欠驅動水面船舶的曲線航跡跟蹤控制

曾薄文，朱齊丹于瑞亭

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，欠驅動系統的控制引起了不少學者的關注.欠驅動系統是指控制輸入向量空間的維數小于其廣義坐標向量空間維數的情況，即系統的獨立控制輸入量少于其自由度［1-2］.目前，海上運行的相當數量的船舶是依靠推力和轉船力矩這兩個獨立的控制輸入來實現水平面3個自由度的運動控制，因此對其研究可歸結為欠驅動控制問題.

為了經濟以及安全的目的，船舶需要按照設定的航線(直線或曲線)行駛.上世紀90年代，船舶航跡跟蹤控制就已引起人們的極大關注.由于欠驅動水面船舶在橫向上未裝備驅動裝置，加速度帶有不可積的非完整約束條件，并且無法通過坐標變換轉換成無漂的鏈式系統來處理等原因，使得欠驅動船舶的航跡跟蹤控制設計非常困難［3］，其根本原因在于不滿足著名的Brockett定理的必要條件.因此欠驅動船舶的航跡跟蹤控制具有極其重要的理論與實踐意義，已經成為當今船舶運動控制研究的一個熱點，DO等［5］基于重定義輸出和反步技術提出了全局k指數穩定直線航跡狀態及輸出反饋控制律.韓冰等［4］采用直接動態反饋線性化建立等效模型，再設計反饋控制使跟蹤誤差全局漸近鎮定的方法對直線航跡控制進行了研究，李鐵山等［6］將嚴格耗散的概念引入到船舶直線航跡控制系統中，研究了不完全驅動船舶在有外界干擾作用下的直線航跡魯棒控制問題.周崗等［7-8］分別利用輸入輸出線性化技術和重定義輸出變量的思想對欠驅動船舶的直線航跡控制的穩定性進行了研究，得到了系統全局漸近穩定的充分條件及推論.

以上文獻對于欠驅動船舶的直線航跡跟蹤控制的研究，其假設條件均為航速已單獨實現控制，即所研究的問題為定航速下的直線航跡跟蹤控制，此時期望的航向角速度為零，同時忽略了側移對船舶運動的影響，這一假設條件大大簡化了對水面船舶的航跡跟蹤問題.且所提出的控制方法并不適合曲線航跡跟蹤，為此基于反步法設計原理提出了一種欠驅動水面船舶的曲線航跡跟蹤控制方法，可實現航速、側移和位置的同步跟蹤.

1 控制系統數學模型

考慮如下欠驅動水面船舶，如圖1所示.

圖1 欠驅動水面船舶Fig.1 Underactuated surface vessel

本文的研究僅考慮水面船舶在水平面上3個自由度的運動，忽略船舶的升沉、縱搖和橫搖運動，并同時采用如下假設:1)艇體坐標系的軸位于艇的慣性主軸上;2)原點選在船體重心上;3)船體質量均勻分布;4)船關于2個坐標軸對稱.

參照文獻［9］，欠驅動船舶的運動學方程和動力學方程可以表示為

其中，M=diag(m11，m22，m33)是慣性參數矩陣，D=diag(d11，d22，d33)是水動力阻尼參數矩陣，η =［x y ψ］T，V=［u v r］T，τ =［τ1，0，τ3］T，τ1和τ3分別為水面船舶的縱向推進力和轉向力矩.因為沒有側向推進裝置，在橫向上沒有可用的控制輸入，因此所研究的船舶航跡跟蹤問題為欠驅動控制問題，C(v)為科里奧利和向心力矩陣.

方程(1)是在假設船體前后及左右對稱的條件下得到的，但是對于常規水面艇來說都是左右對稱的，而前后是不對稱的，這說明慣性矩陣M中的m23=m32≠0，水動力阻尼項 d23≠d32≠0，對于大多數船舶這些非對角線元素相對于主對角線元素mii，dii(i=1，2，3)是小量，對最終控制器性能影響很小，因此在控制器設計時可將其忽略.將式(1)、(2)的矩陣方程組展開，可得到如下以展開形式表示的水面船舶水平面運動方程:

對于給定的有界可行的參考軌跡(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)和參考控制輸入(τ1d，τ3d)，滿足

對系統(5)進行微分同胚變換，令

控制輸入變換:

則整理后新的狀態方程為

同理，可對指定的參考軌跡作相同變換

變換后的系統狀態方程可表達為

定義跟蹤誤差:

式(9)減去式(11)，得

為了從式(13)、(14)中消去 z1、z2、z4、z5、z6，作如下處理:

同理，有

將式(15)、(16)代入式(13)、(14)可得

通過狀態變換和輸入變換(7)、(8)、(10)，對于誤差系統如果有成立時，則(x，y，ψ，u，v，r)漸近收斂于(xd，yd，ψd，ud，vd，rd).

定理 1 假設(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)是可行的參考軌跡并且有界，如果存在一種控制律使得系統(18)漸近穩定，則該控制律同樣可以使得系統(17)漸近穩定.

證明 因為(xd，yd，ψd，ud，vd，rd))有界，所以(z1d，z2d，z3d，z4d，z5d，z6d)有界.假設存在控制律和w2使得系統(18)漸近穩定，則有…，6)成立.定義Lyapunov函數:

其對時間的導數為

由比較定理可知，W(t)滿足:

因為Cmin＞0，f3(t)有界且在有限時間內收斂為0，由引理可知，W有界且收斂為0，可知V有界且收斂為0，進而可知e1和e5是有界的，且收斂為0.

證明完畢.

2 跟蹤控制器設計

由定理1，采用反步法構造系統(18)的反饋鎮定律，并提出以下定理

定理2 對于如下控制律:

假設系統(18)狀態滿足{e2，e3，e4，e6}∈Ω，Ω ={(e2，e3，e4，e6)∈R4|α +z6d≠0|}，則控制律(20)使得系統(18)漸近穩定.

證明:考慮如下子系統:

1)為使狀態e3指數穩定，視e6為虛擬控制輸入，令 e6=α，α =-k3e3，k3＞0.系統(21)變為

綜上所述，系統(18)在控制律(20)的作用下是漸近穩定的.

證明完畢.

由式(8)得原系統(5)的控制輸入為

根據上述控制器設計，給出如下定理.

定理3 對系統(5)，如果參考軌跡(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)是可行的并且有界，在控制律(29)的作用下，(x，y，ψ，u，v，r)全局漸近收斂于(xd，yd，ψd，ud，vd，rd).

3 仿真

采用文獻［9］中的水池實驗用的船模參數進行仿真試驗，具體參數取為m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg，d11=70 kg/s，d22=100 kg/s，d33=50 kg/s.

不失一般性，將跟蹤的曲線設定為圓，并選擇兩個具有代表性的不同初始位置查看控制器的跟蹤效果.控制器的參數取為:k2=1.2，k3=1，k4=5，k6=6，(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)設 定 為［Rcost，Rsint，t+ π/2，3，0，1)］，(w1d，w2d)為(0，0)，當初始狀態(x，y，ψ，u，v，r)設定為(0，0，0，0，0，0)時，仿真結果如圖2～4所示.

由圖2(a)、(b)、(c)可知在所控制律的作用下，閉環系統的曲線航跡跟蹤誤差在有限時間內漸進收斂為0，其中圖2(c)顯示了誤差e1、e5的收斂狀態，證明了定理1的正確性.圖2(d)給出了欠驅動水動力船舶的響應曲線，可知控制輸入均為有界的.圖3分別顯示了系統狀態 ψ、x、y 和 u、v、r的跟蹤曲線.欠驅動船舶在水平面的圓的跟蹤航跡如圖4所示.

圖2 誤差漸進收斂曲線和控制輸入Fig.2 Convergence of the error states and control inputs

圖3 系統狀態跟蹤曲線Fig.3 Response of ψ，x，y and u，v，r

圖4 欠驅動船舶水平面的跟蹤航跡Fig.4 Traces of underactuated surface vessel

控制器參數取不同值4，當系統初始狀態為(x，y，ψ，u，v，r)設定為(5，5，π/2，0，0，0)時，仿真結果如圖5～7所示.

圖5 誤差漸進收斂曲線和控制輸入2Fig.5 Convergence of the error states and control inputs

圖6 系統狀態跟蹤曲線2Fig.6 Response of and ψ，x，y and u，v，r

圖7 欠驅動船舶水平面的跟蹤航跡2Fig.7 Traces of underactuated surface vessel

以上仿真結果表明，本文所提出的控制規律可以有效的跟蹤曲線航跡，跟蹤效果也較為理想.

4 結束語

通過全局微分同胚和反饋變換，對變換后的級聯誤差系統運用反步法和Lyapunov直接方法構造了欠驅動水面船舶的曲線航跡跟蹤控制律，可同時實現航速、側移和位置的同步跟蹤.仿真結果表明本文所提出的控制律可有效解決欠驅動船舶的曲線航跡跟蹤問題.

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