船舶非線性橫搖運動方程的線性化研究

李 浩 陸建輝

（中國海洋大學 工程學院 青島 266100）

0 引 言

船舶在風波流等外在激勵的的擾動下，會產生各種搖蕩運動，劇烈的搖蕩還將危及船舶航行的安全。大幅度橫搖是導致風浪中航行船舶失穩傾覆的最重要因素之一，也是最為復雜的力學問題［1］。船舶的大幅橫搖是一個強非線性的水動力學問題，其非線性包括：恢復力矩的非線性、阻尼力矩的非線性及多自由度運動的非線性耦合和嚴酷風浪條件的非線性擾動等［2］。為了進行船舶傾覆的概率預報，人們首先想到利用線性系統中得到成功應用的譜分析方法，希望把這種方法應用到非線性系統分析中來［3］。在預報船舶非線性橫搖時，用線性化方程代替非線性方程，從而用譜分析的方法進行統計計算，其難點在于對非線性方程的線性化。

本文在線性橫搖運動方程的基礎上，運用能量法，對正橫規則波中船舶非線性橫搖運動方程進行等效線性化，并驗證其工程實用性，為船舶橫搖預報提供理論分析計算模型。

1 船舶在正橫規則波中的線性橫搖

目前，有多種研究船舶橫搖的數學模型均可有效模擬橫搖過程，但這些模型都以Mathieu方程為基礎建立，即：

慣性力矩+阻尼力矩+恢復力矩=波浪擾動力矩

式中：Jφφ為船體自身轉動慣量；

ΔJφφ為附加質量轉動慣量；

φ為船舶橫搖角；

R（φ，t）為橫搖阻尼力矩；

K（φ，t）為橫搖恢復力矩；

M（χ，ωe，t）為波浪擾動力矩。

假設船舶在正橫規則波上作小角度橫搖，則可認為阻尼力矩與橫搖加速度成線性關系，恢復力矩與橫搖角呈線性關系，并假設船寬與波長的比是小量。根據動平衡原理，船舶在正橫規則波中橫搖運動微分方程為

式中：2Nφφ為阻尼力矩系數；

D為船舶排水量；

h為船舶橫穩心高；

Xφ為波面角修正系數；

α0為波面角振幅；

ω為波浪圓頻率。

式中：XφT為考慮吃水有限性引起的動壓力修正系數，它取決于吃水與波長比（T/λ）和船舶橫剖面形狀；

XφB是考慮船寬有限性的修正系數，它取決于船寬與波長比（B/λ）和船舶橫剖面的形狀。

式（2）兩邊同時除以（Jφφ+ΔJφφ），經整理得

式（4）為典型的二階常系數非齊次線性微分方程，它的解應為齊次微分方程的通解加上該方程的一個特解。由于前面假定波浪是微幅平面簡諧波，船本身是二階線性系統，則該橫搖運動也應是簡諧運動，故令其特解為

式中：φa為橫搖幅值；

εφa為橫搖角φ相對于波面角α的相位差。

將式（5）及其對時間t的一次及二次導數代入到式（4）中，得

將式（6）等號左邊項中括號展開，經整理得

由式（8）得

式中：αe0=α0Xφ，為有效波面角振幅；

將式（10）代入式（7），經整理得

當船的無因次衰減系數μφφ和有效波面角振幅αe0確定后，根據式（11）可計算船舶在正橫規則波中的橫搖幅值。

對式（11）進行變換，得

式中：Kφαe0稱為橫搖相對有效波面角的幅頻響應函數或放大系數。

由式（9）可得相位差

2 船舶在正橫規則波中的非線性橫搖的線性化

以上討論船舶的橫搖運動為微幅假設下的線性橫搖，可以用二階常系數線性微分方程描述，用普通的數學方法求解。實際上，船舶在大風浪里的搖蕩運動并非微幅，尤其是船舶的大幅度橫搖更為突出，它屬于典型的非線性運動問題。

船舶大幅度橫搖運動的非線性主要表現在恢復力矩的非線性、阻尼力矩的非線性及波浪擾動力矩的非線性三個方面。本文主要針對恢復力矩和阻尼力矩的非線性進行分析論述。

船舶在大風浪中航行時，一般橫搖角都超過8°～10°，這時阻尼力矩不再隨橫搖角呈線性變化，而是呈非線性變化［4］。橫搖非線性阻尼力矩有多種函數表達形式，本文采用線性阻尼加三次阻尼的一般阻尼形式，如式（14）所示：式中：Nφφ、W均為系數。一般認為該表達式適合中等橫搖的情況。

隨著橫搖角度的增加，恢復力矩與橫搖角成非線性關系，其非線性由船舶的靜穩性曲線的真實形狀確定。通常中等橫搖情況的恢復力矩非線性表達式為：

式中：K1、K2為通過擬合船舶靜穩性曲線得到的系數。將式（14）和（15）代入到式（1）中，整理得：

式（16）為一非線性方程，采用常規的數學方法很難得到其精確解。本文根據能量法將其等效線性化求其近似解，即等效為以下形式

2.1 恢復力矩的線性化

設等效線性化后的方程（17）的一個特解為

將式（18）代入式（15），并將非線性項展開，得：

恢復力矩在一個搖蕩周期里做的功為0，它只引起動能和勢能等能量之間的轉換，不耗散能量。因此，對恢復力矩的線性化即為直接展開非線性項，并略去高頻項。

略去式（19）中的高頻項并整理，得：

2.2 阻尼力矩的線性化

阻尼力矩不同于回復力矩，它要耗散船舶的運動能量。但無論采用哪種阻尼力矩的函數表達形式，

令 φ=φasint），采用式（14）中阻尼力矩的函數表達形式，在一個搖蕩周期內所做的功為：在一個完整的橫搖周期內所做的功都一樣。

等效線性阻尼在一個搖蕩周期內所做的功為：

將方程式（17）兩邊同除以（Jφφ+ΔJφφ），整理得：

設式（26）的特解為 φ=φasin（ωt+εφa），由以前的推論可知：

等效線性方程的解與線性方程的解不同處在于：等效線性方程的阻尼力矩系數和恢復力矩不再是常數，而是與待求的橫搖角幅值有關。因此，應將式（26）與式（21）和式（25）聯立迭代求解。

3 實例驗證

在中等搖幅情況下，可認為恢復力矩仍為線性，此時阻尼力矩已呈現出非線性。本文以某型號船為例，驗證阻尼為非線性時線性化后方程的實用性。該船基本參數見表 1［5］。

表1 船舶基本參數

根據經驗公式可以得到線性橫搖阻尼系數2N=18.75 tm2s-1，三次非線性橫搖阻尼系數W=144.6 tm2s，與其對應的橫搖衰減系數為2v=0.069 6 s-1，w=0.536 7 s。 取波長為 λ=40 m，波高為H=3 m，波浪頻率ω==1.245 rad/s。波面角修正系數Xφ=0.823 2；波面角振幅α0=0.235 6。該船舶的非線性運動方程為：

采用數值解法解此方程，可得其穩定橫搖幅值

相對誤差為2.24%，控制在工程應用可接受范圍內，故該等效線性化模型可應用于實際工程分析計算。

根據以上計算結果可得搖幅相對誤差：

4 結 語

近年來，有關非線性動力學理論研究取得的眾多成果及迅速發展的計算機科學技術，極大地推動了船舶非線性問題的研究步伐，人們開始采用非線性動力學理論來研究船舶的大幅橫搖運動及傾覆機理。線性系統中的譜分析法，作為一種古老而成熟的分析方法，在船舶運動預報中仍被廣泛運用［6］。

本文基于能量法對規則波中船舶非線性橫搖運動方程進行線性化，導出線性化系數表達式，經實例驗證表明該線性化模型具有實際工程應用價值。得到線性化方程后，即可進一步得到該方程的頻響函數。當輸入量波浪擾動力（矩）已知時，即可方便地求得對應的船舶搖蕩運動的幅值和相位角，極大簡化了預報程序。

［1］A.H.Nayfeh.On the undesirable roll characteristics of ship in regular seas［J］.Journal of Ship Research，1988，32（2）：95～100.

［2］馮鐵成.船舶搖擺與操縱［M］.北京：國防工業出版社，1980.

［3］李積德.船舶耐波性［M］.哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2007.

［4］鄺艷香.縱浪中船舶參數激勵非線性隨機橫搖研究［D］.天津：天津大學，2008.

［5］李紅霞.縱浪和斜浪中船舶非線性運動特性研究［D］.天津：天津大學，2007.

［6］Jianbo Hua.A Study of The Parametrically Exceited Roll Motion of A RoRo-Ship in Following and Heading Waves［J］.Int.Shipbuild.Progr.，1992，39（420）：345～366.