伺服系統中滑模變結構控制器的設計

謝遠黨，李維嘉，王春濤

（1.浙江海洋學院機電工程學院，浙江舟山 316004；2.華中科技大學輪機工程系，湖北武漢 430074）

線性系統在現代控制理論與應用中占有非常重要的位置，其基本理論已發展得相當完善，但是大多數實際系統是非線性的，建模時往往忽略了各種非線性因素影響才簡化為理想的線性模型[1]。滑模變結構控制具有完全的自適應性，這是變結構系統最突出的優點。它不需要知道系統的精確數學模型，只需了解系統的參數及外來擾動變化的大致范圍，并且具有降階、解耦的功能，能較好地解決系統的動態、靜態特性之間的矛盾，控制規律簡單，它可以解決復雜系統，包括線性和非線性系統的鎮定和品質等問題[2]?；Ｗ兘Y構控制的設計在高精確度伺服系統的應用中受到日益廣泛的重視。圖1給出了本文所要討論的滑模控制系統結構，它主要由受到控制器、PWM裝置、直流無刷電機、機械試行機構、位置反饋單元組成。

圖1 無刷電機位置控制結構圖Fig.1 No brush position chart of electrical control

1 滑模變結構控制概念

變結構控制（variable structure control,VSC）本質上是一類特殊的非線性控制，其非線性表現為控制的不連續性。這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統的“結構”并不固定，而是可以在動態過程中，根據系統當前的狀態有目的地不斷變化，迫使系統按照預定“滑動模態”的狀態軌跡運動，所以有常稱變結構控制為滑動模態控制（sliding mode control,SMC），即滑模變結構控制。由于滑動模態可以進行設計且與對象參數及擾動無關，這就使得變結構控制具有快速響應、對參數變化及擾動不靈敏、無需系統在線辨識、物理實現簡單等優點。

變結構控制出現于20世紀50年代，經歷了50余年的發展，已形成了一個相對獨立的研究分支，成為控制系統的一種設計方法，適用于線性與非線性、連續與離散系統、確定性與不確定性系統、集中參數與分布參數系統、集中控制與分散控制等[3]。并且在實際工程中逐漸得到推廣應用，如電機與電力系統控制、機器人控制、飛機控制、衛星姿態控制等。這種控制方法通過控制量的切換使系統狀態沿著滑模面滑動，使系統在受到參數攝動和外干擾時具有不變性，正是這種特性使得變結構控制方法受到各國學者的重視[4]。

2 滑模變結構控制基本原理

滑模變結構控制是變結構控制系統的一種控制策略。這種控制策略與常規控制的根本區別在于控制的不連續性，即一種使系統“結構”隨時間變化的開關特性。該控制特性可以迫使系統在一定特性下沿規定的狀態軌跡作小幅度、高頻率的上下運動，即所謂的“滑動模態”或“滑?！边\動。這種滑動模態是可以設計的，且與系統的參數及擾動無關。這樣，處于滑模運動的系統就具有很好的魯棒性[5]。

滑動模態控制的概念和特性如下：

（1）滑動模態定義及數學表達考慮一般的情況，在系統

它將狀態空間分成上下2個部分s＞0或s＜0。在切換面上的運動點有三種情況，如

通常點——系統運動點運動到切換面S=0附近時，穿越此點而過（點A）;

起始點——系統運動點運動到切換面S=0附近時，從切換面的兩邊離開該點（點B）；

終止點——系統運動點到達切換面S=0附近，從切換面的兩邊趨向于該點（點C）；

在滑模變結構中，通常點與起始點無多大意義，而終止點卻有特殊的含義，因為如果在切換面上某一區域內所有的運動點都是終止點，則一旦運動點趨近于該區域，就會被“吸引”到該區域內運動。此時，稱在切換面S=0上的所有運動點都是終止點的區域為“滑模模態”區，或簡稱為“滑模”區。系統在滑模區中的運動就叫做“滑模運動”。

按照滑動模態區上的運動點都必須是終止點這一要求，當運動點到達切換面s(x)=0附近時，必有：

此不等式對系統提出了一個形如

圖2 切換面上3種點的特性Fig.2 Switch on the nature of the three

的李雅普諾夫（Lyapunon）函數的必要條件。由于在切換面領域內上面函數式是正式的，若按照的導數是負半定，也就是說在s=0附近v是一個非增函數。因此，如果滿足條件式是系統的一個條件李雅普諾夫函數。系統本身也就是穩定于條件 s=0。

（2）滑模變結構控制的定義滑模變結構控制的基本問題如下：

設有一控制系統

需要確定切換函數

s(x)， s∈Rm

求解控制函數其中，u+(x)≠u-(x)，使得

①滑動模態存在，則上式的控制函數存在。

②滿足可達性條件，在切換面s=0以外的運動點都將于有限的時間內到達切換面；

③保證滑模運動的穩定性；

④達到控制系統的動態品質要求。

上述的前3點是滑模變結構控制的3個基本問題，只有滿足了這3個條件的控制才可稱為滑模變結構控制。

3 基于趨近率的滑模控制設計

滑模運動包括趨近運動和滑模運動兩個過程。系統從任意初始狀態趨向切換面，直到到達切換面的運動稱為趨近運動，即趨近運動為s→0的過程。根據滑模變結構原理，滑模可達性條件僅保證由狀態空間任意位置運動點在有限時間內到達切換面的要求，而對于趨近運動的具體軌跡未作任何限制，采用趨近律[5]的方法可以改善趨近運動的動態品質。

3.1 幾種典型的趨近律

（1）等速趨近律

其中，常數ε表示系統的運動點趨近切換面s=0的速率。ε小，趨近速度慢；ε大，則運動點到達切換面時將具有較大的速度，引起的抖振也比較大。

（2）指數趨近律

指數趨近中，趨近速度從一較大值逐步減小到零，不僅縮短了趨近時間，而且使運動點到達切換面時的速度很小。對單純的指數趨近，運動點逼近切換面時一個漸近的過程，不能保證有限時間到達，切換面上也就不存在滑動模態了，所以要增加一個等速趨近項，使當s接近0時，趨近速度是ε而不是0，可以保證有限時間到達。

在指數趨近律中，為了保證快速的同時削弱抖振，應在增大k的同時減少ε。

（3）冪次趨近律

（4）一般趨近律

其中 f(0)=0，當 s≠0，sf(s)＞0

顯然，上述4種趨近律都滿足滑模到達條件ss˙＜0。

3.2 基于指數趨近律的滑模位置控制器設計

變結構系統設計問題，主要是兩個：第一個問題是如何正確地選擇切換函數；第二個問題是如何求取變結構控制[6]。

我們所要設計的變結構控制是一個標量（單輸入）控制，其切換函數具有如下形式：

切換面的選擇直接決定滑動模態穩定性與品質。選擇切換函數就是如何求C矩陣的問題。一般來說，選擇切換函數的常用方法有3種：

①極點配置法；

②二次型最優法；

③特征向量任置法；

3.3 系統滑?？刂破髑袚Q函數（極點配置法）的設計步驟

本文選擇極點配置法作為切換函數，其步驟如下：

其中x∈Rn，x∈Rm分別是系統的狀態變量和控制變量[7]：

第一步：對上述線性系統作非奇異線性變換x=Mz，則可將其化為下列簡約型：

第二步：在此變換下，相應的切換面變為

其中，為可逆方陣。因此，在切換面上有

從而滑動模運動滿足上式和下列降階方程：

于是線性系統的滑動?？梢暈槭怯墒剑?1）描述且具有反饋（10）的n-m維子系統，從而可以根據通常的線性反饋設計方法（如極點配置方法等）確定反饋系數矩陣F。

第三步：在原坐標系中按 s（x）=（F，Im）確定切換函數 s（x）。

由于系統在滑動時z2可以由z1線性表出，因此只要z1以適當的指數衰減趨近于零，則也以同樣的指數衰減律趨向于零。取z2=Im，C1=F進而由式（9）和（10）可得到使原線性系統的滑動模一定具有良好動態特性的切換系數矩陣

C=（F，Im）M-1，從而得出切換函數 s（x）。

4 結論

在現代控制理論與應用中存在著非線性和不確定因素，而滑模變結構控制恰恰是解決這些問題的一種可行途徑。本文主要介紹了滑模變結構控制器的原理，詳細介紹了幾種趨近率的計算方法，為了便于計算機控制，建立了基于趨近率的滑模位置伺服控制器的設計方案，它算法簡單、易于實現，同時也能夠滿足系統跟蹤精度的要求。

[1]姜 靜,伍清河.滑模變結構控制在跟蹤伺服系統中的應用[J].電機與控制學報,2005,9(6):1-4.

[2]易繼鍇,江祥賢,候媛彬,等.電氣傳動自動控制原理與設計[M].北京:北京工業大學出版社,1997.

[3]SABANOVIC A,IZOSOMOV D.Applicatioon of sliding modes to inductioon motor control[J].IEEE Transactions on Industry Applications,1981(IA-17):41-49.

[4]YOUNG K K D.Controller Design for manipulator Using Theory of Variable Structrue Systems[Z].IEEE Transaction on Systems,Man,and Cybernetics,SMC-8,1978:101-109.

[5]高為炳.變結構控制理論與設計方法[M].北京:科學出版社,1996.

[6]姚瓊薈,黃繼起,吳漢松.變結構控制系統[M].重慶:重慶大學出版社,1997.

[7]胡躍明.變結構控制理論與應用[M].北京:科學出版社,2003.