Clifford 代數(shù)Clp，q的中心子代數(shù)

宋元鳳，李武明，丁寶霞

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

1 預(yù)備知識

(p，q)型Minkowski空間p，q的Clifford代數(shù)Clp，q是一類2p+q維的實結(jié)合代數(shù)，在數(shù)學(xué)與物理中有諸多應(yīng)用.[1-11]p，q的M-正交集e1，…，ep，ep+1，…，ep+q對Clp，q的Clifford積滿足[1-11]

(1)

并由此確定Clp，q的一組基[1-11]：

1，

e1，e2，…，ep+q，

e1e2，e1e3，…，e1ep+q，e2e3，…，e2ep+q，…，ep+q-1ep+q,

…………，

e1e2…ep+q

(2)

2 兩種虛單位與兩種復(fù)數(shù)

在(1)中，e1，…，ep稱為雙曲虛單位，ep+1，…，ep+q稱為橢圓虛單位，任取ek∈{e1，…，ep}，由1與ek生成Clp，q的2維子代數(shù)

<1，ek>={a+bek|a，b∈，

同構(gòu)于雙曲復(fù)數(shù)

H={a+bj|j2=1，j?}.

對應(yīng)于此，任取e1∈{ep+1，…，ep+q}，由1與e1生成Clp，q的2維子代數(shù)

<1，e1>={a+be1|a，b∈，

同構(gòu)于橢圓復(fù)數(shù)

={a+bi|i2=-1}.

顯然，Cl1，0?H，Cl0，1?.

3 Clp，q的中心

引理1 作為實交換代數(shù)，Cen(Cl0，0)=，

Cen(Cl1，0)?H，Cen(Cl0，1)?.

(3)

引理2 當(dāng)p+q=2k，k∈{0，1，2，…}，

Cen(Clp，q)=.

(4)

證明 當(dāng)p+q=0時，由引理1知命題成立，當(dāng)p+q=2k，k∈{1，2，…}時，考察t次向量ei1i2…it(i1

引理3 當(dāng)p+q=2k+1，k∈{0，1，2，…}時，

(5)

證明 當(dāng)k=0即p+q=1時，由引理1知命題成立.當(dāng)p+q=2k+1，k∈{1，2，…}時，考察t次向量ei1i2…it(i1

對于基元e12…p+q，因為p+q=2k+1，任取ek∈{e1，e2，…，ep+q}均有

eke12…p+q=e12…p+qek，1≤k≤p+q.

所以

ek1ek2…ekse12…p+q=e12…p+qek1ek2…eks，其中ek1，ek2，…，eks∈Clp，q，

對于Clifford代數(shù)Clp，q中任意元素

α=a0+a1e1+…+ap+qep+q+a12e12+…+ap+q-1p+qep+q-1p+q+…+a12…p+qe12…p+q，

均有

αe12-p+q=e12…p+qα，

即

e12…p+q∈Cen(Clp，q)，

因此，

定理1 Clifford代數(shù)Clp，q的中心Cen(Clp，q)由如下公式確定

(6)

關(guān)注Clp，q的n次單位向量e12…n的如下表達(dá)式

(7)

可得與(6)式相關(guān)的兩個推論.

推論1

(8)

其中n=p+q.

推論2

(9)

其中n=p+q.

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