高動態條件下改進的EKF載波跟蹤環路

李思超，李金海，孫金海，汪峰，閻躍鵬

(中國科學院微電子研究所，北京100029)

高動態接收機主要涉及在高動態條件下對衛星導航信號進行捕獲、跟蹤及定位解算的技術．在高動態環境下，接收機的速度以及各階導數值都較大，引起較大的多普勒頻移，給偽碼的捕獲跟蹤及后續的數據解調帶來困難，為實現可靠通信，必須精確估計載波頻移，并進行補償．在未加輔助的條件下，高動態載波跟蹤方法有最大似然估計(MLE)［1-2］、FLL/PLL［2-3］、自適應最小均方法(ALS)［4-5］、擴展Kalman 濾波器(EKF)［2，6］等．MLE 在 C/A 碼延時 τ及多普勒頻移ωd構成的二維坐標平面上求似然函數的最大值，以此來估計時延τ、多普勒頻移ωd，估計精度高，但比較復雜，適用于超高動態目標的跟蹤．FLL/PLL方法結構簡單，計算量小，但是在高動態條件下需要采用高階環路，將引起環路的穩定性問題［3］，在弱信號條件下，鑒別器的非線性將使得跟蹤誤差較大．ALS方法將接收信號進行泰勒展開得到觀測方程，進而獲得頻率估計值，估計精度高，但結構也很復雜．EKF算法能夠直接估計信號的相位、頻率及其高階導數，同時避免了鑒別器的非線性問題，跟蹤性能好，靈敏度較高，高階EKF計算量也較大，但是采用高性能處理器可以較好地解決這一問題．鑒于EKF的上述特點，本文以其為研究對象，對其環路帶寬特性進行了理論分析，建立了相應的數學模型．根據分析結果，提出了一種改進的EKF載波跟蹤算法．該算法比常規算法環路帶寬窄，靈敏度更高．

1 EKF載波跟蹤模型

EKF的跟蹤過程與常規的DPLL類似，都是接收來自相關器的累加值，輸出殘差估計．圖1為采用EKF的高動態GNSS跟蹤環路，其中數據輔助模塊為可選設置，為便于討論，后續分析皆基于存在數據輔助．

圖1 基于EKF的高動態跟蹤環路Fig．1 High dynamic tracking loops based on EKF

為適應高動態條件，選擇四階EKF跟蹤環路，其狀態方程和量測方程為［2］

量測矩陣H可由下式得出［7］

EKF的迭代方程組為

式中:Q表示狀態噪聲協方差矩陣，α為加權系數，R為量測噪聲協方差矩陣．

在NASA方案［2］中，每次迭代完成后，輸入到載波NC0中的更新量為

式中:θk+1'、θk'為一步預測值．

2 EKF環路帶寬特性分析

2．1 理論分析

由迭代方程組可知，EKF可以看作圖2所示的負反饋環路．輸入為量測值Yk，輸出為狀態估計值Xk，狀態估計值的各個分量都來自相同的輸入，具有相同的輸入噪聲功率譜密度．

圖2 EKF原理圖Fig．2 Schematic diagram of EKF

NASA EKF方案的載波NC0更新量來自相位對于時間的導數，如式(3)所示．假設輸入值的噪聲功率譜密度為，對應相位一步預測值傳輸函數的等效環路帶寬為Bp，則由相位差得到的頻率更新量噪聲功率為2Bp．若載波NC0的更新量由頻率估計值提供(下稱該方案 為 Modified EKF，即MEKF)，令對應頻率估計值傳輸函數的等效環路帶寬為Bf，則此時頻率更新量噪聲功率為Bf．若Bf＜2Bp，則以頻率估計值更新NC0跟蹤性能會有提高．

由EKF迭代方程組，得一步預測值為

對式(4)兩端做Z變換，并整理得方程組:

式中:Mik(i=1，2，3，4)為在第 k次迭代時與 Pk'、a m^pk和a mpk有關的常量．

解方程組，得NASA方案中相位一步預測值的傳輸函數為

式中:aik、dik(i=1，2，3，4)為第 k 次遞推時與Mik(i=1，2，3，4)有關的常量．

類似地，可得到MEKF方案中頻率估計值的傳輸函數為

式中:aik、dik(i=1，2，3，4)為第 k 次遞推時與 Pk'、am^pk和ampk有關的常量．

對于傳輸函數為H(z)的系統，其環路等效帶寬為

將式(5)、(6)代入式(7)，可得NASA方案和MEKF 方案的等效環路帶寬 BL，θ(k)、BL，ω(k)，其中的時間標度k表示第k次迭代時的值．顯然，EKF的等效環路帶寬與其參數有關，不是固定值．

由卡爾曼濾波器的穩定性原理［8］可知，無論濾波器初值如何設定，經過足夠長的時間，卡爾曼濾波器都將達到穩態，此時Pk'→P'，并且滿足Riccati方程［9］:

當EKF處于穩態時，等效環路帶寬也趨于穩定．由Riccati方程可得 P'，代入式(5)～(7)，可得穩態環路帶寬 BL，θ、BL，ω．EKF 的暫態過程存在不確定性，其解析解不易確定，可通過仿真得到暫態帶寬．

2．2 仿真結果

采用文獻［2］中提出的更為嚴格的高動態GPS信號，根據2．1節的分析結果，對2種方案的環路帶寬特性做了仿真．中頻頻率的標稱值為4．092 MHz，采樣率為16．368 MHz，相干積分時間T=2 ms，采用2號衛星的PRN碼進行擴頻調制．

高動態信號的相對加加速度和相對加加速度特性示于圖3．

可見，EKF的環路等效帶寬經歷暫態過程的波動后，逐漸趨于穩定，濾波器通過調整帶寬完成了自適應濾波．穩態仿真帶寬與通過Riccati方程計算的帶寬差別極小，證明了理論分析是正確的．

圖3 相對加速度和相對加加速度Fig．3 Relative acceleration and relative jerk

圖4 環路帶寬仿真值與理論值Fig．4 Loop bandwidth from simulation and theoreticalanalysis

圖5(a)、(b)為在不同參數選擇時2種方案的環路等效帶寬．圖5(a)α = 1．03分為108和107的2種情況;圖5(b)=107，α 分為 1 ．02 和 1 ．03的2種情況．

圖5 EKF穩態等效環路帶寬Fig．5 Effective 100P banelwith of state of EKF

仿真時計算了NASA方案的2倍傳輸帶寬2BL，θ．可見在各種條件下，MEKF的穩態傳輸帶寬都滿足BL，ω＜2BL，θ，MEKF 方案比 NASA 方案噪聲功率要小．

此外，相比NASA方案，MEKF方案還可以減少兩次向量相乘、一次減法和一次除法，計算量有一定的降低．

綜上，選擇MEKF作為高動態載波跟蹤方案．

3 算法性能仿真結果

采用第2節的GPS高動態參數，對常規算法和MEKF算法進行了仿真測試．當頻率誤差超過奈奎斯特速率的1/2即250 Hz時認為系統失鎖，失鎖概率為10%的信噪比為門限信噪比［2］，可認為是跟蹤靈敏度．

為便于比較，在仿真過程中取α=1．03、σ2j=4×104，與 NASA 方案［2］相同．圖 6～8為載波頻率及其一二階導數的跟蹤結果，信號強度為-150．5 dBm．可見，載波頻率跟蹤效果良好，頻率的一、二階導數跟蹤結果抖動較大，但依然能夠可靠地鎖定．圖9為改進前后2種方案頻率估計均方根誤差的仿真結果，圖10為相應的失鎖概率曲線，每一種測試條件進行了104次仿真，消除了隨機性．表1列出了各種高動態載波跟蹤算法在一定載噪比下的頻率誤差及各自的跟蹤靈敏度［2］．

表1 性能統計Table 1 Cartogram of performance

圖6 載波頻率跟蹤結果Fig．6 Tracking results of carrier frequency

圖7 載波頻率一階導數跟蹤結果Fig．7 Tracking results of first-order derivative of carrier frequency

圖8 載波頻率二階導數跟蹤結果Fig．8 Tracking results of second-order derivative of carrier frequency

當CN0≥24 dBHz時，2種算法的頻率誤差均方根相差不大，當CN0＜24 dBHz時，改進算法的性能較好;改進算法在失鎖概率方面的優勢是明顯的．由表1可知，相同條件下MEKF算法的跟蹤靈敏度比NASA算法提高了1．3 dB，頻率誤差也略有減小，其頻率誤差比其他方案小得多．這證明了MEKF算法的優越性及其理論分析的正確性．

圖9 2種算法頻率誤差Fig．9 Frequency error of two algorithms

圖10 2種算法失鎖概率Fig．10 Probabilities of loss-of-lock of two algorithms

4 結束語

EKF的環路帶寬具有自適應性，其穩態環路帶寬是決定高動態跟蹤性能的關鍵參數之一．通過對EKF環路帶寬特性進行理論分析，建立了相應的數學模型，并進行了仿真，進而提出了一種改進的EKF高動態載波跟蹤算法．與常規算法相比，改進后的算法減小了頻率跟蹤誤差和失鎖概率，提高了跟蹤靈敏度．這對于提高高動態接收機性能有著重要的工程價值．下一步工作將研究如何充分利用EKF的所有狀態估計值提高接收機的跟蹤性能．

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