廣義Schur補為零的一些分塊矩陣的Drazin逆表達式

卜長江，劉廣峰，白淑艷

(哈爾濱工程大學理學院，黑龍江哈爾濱150001)

矩陣的Drazin逆表示不僅在矩陣代數中有重要意義，而且在奇異差分方程、廣義系統、馬爾科夫鏈和迭代法等領域中都有十分重要的應用［1-5］.尤其在奇異線性微分方程的解表示中［6］，矩陣的Drazin逆理論更是不可或缺的工具.1979年，以二階奇異系統為背景，Campbell等［1］提出一個2×2分塊矩陣Drazin逆表達式的open問題.1983年，Campbell［2］再次提出類似的open問題，引起學者們極大的關注，但這些問題至今未能完全解決.近年來一些學者在分塊矩陣的子塊滿足一定條件下給出其Drazin逆表達式［7-14］.在分塊矩陣的廣義Schur補為零或者可逆的條件下給出其Drazin逆表達式的問題是近幾年的熱點問題［7-10］.本文在分塊矩陣的廣義Schur補為零且子塊滿足相應條件下給出了其Drazin表達式，推廣了 Hartwing［9］及 Martinez-Serrano［10］給出的若干結果.

1 引理

為了得到本文的主要結果首先給出如下引理.引理 1［10］設 P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O且PQ是k次冪零矩陣，則

其中:k=ind(PQ)，t=ind(P2).

引理 2［10］P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O，QPQ=O且(PQ)2=O，則(P+Q)D=PD+Q(PD)2+PQ(PD)3.

2 主要結果

該文主要是得到下面形式的2×2分塊矩陣Drazin逆表達式

式中:A和D是方陣，設M的廣義Schur補S=DCADB等于零.

證明:由于M=PNP-1，令N=P1+P2，

所以，由引理1得

因為MD=PNDP-1，

下面給出定理1的推論，此推論恰好是文獻［10］的結果.

推論 設分塊矩陣M如同式(1).若BCAπ是r次冪零矩陣，ABCAπ=O，則

其中:

文獻［9］在 CAπB=O，AAπB=O 條件下給出分塊矩陣M的Drazin逆表達式.本文的定理2在CAπBC=O且AAπBC=O的條件下給出M 的的Drazin逆表達式.顯然，CAπBC=O和AAπBC=O是CAπB=O和AAπB=O成立的必要條件.

定理2 設分塊矩陣M的形式如同式(1).若CAπBC=O，AAπBC=O，則

其中:B11、B12、Z 如定理中所示.

通過與定理1和定理2類似的證明方法分別給出定理3和定理4.

證明:證明過程與定理2類似，略.

定理4 設分塊矩陣M的形式如同式(1).若AπBC 是 p次冪零矩陣，(A+ADBC)AπBC=O，則

其中:

證明:證明過程與定理1類似，略.

3 數值例子

針對上述定理的應用分別給出其數值例子.

例1

因為(A+BCAD)BCAπ=O，(BCAπ)2=O，

所以滿足定理1的條件，

從而，由定理1得:

因為AAπBC=O且CAπBC=O.

所以滿足定理2的條件，從而，由定理2得

因為 CAπBCAπ=O(A+BCAD)BCAπ=O，所以滿足定理3的條件，從而，由定理3得:

因為(A+ADBC)AπBC=O 且(AπBC)3=O，所以滿足定理4的條件.從而，由定理4得

4 結束語

［1］CAMPBELL S L，MEYER C D.Generalized inverse of linear transformations［M］.New York:Dover Publications，1991:36-87.

［2］CAMPBELL S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations［J］.Linear and Multilinear Algebra，1983，14:195-198.

［3］MEYER C D，SHOAF J M.Updating finite Markov chains by using techniques of group inversion［J］.Statist Comput Simulation，1980，11(11):163-181.

［4］KIRKLAND S J，NEUMANN M，XU J.Convexity and elasticity of the growth rate in size-classified population model［J］.SIAM Matrix Anal Appl，2004，26(1):170-185.

［5］CLIMENT J J，NEUMANN M.A semi-iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index［J］.Compute Appl Math，1997，87(1):21-38.

［6］CAMPBELL S L，MEYER C D，ROSE N J.Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients［J］.SIAM J Appl Math，1976，31(3):411-425.

［7］MIAO J.Results of the Drazin inverse of block matrices［J］.Shanghai Normal University，1989，18:25-31.

［8］WEI Yimin.Expressions for the Drazin inverse of a 2×2 block matrix［J］.Linear and Multilinear Algebra，1998，45(2/3):131-146.

［9］HARTWIG R，LI Xiezhang，WEI Yimin.Represe-tations for the Drazin inverse of a 2 × 2 block matrix［J］.SIAM Matrix Anal Appl，2006，27(3):757-771.

［10］MARTINEZ-SERRANOAND M F，CASTRO-González N.On the Drazin inverse of block matrices and generalized Schur complement［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(7):2733-2740.

［11］HARTWIG R，WANG Guorong，WEI Yimin.Some additive results on Drazin inverse［J］.Linear Algebra Appl.，2001，322(1/2/3):207-217.

［12］LI Xiezhang，WEI Yinmin.A note on the representations for the Drazin inverse of 2×2 block matrix［J］.Linear Algebra Appl，2007，423(2/3):332-338.

［13］BU Changjiang，LI Min，ZHANG Kuize，et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(1):132-139.

［14］BU Changjiang，ZHAO Jiemei，ZHENG Jinshan.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，204(1):45-49.