基于壓縮感知的彈道導彈微多普勒提取方法

李 松 朱 豐 劉昌云 馮有前 張 群

（1空軍工程大學導彈學院，陜西 三原 713800）（2空軍工程大學電訊工程學院，陜西 西安 710077）

1.引 言

隨著彈道導彈技術的發展，彈道導彈的攻防對抗日益激烈。對彈道導彈防御來說，關鍵是目標識別，也就是說能否從誘餌中識別出真彈頭［1］。高速、隱身、干擾等技術手段的應用增加了彈頭識別的難度。對于彈道導彈目標，雷達識別大致有三個途徑［2－3］：一是表面材料特征識別；二是結構形狀特征識別；三是運動特征識別。隨著電磁控制技術的發展和誘餌制作水平的提高，使得基于表面材料特征和結構形狀特征的彈頭和誘餌的可分性降低，而由于有效載荷的限制，誘餌和彈頭的質量分布特征不同，質量分布特征不同會導致運動特征不同，因此，運動特征是彈道導彈目標識別的主要依據［4］。彈道導彈目標運動特征包括軌道運動特征和微動特征。彈頭和誘餌之間的軌道特征差異不大，而微動特征差異較大，因此，識別彈頭和誘餌應充分利用它們的微動特征的差異。平動產生多普勒，微動產生微多普勒［4－5］。通過微多普勒可以提取彈道導彈目標的微動特征，利用彈頭和誘餌微動特征的差異可識別出真彈頭。

近年來，微動及微多普勒逐漸得到國內的廣泛關注。文獻［6］分析了錐形目標的錐旋模型及其微多普勒。文獻［7］－［8］分析了錐形彈頭的進動模型及其微多普勒。文獻［9］分析了錐形彈頭的章動特性及章動頻率的提取方法。文獻［10］分析了微多普勒的一些工程問題，指出微多普勒與載頻和帶寬的關系。載頻越高，微多普勒越大，越利于檢測和提取；帶寬越寬，越利于解決多散射點的微多普勒問題，越利于真假彈頭識別。但是帶寬越寬，對回波信號的采樣速率就越高，這對算法和硬件提出了更高的要求。如何能以較低的速率采樣回波信號，提取微多普勒，以進一步識別真假彈頭呢？

近年來出現了一種新的信號獲取與壓縮重構方法－壓縮感知（CS）［11－12］，它的優勢在于非自適應（Non－Adaptivity）的，能夠突破采樣定理的極限；抗干擾性也較強，壓縮后的信號中即使丟失了某幾項，仍然可以完美地重構原始信號。CS理論在信號提取、特征識別等領域中都有著廣泛的應用前景。文獻［13］研究了對回波信號稀疏采樣后進行匹配濾波的方法，證實了利用CS理論可恢復并合成距離像。文獻［14］研究了在任意冗長頻帶的條件下，利用CS理論對稀疏子孔徑進行拼接處理并成像。文獻［15］研究了目標處于復雜的電磁背景環境下，利用CS理論分析目標的多靜態電磁散射特性。文獻［16］研究了CS理論在超寬帶雷達成像中的應用。

對于CS理論在彈道導彈微多普勒效應研究及提取方面的應用，國內的報道較少。本文詳細分析了彈道導彈的微動模型，給出了彈道導彈目標的微多普勒計算公式，給出了利用CS理論重構彈道導彈微多普勒的方法。利用CS理論從回波信號中提取了彈道導彈的微多普勒，與從回波信號中提取的微多普勒和理論上計算的微多普勒是一致的，這表明在載頻較高和回波信號帶寬較寬的情況下，以較低頻率采樣彈道導彈回波信號，提取彈道導彈的微多普勒，以降低工程實現難度的方法是可行的、有效的。

2.彈道導彈微動模型

2.1 彈道導彈微動形式分析

彈道導彈目標可以通過旋轉進行空間定向，也可以依靠彈上的動力裝置進行空間定向。彈道導彈目標的運動過程可以分為助推段、中段、再入段。在不同階段，彈道導彈目標所采用的定向方法是不同的，導彈的運動特征（軌道特征和微動特征）也是不同的。

在助推段，彈道導彈運動的動力來自動力裝置，導彈的運動特征主要表現為軌道特征，微動特征不明顯。彈頭和艙體分離后，彈頭進入中段慣性滑行階段。彈頭中段的定向方法通常是自旋。在中段，彈頭受到的力只有重力，如果重力的作用點與彈頭質心重合，則重力矩為零，根據角動量守恒定理，彈頭的微動只表現為自旋，也就說彈頭繞對稱軸做旋轉運動。如果重力的作用點與彈頭的質心不重合，則重力矩不為零，彈頭的微動表現為“自旋”＋“錐旋”，錐旋是指彈頭繞對稱軸以外的某空間軸線的旋轉運動，“自旋”＋“錐旋”就是進動。在彈頭分離的時候，如果受到其他力的干擾，彈頭可能會出現章動，也就是進動角（錐旋軸與自旋軸的夾角）變化的進動。章動不是一種穩定的微動形式，它只是進動在受到其他力干擾時才表現出的微動形式。根據角動量守恒定理，一旦外力撤銷，章動現象會慢慢減弱，章動逐漸變為進動。

當彈頭返回大氣層時，進入再入段。在再入段，彈頭的微動依然表現為進動，但是進動參數相對中段來是有所變化，變化的原因是在再入段重力矩減小了。

2.2 自旋模型

彈道導彈目標自旋時，其與雷達的幾何關系如圖1所示。

圖1 彈道導彈錐形彈頭的自旋模型

（U，V，W）為雷達坐標系，其坐標原點為O，雷達位于O點。（x，y，z）為目標本地坐標系，也稱為彈體坐標系［10］，其坐標原點為目標的質心O′，O′z軸為目標對稱軸，也是自旋軸，本地坐標系隨彈頭的運動而運動。（X，Y，Z）為參考坐標系，其坐標原點P0位于O′z軸，一般情況下，取自旋軸與錐旋軸的交點為參考坐標系的原點，參考坐標系（X，Y，Z）與雷達坐標系 （U，V，W）平行，只隨彈頭的平動而運動。P0點在本地坐標系中的位置矢量r0＝ （0，0，z0），在雷達坐標系中的方位角和仰角分別為α和β，到雷達的初始距離矢量為R0.

設P點在本地坐標系中的初始位置矢量為rp＝（xp，yp，zp），則其在參考坐標系中的初始位置矢量為

式中Rinit為初始旋轉矩陣，也就是初始時刻本地坐標系到參考坐標系的旋轉矩陣。

t時刻P點在參考坐標系中的位置矢量為

式中Tspining為彈頭在參考坐標中的自旋矩陣，則t時刻P點在雷達坐標系中的位置矢量為

式中v是彈頭平動的速度矢量，如果知道Rinit和Tspining，就能求出R（t），根據發射信號和R（t），能得到P點回波信號的相位，進而得到回波信號的多普勒和微多普勒。

參考坐標系中的Tspining為

Esr為自旋軸單片向量esr的叉乘矩陣。

Rinit可用式（5）～ 式（8）計算。

式（5）～ （8）中（φ，θ，φ）稱為初始歐拉角。

2.3 進動模型

彈頭進動時，其與雷達的幾何關系如圖2所示。

圖2 彈道導彈錐形彈頭的進動模型

O′z為自旋軸，彈頭繞O′z以角速率ωs做自旋運動；P0N為錐旋軸，彈頭繞P0N以角速率ωc做錐旋運動。P0N與自旋軸O′z的交點為P0，為簡單起見，將P0點做為參考坐標系P0XYZ的原點。P0N在P0XYZ中的方位角和仰角分別為αN和βN，其在P0XYZ中的軸向單位向量ecr可表示為

t時刻P點在參考坐標系中的位置矢量為

式中Tprecession為彈頭在參考坐標中的進動矩陣，可表示為

根據自旋矩陣的推導原理，可得

式中，Ecr為錐旋軸單位向量ecr的叉乘矩陣。

2.4 章動模型

彈頭繞對稱軸的旋轉稱為自旋；彈頭在繞對稱軸自旋的同時繞空間某軸旋轉的運動稱為進動，進動可以理解為“自旋”＋“錐旋”；一般情況下，進動角是固定不變的，進動角變化的進動稱為章動，章動可以理解為“自旋”＋“進動角變化的進動”。章動矩陣可用式（13）來描述。

式中Tconing＝I＋sin（ωct）·Ecr（t）＋［1－cos（ωct）］）.

3.彈道導彈微多普勒

由于篇幅所限，主要分析彈道導彈目標進動的微多普勒。

假設雷達發射的是單頻信號，載頻為fc，根據式（10）和式（11），雷達回波信號的瞬時頻率為

式中：c為光速；λ為信號波長；ftrans為彈頭平動產生的多普勒；fmD－precession為彈頭進動產生的微多普勒，則fmD－precession表示為

4.壓縮感知基本原理

只要信號是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的，那么就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優化問題就可以從這些少量的投影中以高概率重構出原信號［17］。在該理論框架下，采樣速率不決定于信號的帶寬，而決定于信息在信號中的結構和內容。壓縮采樣與重建的一般過程如圖3所示。

求出信號X在該稀疏域上的表征形式Θ＝ΨTX，Θ是信號X在稀疏域Ψ的稀疏表示，兩者是等價的。

2.2 兩組腸道功能比較 復蘇后，觀察組患者 在腸道功能恢復時間、腹部體征消失時間方面均優于對照組，差異有統計學意義（P＜0.05），見表2。

設計一個與稀疏基Ψ不相關的M×N維的觀測矩陣Φ，將高維信號X進行非自適應的線性觀測，投影到一個低維空間上，得到觀測數據

在一定條件下，將0－范數條件下的N－P難題轉化為1－范數意義下的最優化求解問題，求解X的精確值或近似逼近.使所求得的近似向量X在Ψ基上的表示是最稀疏的。

圖3 基于壓縮感知的采樣與重建

l1最小范數下最優化問題可化簡為一個線性規劃問題，其常用算法包括凸松弛算法、組合算法和貪婪追蹤算法三個大類。其中，凸松弛法是將非凸問題轉化為凸優化問題求解找到信號的逼近，如BP算法、內點法等；組合算法要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建，如傅里葉采樣、鏈式追蹤等。凸松弛法雖然重建結果十分準確，但計算負擔很重；組合算法速度快，但沒有凸松弛法運算結果準確。而貪婪追蹤算法則是在運行時間和采樣效率上都位于上述兩類算法之間的，通過每次迭代時選擇一個局部最優解來逐步逼近原始信號，比較常見的算法有匹配追蹤法（MP）和正交匹配追蹤法（OMP）等。

5.基于壓縮感知的微多普勒重構方法

基于以上分析，本文提出利用壓縮感知理論來提取微多普勒信息，其具體步驟如下：

第一步：獲得含有微多普勒信息的雷達原始回波模擬信號s（t），t∈ （0，T），其中T為回波總時間。

第二步：定義時間分辨率τ，即窗長，并利用基于該窗長的矩形窗對含有微多普勒信息的原始回波信號進行滑動加窗處理，其中，滑動次數MN＝［T／τ?，［·?為向負無窮大取最小整數；可獲得各次加窗后的模擬信號s′i（t），i＝1，…，NN.

第三步：構造非相關測量器Φ，并對各次滑動加窗處理后的結果s′（t）依據公式（16）進行非相關測量采樣，以低采樣速率獲得各次低維的觀測序列m1（n）＝Φ＊s′i（t），n＝1，…，M，M為低維觀測數，“＊”表示測量處理過程。

第四步：對各次低維的觀測序列mi（n）依據公式（17）進行重構處理，獲得各次重構結果（n），i＝1，…，NN，n＝1…，N，N為利用奈奎斯特采樣定律獲得的采樣個數。

第五步：將各次重構結果依次排列S＝（n），（n），…，（n）］，即為最終的微多普勒提取結果。

其步驟可如圖4所示。

圖4 基于壓縮感知的重構微多普勒流程

6.仿真驗證

彈頭進動模型如圖2所示，長度單位為米。錐形彈頭高2，彈頭半徑0.5；參考坐標系P0XYZ的坐標原點P0在雷達坐標系中的初始位置為（2000，9000，8000），P0在本地坐標系O′xyz中的坐標為（0，0，－0.5），O′xyz相對于P0XYZ的初始歐拉角為（45°，20°，30°）。彈頭繞O′z自旋，同時繞P0N錐旋，錐旋軸P0N在P0XYZ中的方位角αN和高低角βN分別為60°和45°，自旋角速度ωs和錐旋角速度ωc分別為8πrad／s和4πrad／s.雷達載頻為5 GHz，脈沖重復頻率為2000Hz，帶寬為1GHz.取彈頭上點（0，0－0.5）、（0，0.1）、（0.3，0.4，0.5）和（－0.3，－0.4，－0.5），理論上的微多普勒如圖5所示，利用Gabor變換從回波信號提取的微多普勒如圖6所示，利用CS理論提取的微多普勒如圖7所示。

7.結 論

利用微多普勒識別真假彈頭的關鍵是微多普勒的提取。較高的載頻和較寬的回波信號帶寬有利于微多普勒的提取和微動特征識別。但是帶寬越寬，對回波信號的采樣速率就越高，這對算法和硬件提出了更高的要求；同時載頻高，也會帶來微多普勒模糊的問題。如何能以較低的速率采樣回波信號，提取微多普勒，以進一步識別真假彈頭呢？CS理論是個很好的選擇。論文將壓縮感知方法應用到寬帶雷達回波信號的微多普勒提取中，并給出了彈道導彈目標的微多普勒計算公式和利用壓縮感知重構彈道導彈微多普勒的方法。在低采樣頻率下利用壓縮感知理論從回波信號中提取的微多普勒，與在高采樣頻率下利用Gabor變換提取的微多普勒是一致的，這表明利用壓縮感知理論以低頻率采樣彈道導彈回波信號，提取微多普勒，降低工程實現難度的方法是可行的、有效的。

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