基于曲線內(nèi)插理論的水庫特性曲線計(jì)算

李文華，袁中軍，謝 強(qiáng)

（臨沂市岸堤水庫管理處，山東 蒙陰 276217）

水庫特性曲線是水庫的重要技術(shù)指標(biāo)，是水庫規(guī)劃設(shè)計(jì)和實(shí)際管理工作的重要依據(jù)。曲線的計(jì)算目前還一直是沿用直線內(nèi)插的辦法進(jìn)行。這種直線內(nèi)插近似計(jì)算辦法優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡便，但結(jié)果精度低，往往不能滿足工程設(shè)計(jì)和管理工作的實(shí)際要求，目前也沒有很好的曲線內(nèi)插方面的研究和探討，更沒有這方面的解決方案。為此，通過對(duì)曲線內(nèi)插方案的深入探討和研究，得出了該曲線內(nèi)插理論。曲線內(nèi)插理論的核心，就是利用指數(shù)方程的曲線組合，平滑連接已知非連續(xù)特征點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)非連續(xù)點(diǎn)間的曲線內(nèi)插，獲得非連續(xù)點(diǎn)間最符合實(shí)際的、優(yōu)于直線內(nèi)插的數(shù)據(jù)，為工程設(shè)計(jì)和管理，提供可靠的理論依據(jù)和計(jì)算方法。

現(xiàn)結(jié)合臨沂市岸堤水庫水位庫容關(guān)系曲線，就怎么用曲線內(nèi)插理論，取代直線內(nèi)插辦法，用平滑曲線連接非連續(xù)點(diǎn)數(shù)據(jù)這一技術(shù)課題，結(jié)合矩陣對(duì)曲線內(nèi)插理論進(jìn)行深入的探討和研究。

1 曲線內(nèi)插的基本原理

1.1 建立數(shù)學(xué)模型

1）理論分析。形如y=axk+b指數(shù)方程曲線，其形式是平滑連續(xù)曲線。只要合理的確定其參數(shù)a、k、b的數(shù)據(jù)，即可用該曲線，取代原非連續(xù)點(diǎn)之間的直線內(nèi)插為曲線內(nèi)插，真正尋找到最合理、最符合實(shí)際的中間過渡數(shù)據(jù)。

當(dāng)然，單單依靠這三個(gè)參數(shù)a、k、b，實(shí)現(xiàn)用指數(shù)方程曲線，完全模擬現(xiàn)實(shí)生活中的不規(guī)則曲線是不現(xiàn)實(shí)的，故此，建立如下數(shù)學(xué)模型。

其中，a、k分別代表系數(shù)系列和指數(shù)系列。y代表縱坐標(biāo)，x代表橫坐標(biāo)（下同）。解析該數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，是合理的確立指數(shù)系列和系數(shù)系列數(shù)據(jù)。

2）指數(shù)系列數(shù)據(jù)的確定。為了用指數(shù)方程模擬現(xiàn)實(shí)中的不規(guī)則曲線，用3個(gè)局部特征點(diǎn)數(shù)據(jù)，通過下列方程組，求解指數(shù)系列中的1個(gè)指數(shù)數(shù)據(jù)。

建立方程組如下：

通過化簡方程組，即可試算求解出指數(shù)k值。

確定指數(shù)系列。從已知特征點(diǎn)數(shù)據(jù)，每次取出3個(gè)特征數(shù)據(jù)，確立一個(gè)指數(shù)數(shù)據(jù)。通過選取多組特征點(diǎn)數(shù)據(jù)，即可分別求出相應(yīng)的指數(shù)系列。

系數(shù)系列數(shù)據(jù)的確定。指數(shù)系列數(shù)據(jù)確定后，可根據(jù)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)，建立如下矩陣，求解出系數(shù)系列數(shù)據(jù)a。由以下簡化矩陣得到相應(yīng)的系數(shù)系列數(shù)據(jù)：

2 曲線內(nèi)插理論的應(yīng)用

2.1 特征點(diǎn)的確定

首先按照需要內(nèi)插的位置和已知數(shù)據(jù)，確定曲線內(nèi)插方程的定義域，并在該定義域內(nèi)，選取曲線內(nèi)插特征點(diǎn)數(shù)據(jù)。選取更多的特征點(diǎn)坐標(biāo)，有利于提高曲線內(nèi)插數(shù)據(jù)精度，但會(huì)極大地增加計(jì)算工作量。因此，怎樣合理確定特征點(diǎn)，應(yīng)把握以下兩個(gè)方面：1）特征點(diǎn)要反映出已知坐標(biāo)數(shù)據(jù)的曲線走勢(shì)；2）要根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)插精度要求，合理地確定特征點(diǎn)的數(shù)量。既要保證計(jì)算精度要求，又要盡量減少不必要的計(jì)算工作量。臨沂市岸堤水庫水位庫容關(guān)系如圖1所示。

假如要計(jì)算庫水位為172.50時(shí)的庫容。如圖1，選定4個(gè)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)（已用圓圈標(biāo)注，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，如果對(duì)計(jì)算精度要求較高，可考慮選取6個(gè)或更多個(gè)特征點(diǎn)），其相應(yīng)坐標(biāo)數(shù)據(jù)分別為：（171.00，23482）、（172.00，27406）、（173.00，31696）、（174.00，36380），并定義內(nèi)插方程的定義域?yàn)?71.00 m～174.00 m。為改善數(shù)學(xué)模型的參數(shù)結(jié)構(gòu)，縱坐標(biāo)右偏移170個(gè)單位。

圖1 岸堤水庫水位庫容關(guān)系圖

2.2 確定指數(shù)系列數(shù)據(jù)

第一步選取特征點(diǎn)4個(gè)，因此指數(shù)系列的個(gè)數(shù)也是4個(gè)。1）由于 庫水位＝0時(shí)，庫容≠0，因此，指數(shù)系列數(shù)據(jù)的指數(shù)為0。2）由于某庫水位對(duì)應(yīng)的水面面積等于庫容相對(duì)于庫水位關(guān)系曲線在該水位下的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)庫水位＝0時(shí)，水面面積≠0，因此，指數(shù)系列數(shù)據(jù)的指數(shù)為1。3）其他2個(gè)指數(shù)系列的數(shù)據(jù)，則根據(jù)前面講到的指數(shù)系列數(shù)據(jù)的確定方法，采用曲線的局部指數(shù)表達(dá)式的指數(shù)值。

取第一組特征點(diǎn)（171.00，23482）、（172.00，27406）、（173.00，31696）將這些特征點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，分別代入指數(shù)方程y=a·(x-x0)k+b（其中x0是坐標(biāo)偏移量），利用自定義windows動(dòng)態(tài)庫函數(shù)（或直接采用試算法），解析方程組得：a＝3134.377、b＝20347.6、k＝1.171，故取指數(shù)系列數(shù)據(jù)中的指數(shù)為1.171。

取第二組特征點(diǎn)（172.00，27406）、（173.00，31696）、（174.00，36380）計(jì)算過程和坐標(biāo)偏移均同上，得指數(shù)系列數(shù)據(jù)中的指數(shù)為1.259。

通過以上計(jì)算和分析，在坐標(biāo)偏移為170時(shí)，指數(shù)系列數(shù)據(jù)為 1.259、1.171、1.0、0， 這些指數(shù)數(shù)據(jù)，反映出了曲線的局部特征。

2.3 確定系數(shù)系列及方程

根據(jù)前面的內(nèi)容，依據(jù)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)和已求得的指數(shù)系列數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)矩陣，利用自定義windows動(dòng)態(tài)庫函數(shù)（或其他解析法），求得系數(shù)系列數(shù)據(jù)為：-0.000 141 380 894 796 8，0.000 171 387 660 256 7，3 922.80，19559.19。

2.4 數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)比

臨沂市岸堤水庫水位庫容關(guān)系，局部范圍內(nèi)，可用如下指數(shù)曲線方程表示：

其中：y代表庫容（萬 m3），x代表庫水位（1965 黃河基面），170是坐標(biāo)偏移常數(shù)（指數(shù)系列和系數(shù)系列數(shù)據(jù)均依此常數(shù)計(jì)算得到），函數(shù)定義域?yàn)?71.00～174.00 m。計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)比如表1示。

表1 數(shù)據(jù)對(duì)比表

由表1定義域范圍內(nèi)的誤差百分比，可確定數(shù)據(jù)的可用性。

利用數(shù)學(xué)模型將庫水位為172.50 m代入上面推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型方程，得庫容為29 396.86萬m3。

3 結(jié)論

通過以上對(duì)臨沂市岸提水庫水位庫容關(guān)系的分析和計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了用曲線內(nèi)插理論，用平滑的指數(shù)曲線，連接非連續(xù)特征點(diǎn)，求得已知特征點(diǎn)間的中間過渡數(shù)據(jù)，為工程管理提供了符合客觀實(shí)際的合理數(shù)據(jù)，同時(shí)也為水庫規(guī)劃設(shè)計(jì)中水庫特性曲線計(jì)算提供了新的方法。