任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究

方 楊

(中鐵工程設(shè)計咨詢集團有限公司,北京 100055)

在工程測量中,為了減小投影長度變形,通常需建立工程獨立坐標(biāo)系。工程獨立坐標(biāo)系仍采用高斯投影方法,但投影面不是標(biāo)準(zhǔn)的參考橢球面,而是選定的抵償高程面,一般選擇測區(qū)的平均高程面，投影帶不采用國家6°帶或3°帶,而采用任意帶,投影的中央子午線通常設(shè)在測區(qū)中央，這樣就形成了任意帶任意投影面的獨立坐標(biāo)系。在任意帶任意投影面的計算中必然涉及坐標(biāo)換帶問題及橢球的變換問題,不同的橢球變換方法所得坐標(biāo)結(jié)果不同。本文詳細(xì)研究了各種橢球變換方法,橢球變換后計算大地坐標(biāo)的不同方式及坐標(biāo)換帶計算,實現(xiàn)了任意帶任意投影面的坐標(biāo)換算。

1 橢球變換方法

選定任意的高程投影面,會引起標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)的變化。在某一測區(qū)或工程中,選擇實際觀測的某一點或者多個點歸算得到的一個等效虛擬點作為基準(zhǔn)點進(jìn)行橢球變換,得到新的唯一橢球。假設(shè)橢球變換的基準(zhǔn)點為P0(B0,L0,H0),投影面大地高為ΔH。常用的橢球變換方法會引起坐標(biāo)系原點、橢球長軸及扁率的變化,但一般不會引起坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)和尺度的變化。

1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法僅橢球長軸變化,橢球扁率、平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。一種以投影面大地高ΔH作為長半徑的變化量,即

da=ΔH

(1)

(2)

1.2 橢球平移法

橢球平移法僅橢球中心變動,即dX0≠0,dY0≠0,dZ0≠0,橢球長軸、扁率、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變。其值為

(3)

1.3 橢球變形法

橢球變形法使橢球長軸及扁率均變化,平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)均不變,變化量為

(4)

2 橢球變換后計算大地坐標(biāo)的兩種方式

橢球參數(shù)變化后,新橢球面上的大地坐標(biāo)也會有相應(yīng)變化。計算新的大地坐標(biāo)或者大地坐標(biāo)變化量有兩種方式。

2.1 大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的關(guān)系

大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)間的關(guān)系式為

(5)

當(dāng)橢球上一點大地坐標(biāo)變化時,其對應(yīng)的空間直角坐標(biāo)保持不變。橢球變換后,首先根據(jù)原橢球參數(shù)由(5)式計算出一點的空間直角坐標(biāo),然后利用變換后的橢球參數(shù)求出新橢球面上的大地坐標(biāo)。這樣就完成了橢球變換后大地坐標(biāo)的變換。

2.2 廣義大地坐標(biāo)微分公式

廣義大地坐標(biāo)微分公式為

(6)

式中,A、B、C、D的具體值參見文獻(xiàn)[1]。代入不同的平移參數(shù)dX0,dY0,dZ0、旋轉(zhuǎn)參數(shù)εX,εY,εZ、橢球幾何元素da,df和尺度因子m,可算出不同的大地坐標(biāo)變化量。

采用橢球膨脹法,根據(jù)式(7)可計算出各點大地坐標(biāo)變化量

(7)

采用橢球平移法,根據(jù)式(8)可計算出各點大地坐標(biāo)變化量

(8)

采用橢球變形法,根據(jù)式(9)可計算出各點大地坐標(biāo)變化量

(9)

3 任意帶任意投影面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計算

(1)將第一帶、指定高程投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)I換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)(B,L,H)I。

若利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計算,其步驟為：①選擇橢球膨脹法或橢球變形法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)計算橢球長軸或扁率的變化量,并計算新的橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df。②根據(jù)新橢球參數(shù),利用高斯投影反算公式,計算新橢球上的大地坐標(biāo)；③將新橢球上的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)。④根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)。

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計算,其步驟為：①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù)和第一帶中央子午線,按高斯投影反算公式,將第一帶的平面坐標(biāo)計換算為標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo),其目的是為了后面計算大地坐標(biāo)改正量；②選擇一定的橢球變換方法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)、式(4)計算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量；③根據(jù)式(7)、式(8)、式(9)計算出dB,dL,dH；④計算新橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df,并根據(jù)新橢球參數(shù)和第一帶中央子午線,按高斯投影反算公式,將第一帶的平面坐標(biāo)換算為新橢球上的大地坐標(biāo)(B2,L2,H2)；⑤根據(jù)下式得到標(biāo)準(zhǔn)橢球上的大地坐標(biāo)結(jié)果

B=B2-dB,L=L2-dL,H=H2-dH

(2)將第一步得到的標(biāo)準(zhǔn)橢球面上的大地坐標(biāo)(B,L,H)I投影到第二帶指定高程投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

若利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計算,其步驟為：①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢球參數(shù),將大地坐標(biāo)(B,L,H)I轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)。②選擇橢球膨脹法或橢球變形法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(4)計算橢球長軸或扁率的變化量,并計算新橢球參數(shù)。③根據(jù)新橢球參數(shù),將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為新橢球上的大地坐標(biāo)。④根據(jù)新橢球參數(shù)和第二帶中央子午線,用上一步得到的大地坐標(biāo),按高斯投影正算公式計算第二帶指定投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

若根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計算,其步驟為：①選擇一定的橢球變換方法,根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)、式(4)計算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量。②根據(jù)式(7)、式(8)、式(9)計算出dB,dL,dH。③計算新橢球參數(shù)a1=a+da,f1=f+df,及新大地坐標(biāo)B2=B+dB,L2=L+dL,H2=H+dH。④根據(jù)新橢球參數(shù)和第二帶中央子午線,用新橢球上的大地坐標(biāo)(B2,L2,H2),按高斯投影正算公式計算第二帶指定投影面上的平面坐標(biāo)(x,y,h)II。

4 算例及分析

根據(jù)所給公式和計算步驟編制相應(yīng)軟件,并選取了某鐵路工程中的部分點進(jìn)行計算。該工程要求將中央子午線為129°、投影面大地高為500 m的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為中央子午線為130°、投影面大地高為350 m的平面坐標(biāo)。本文分別采用了不同的橢球變換方法及不同的計算大地坐標(biāo)變化量的方式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(限于篇幅,只列出了其中三點的轉(zhuǎn)換結(jié)果)。基準(zhǔn)點選擇2號點。表1和表2分別是利用空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系、廣義大地坐標(biāo)微分公式,不同的橢球變換方法求解的平面坐標(biāo)結(jié)果。

表1 根據(jù)空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)的關(guān)系計算的平面坐標(biāo) m

表2 根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式計算的平面坐標(biāo) m

以2號點為基準(zhǔn),分別在原投影面和新投影面上求出各點至2號點的距離,將對應(yīng)的距離相減得到長度變形值,其中兩條邊的結(jié)果見表3。長度變形值對比結(jié)果表明,采用不同的橢球變換方法得到的距離變形值基本相等,差距都在毫米級,說明采用不同的橢球變換方法所產(chǎn)生的距離變形是一致的。從限制長度變形的角度來說,各種橢球變換方法結(jié)果一致。

表3 不同方法計算的距離變形值 m

5 結(jié)束語

詳細(xì)研究了任意帶任意投影面的平面坐標(biāo)換算,研究了不同的橢球變換方法和橢球變換后計算大地坐標(biāo)的不同途徑,給出了相應(yīng)的計算公式,系統(tǒng)總結(jié)了坐標(biāo)換算的步驟,并編制了相應(yīng)軟件,可為實際工程應(yīng)用。根據(jù)工程實例分析了不同轉(zhuǎn)換方法的結(jié)果。長度變形值的對比結(jié)果表明,各種橢球變換方法的結(jié)果一致。

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