5/年，超過1.0×10-4/年是不可容忍的；對于小型水庫，小于2.8×10-5/年的風險是可以接受的，超過2.8×10-4/年的風險是不可容忍的。

2 模糊-隨機風險率計算方法

2.1 隨機參數的敏感性與相關性分析

計算風險率的方法有很多，其中JC法應用較為廣泛。此方法對統計獨立的變量和具有線性極限狀態方程的情況是很精確的，我國現行規范也規定采用此方法計算結構可靠度，因此也采用此方法計算大壩失穩風險率。影響大壩失穩的因素很多，對其模糊不確定性的研究也是一項極其復雜的工作，某些模糊不確定性的研究還極其困難。為能簡化研究又不失去其價值，可先利用JC法對大壩抗滑穩定分析中的各影響因素進行敏感性分析，得出主要敏感因子和非敏感因子，忽略非敏感因子，再對主要的敏感因子進行模糊處理，從而有效簡化模糊風險率的研究和分析。

JC法的原理是通過式（1）、（2）迭代求得可靠度指標：

根據有關文獻及對實測資料的統計分析結果表明[5-7]，變量f'和c'通常存在負相關性，而且線性相關系數多在-0.6～-0.9之間。可利用正交變換法先將相關正態隨機變量變為獨立正態隨機變量，再用JC法計算失效概率。

設基本隨機變量{X}=(x1,x2,…,xn)T為相關的正態分布隨機變量，先通過{X}的協方差矩陣[Cx]得到能將{X}正交化的矩陣{A}，從而將相關的變量{X}變成一組不相關的變量{Y}，然后將不相關的正態變量{Y}標準化或正則化，得到另外一組正則化的不相關變量{Z}=(z1,z2,…,zn)T，最后在Z空間中求出可靠指標和失效概率[8]。

2.2 參數與失效準則模糊性的考慮

大壩的穩定狀態受眾多因素或變量的影響，如水位、巖土體的物理力學性質指標、大壩的結構尺寸、地震的動力效應等，其中水位和巖土體的力學參數對失穩影響最大。在計算失穩模糊風險率時，對于水位僅考慮其隨機性，而對巖土體物理力學指標，因摩擦系數和凝聚力的變異性影響程度最大，也最為重要，所以將其隨機性和模糊性均考慮到模糊風險的計算中。

對于失效準則，傳統的風險理論以Z＝0作為度量大壩是否失效的界限，在零點兩側，結構的失效和安全狀態是以突變形式轉化的，但大壩從安全到破壞很難用明確的界限來劃分，在可靠與失效之間存在著一個中間過渡狀態，是一個模糊范圍。可將大壩失穩視為一模糊事件，用隸屬函數來表示發生失穩的程度，然后根據模糊概率的定義，建立大壩失穩的概率計算數學模型，得出失效準則模糊時的大壩失穩模糊風險率。

2.3 模糊風險模型的建立與求解

關于模糊風險模型的建立，文獻[9]中已做了較詳細的分析，本文在此基礎上著重分析模型的求解。

2.3.1 參數的模糊處理

由于事先無法確定設計參數的模糊隸屬函數，假設基本隨機變量均值的取值范圍是（a，b），一般可以用圖1中的曲線來刻畫變量的模糊狀態。

引入α水平截集，α∈[0,1]，可得到設計參數均值的模糊區間ω為：

式中，c的取值反映隨機變量均值的模糊邊界范圍，根據工程實際一般取c=10%×，由此又可將模糊區間簡化為：

式中，α為模糊狀態的約束變量，反映設計參數取值的模糊程度：α越小，模糊性越大；α越大，模糊性越小；當α=1時，模糊區間則為一點，即未考慮設計參數的模糊性。

圖1 設計參數模糊化處理Fig.1 Fuzzy processing of the design parameters

2.3.2 失效準則的模糊處理

失效準則的模糊性可通過模糊隨機極限狀態方程表示為

式中的∈為一模糊數，表示大壩穩定由安全狀態到失效狀態的漸變過程。

與設計參數的模糊化處理相似，可以用圖2的三角模糊數來刻畫失效準則的模糊狀態，引入α水平截集，α∈[0，1]，可得到失效準則的模糊區間為

式中，δ為極限狀態的最大容許值，這需根據實際工程情況和管理情況而定，是一個主觀值，在實際計算時應由多位專家研究確定。而且若以式（7）作為極限狀態方程時，∈為一具體的安全儲備值，不同工程的取值會相差很大，難以在計算研究中對安全儲備值獲得較普遍的規律，因此，建立基于安全系數的極限狀態方程如下：

由概率知識可知：

所以式（9）可以代替基于安全儲備值的極限狀態方程進行模糊風險率的研究，基于安全系數法的模糊隨機極限狀態方程為

此時的∈為安全系數的一個模糊范圍，也可用α水平截集得到類似式（8）的模糊區間，而本文將根據安全系數的取值特征對∈的隸屬函數和模糊范圍進行研究探討。

圖2 三角模糊數Fig.2 Triangular fuzzy number

設失效準則的隸屬函數為μ∈（z），模糊區間為（a，b），通過分析可知：當z≤a時，結構失效，對失效概率的隸屬度為1，即μ∈（z）=1；z＞b時，結構可靠，對失效概率的隸屬度為0，即μ∈（z）=0；當a＜z≤b時，結構安全狀態模糊，z值由a增大到b的過程也是結構由失效到可靠的過程，對失效概率的隸屬度由1逐漸減小到0。

由此特點可將失效準則的隸屬函數取為偏下型模糊分布[10]，如降半梯形或降半嶺形分布，其中的待定系數根據實際工程經驗與統計確定。選取降半梯形隸屬函數對失效準則進行模糊分析研究，形式如下：

2.3.3 模糊風險率的計算

對設計參數采用α水平截集法進行模糊，而對失效準則利用降半梯形隸屬函數進行模糊，有

則模糊隨機極限狀態方程變為

模糊風險率的上下限值分別為

由此可得模糊風險為

3 工程應用

為了說明壩基失穩模糊風險分析方法的應用，根據前述理論和步驟，以某長服役期重力壩典型壩段為例進行分析（剖面圖見圖3）。壩基抗滑穩定計算中考慮抗剪斷摩擦系數f'、凝聚力c'、混凝土重度γ、上游水位hu、下游水位hd、上游淤沙高度hs和揚壓力折減系數α等7個隨機變量，水重度按常量γw=9.8 kN/m3處理。取正常蓄水位工況下整個壩段進行分析，壩寬為18 m，其統計特征見表1。

圖3 典型重力壩剖面（單位：m）Fig.3 Typical cross section of the gravity dam

表1 隨機變量統計特征Table 1:Statistical characteristics of the random variables

壩基抗滑穩定功能函數采用基于安全儲備值的功能函數，取為：

式中：U為壩底揚壓力，ΣW為壩體自重，ΣP包括上下游靜水壓力、淤沙壓力，A為壩底面積。

3.1 敏感性分析

假設各變量相互獨立，計算求得壩基抗滑穩定可靠度指標、隨機風險率及各隨機變量驗算點、敏感系數見表2，可得到各變量敏感度圖，見圖4。

圖4 各變量敏感度圖Fig.4 Sensitivities of the variables

表2 可靠指標、驗算點及敏感系數Table 2:Reliability indexes,checking points and sensitivity coefficients

由表2及圖4可看出，粘聚力c'為第一敏感因素，敏感系數為0.813 7，其次分別是抗剪斷摩擦系數f'及上游水位hu，對壩基失穩風險率也有著較大的影響，這三個參數可作為主要敏感因素，下文進行詳細分析討論；而其他隨機變量γ、hd、hs和α的敏感系數非常小，最大的還不到0.05%，可列為非敏感因素，計算時作為常量考慮即可。

3.2 參數相關性分析

f'和c'一般呈負相關性，為了研究其相關性對壩基失穩風險率的影響，考慮f'和c'的負相關性，取值由-1.0到0，不考慮其他變量的相關性，計算結果見表3。

表3 相關系數ρ對可靠度指標和失效概率的影響Table 3:Influence of correlation coefficient on reliability index and failure probability

計算結果表明：相關系數ρ對失效概率Pf值的確有影響，當ρ從-0.6增加到0時,可靠指標β值從4.070 0減小到2.892 6，減小量為1.177 4，失效概率Pf從2.3506×10-5增加到1.9103×10-3，增加了近兩個數量級，由此可知，當f'和c'呈現負相關關系時,失效概率Pf值隨相關系數ρ的絕對值的增大而減小，不考慮負相關時的計算結果偏于安全。

3.3 忽略非敏感因子后的影響分析

忽略非敏感因素的隨機性，將γ、hd、hs和α分別按定值代入，使功能函數簡化為只關于主要敏感因子f'、c'和hu的函數：

簡化后計算所得結果與簡化前的結果進行比較，見表4。

從表4中可看出，簡化后計算所得的安全指標均變化很小，不考慮f'和c'相關時得到的失效概率變化不到0.2%，而考慮相關時也相差不到6%，因此，忽略其他非敏感因素的隨機性對失穩風險率的影響不大，可以采用此功能函數進行模糊風險分析。

3.4 設計參數與失效準則分別具有模糊性時模糊風險率的計算

采用式（9）的極限狀態方程，則簡化后的功能函數為:

忽略非敏感因子后按式（6）對隨機變量f'和c'進行模糊化，取α=0.5時的截集計算失效概率，結果見表5。

表4 忽略隨機性對可靠指標的影響程度Table 4:Influence of randomness on reliability index neglected

表5 α=0.5時的模糊失效概率Table 5:The fuzzy failure probability while α=0.5

考慮失效準則的模糊時將壩基失穩準則∈作為模糊隨機事件，其隸屬函數μ∈（z）取作式（12）的降半梯形分布。為便于研究，暫取a=-0.5，b=0.5，計算模糊失效準則下的模糊隨機風險率，結果為Pf=8.6960×10-3。

3.5 失效準則和設計參數均具有模糊性時模糊風險率的計算

采用α水平截集法對設計參數進行模糊（α=0.5），失效準則的模糊分別采用兩種方法進行模糊：①本文方法，以上述隸屬函數進行模糊；②采用水平截集法，截集與模糊區間（a，b）相同。取不同模糊區間，計算結果見表6。

表6 模糊隨機風險率計算結果Table 6:Calculation results of the fuzzy random risk rate

由表6中數據可以看出，除了（-0.1,0.1），采用其他模糊區間時，本文方法所得到的風險率區間寬度都比方法②的小。模糊區間取（-0.3，0.3）時，兩種方法得到的均值基本一致，變量的模糊與失效準則的模糊對風險率的影響程度也差不多；而小于此區間時，方法①得到的均值都大于方法②，變量的模糊對風險率的影響更大；大于此區間時，方法①的均值都小于方法②，失效準則的模糊對風險率的影響更大。為了較好地體現變量和失效準則的模糊性對風險率的影響，取模糊區間為（-0.3，0.3）時本文方法得到的模糊風險率，即[2.9337×10-3，5.9645×10-3]，均值為4.4491×10-3。

上述分析是在假定各變量相互獨立的前提下進行的，考慮變量f'和c'的相關性進行計算比較，結果見表7。

從表7中可以看出，無論是方法①還是方法②，考慮f'和c'負相關時的模糊風險率都比不相關時有所減小，減小的程度與相關系數絕對值大小成正比。而且變量的模糊對風險率的影響程度會因變量相關而發生改變：相關系數的絕對值越大，變量的模糊對風險率的影響程度也越大。由于f'和c'一般為負相關，取ρ=-0.6時的模糊風險率進行評價，為[1.5777×10-3，3.4798×10-3]，均值為2.5288×10-3。

表7 模糊區間取（-0.3,0.3），考慮相關時所得模糊風險率比較Table 7:The fuzzy risk rates under correlation condition and on the fuzzy interval(-0.3,0.3)

該大壩具有重要的社會及區域經濟作用，一旦失事將給下游帶來巨大損失，根據本文提出的該大壩相應等級失穩風險評價標準，風險率超過1.0×10-4是不可容忍的。由計算結果可以看出，不管是否考慮參數相關性，該壩段計算所得的模糊風險率均超過此標準，表明該大壩存在較大的安全隱患，這與文獻[11]中的結論一致。而且，根據現行規范的剛體平衡法計算得到的安全系數為2.459，小于3.0的允許值，不滿足規范的要求。

4 結 語

（1）對影響壩基穩定的各影響因素進行敏感性分析，敏感系數小于0.05的參數當作定值處理后對可靠指標和失效概率的影響非常小，一般工程甚至可將敏感系數小于0.10的隨機參數當作定值處理。

（2）f'和c'通常呈負相關性，考慮兩者負相關性得到的壩體模糊失穩風險率均小于不考慮相關性時的風險率，可見，忽略變量間的相關性，計算結果會偏于安全。但是，在實際工程中若能取得準確的相關系數ρ值，則應在計算中考慮其影響。

（3）建立了基于安全系數的模糊隨機極限狀態方程，對變量參數的模糊采用計算簡便的α水平截集法，而對失效準則的模糊采用降半梯形分布隸屬函數。此方法比參數與失效準則均采用水平截集法時得到的模糊風險率區間值更趨合理。

（4）對于工程實例，模糊風險分析計算得到某壩段穩定安全結論與現行規范的確定性計算方法一致，該壩段有進行安全加固的必要。

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