具有壓電分流電路的聲子晶體桿振動帶隙研究

陳圣兵，韓小云，王 剛，溫激鴻

(1.國防科技大學 機電工程研究所，長沙 410073;2.國家光子/聲子晶體教育部重點實驗室，長沙 410073)

聲子晶體概念的提出為減振降噪理論研究和工程設計提供了新的思路。聲子晶體是具有彈性波帶隙的周期性結構功能材料，頻率落在帶隙范圍內的振動會被禁止［1］。根據帶隙頻率所對應的波長與晶格常數的比例關系，聲子晶體可分為Bragg散射型和局域共振型。局域共振型聲子晶體中，單個散射體的共振特性起主導作用。通常是在基體材料中引入局域諧振子，通過振子的機械共振與基體中的長波行波相互耦合作用形成帶隙。

隨著智能材料的發展，將智能結構引入聲子晶體，通過主動控制，使聲子晶體的帶隙可調，已經逐漸被人們重視。Ruzzene和Baz等人［2］首先將形狀記憶合金引入到周期結構中，通過改變形狀記憶合金的彈性模量來調節帶隙。隨后他們又將壓電陶瓷材料及簡單控制電路周期性地附加在一維桿［3，4］、管路［5－7］和二維周期彈簧質量系統［8］中，采用簡單的控制電路，對周期結構的振動帶隙進行調節。李鳳明等［9，10］采用傳遞矩陣法研究了周期嵌有壓電材料的桿和梁結構中的波動傳播特性及其振動主動控制問題。張文群等［11］研究了負電容壓電分流阻尼系統的能量耗散特性，分析了不同連接方式電路的特點。孫浩和楊智春等［12］也對壓電分流阻尼系統中壓電片的拓撲優化做了較為深入的研究。

本文提出在基體桿上周期性粘貼連有分流電路的壓電片，用分流電路中LC回路的電磁振蕩代替局域共振聲子晶體中傳統機械局域諧振子的振動。利用壓電片的機電轉換能力和LC電路的諧振特性設計了局域共振聲子晶體桿結構，運用傳遞矩陣法計算了桿的帶隙結構，并分析了桿的帶隙形成機理以及在LC電路中引入耗散電阻后對帶隙的影響。最后，采用商用有限元分析軟件ANSYS中的壓電模塊和電路模塊對桿的振動特性進行了仿真計算。

1 聲子晶體桿振動的波動模型

聲子晶體桿的結構如圖1所示。在基體桿上周期性對貼壓電陶瓷片，形成周期結構。因為壓電陶瓷片本身存在電容，所以采用并聯電容分流電路可以使振蕩電路中總電容等于外接電容和壓電片電容之和，與串聯電容分流電路相比，可以有效增大電路中總電容的調節范圍，而且可以使電路固有振蕩頻率與電容的調節關系更直觀。所以將壓電陶瓷片與電容C、電感L和電阻R并聯，形成并聯分流電路。

圖1 周期桿示意圖Fig.1 Schematic diagram of periodic rod

圖2 壓電分流電路Fig.2 Piezoelectric shunting circuit

1.1 壓電方程和桿的結構動力學方程

壓電分流電路如圖2所示，假設壓電片除去沿長度的兩端外其余表面均自由，且壓電片只受沿厚度方向的電場作用，則d－型壓電方程簡化為［13］:

其中T1、S1為壓電片在長度方向的應力和應變，D3為壓電片厚度方向表面電位移，E3為壓電片在厚度方向的電場強度，為彈性柔順常數，為厚度方向恒應力介電常數，d31為壓電常數。

將電場和電位移公式代入方程(1)解得［4］:

其中:s為拉普拉斯算子，As為壓電片電極面積，hp為壓電片厚度，Cp為壓電片電容，

將s=iω代入式(2)得簡諧振動下壓電片應力與應變的關系為:

其中i為虛數單位，ω為振蕩頻率。

即在分流電路作用下，壓電片的等效彈性模量變為:

其中Cto為電路中總電容，Cto=C+Cp。

取桿的一個基本周期單元，如圖3所示。基體桿的截面為矩形，厚度為hb，寬度為lb，截面面積為Ab，彈性模量為Eb，密度為ρb;壓電片的長度為b，寬度為lp，截面面積為Ap，密度為ρp。M表示未貼壓電片的桿，N表示貼有壓電片的桿。設y(x，t)為桿在x處的振動位移，則桿的振動方程為［14］:

式中:ρ、E為桿x處的密度和彈性模量，y為桿x處的振動位移，y=X(x)eiωt。

圖3 單個周期單元Fig.3 Sketch map of the cell

由方程(5)解得，桿的第n個周期單元中M部分的振動幅值在局部坐標系下為:

其中:

桿的第n個周期單元中N部分振動幅值在局部坐標系下為:

其中:

1.2 桿單元的邊界條件

在周期單元n中N部分的左邊界處，位移X(x)、力EAX'(x)的連續性可得:

整理為矩陣形式為:

式中 ψn=［An1An2］T，γn=［Bn1Bn2］T。

在周期單元 n中 N的右邊界處，位移X(x)、力EAX'(x)的連續性可得:

整理為矩陣形式為:

式中:ψn=［A(n+1)1A(n+1)2］T，γn=［Bn1Bn2］T。

將式(8)代入式(9)得:

1.3 桿中波傳播的動力學特性

桿是由相同的周期單元組成的，根據 Bloch定理［15］:

其中μ為波傳播常數。

將式(10)代入式(11)得特征值方程:

其中:I為單位矩陣。

由方程可得，對于給定頻率ω，可以求出波傳播常數μ。當頻率位于某些范圍時，波傳播常數實部為零，這表明周期桿中這些頻率范圍內的彈性波將無衰減傳播。而波傳播常數實部不為零時，周期桿中彈性波僅存在衰減的傳播模式，這些頻率范圍形成帶隙。

1.4 桿中局域共振帶隙形成機理研究

壓電片與分流電路相互作用，其等效剛度變為式(4)所示，整理為:

則桿上貼有壓電片的N部分的等效彈性模量為:

聯立式(13)、式(14)得，當 ω =ωzr時，Re(Ezr)=0。

式中:ω0—— 分流電路固有頻率。

此時桿中N部分的等效彈性模量實部為0，那么彈性波顯然不能在桿中傳播，必然形成帶隙。因此桿的局域共振帶隙在ωzr處，比電路振蕩固有頻率高。

2 數值計算結果

基體桿的材料選用環氧樹脂，其彈性模量Eb=4.35 ×1010Pa，密度為 ρb=1180 kg/m3，厚度為 hb=0.01 m，寬度 lb=0.02 m，a=0.03 m，b=0.04 m。壓電陶瓷片選用 P ZT －5H，d31= －274×10－12C/m2，=3.01 × 10－8F/m，=16.5 ×10－12m2/N，厚度 hp=0.0005 m，lp=0.02 m。

2.1 桿的帶隙結構

由以上參數仿真計算得到桿的帶隙結構如圖4所示。圖4(a)為電感L=0，R=10 Ω時的帶隙結構，此時分流電路不能產生電磁振蕩，其帶隙由壓電陶瓷片與基體桿間的Bragg散射引起，為Bragg帶隙。圖4(b)為電感 L=7 ×10－3H，C=0，R=10 Ω 即 Cto=Cp時的帶隙結構，此時分流電路中能產生電磁振蕩，其帶隙包括局域共振帶隙和Bragg帶隙。

圖4 桿的帶隙結構Fig.4 Band gaps of the rod

2.2 電感、電容和電阻對局域共振帶隙的影響

從式(15)可以看出，調節分流電路中電感L和電容C的值，可改變局域共振帶隙位置，如圖5所示。圖5(a)為帶隙隨電感L的變化，局域共振帶隙頻率隨著電感值的增大而降低。當L=3×10－3H時，局域共振帶隙和Bragg帶隙位置重合，合并為一個帶隙。圖5(b)為帶隙隨電容的變化，局域共振帶隙頻率也是隨著電容值的增大而降低。

圖6為帶隙隨電阻的變化，從圖中可以看出隨著電阻的增大局域共振帶隙衰減幅值是逐漸減小的，因為電阻的增大會使電路中電流減小，減弱了LC回路的電磁振蕩作用或者說振蕩回路的Q值下降。

為了驗證理論計算的正確性，利用ANSYS有限元軟件對有限周期的桿進行了有限元計算。取6個周期進行有限元計算，其中基體桿用solid45單元進行網格劃分，壓電陶瓷片采用solid5單元，電感和電容采用circuit94單元。在桿沒有粘貼壓電片的一端以恒定位移1×10－5m進行激勵，利用ANSYS的諧響應分析進行有限元計算，得到振動在桿中傳到另一端的位移響應如圖7 所示，其中 R=10 Ω，C=0，L=7 ×10－3H。

從ANSYS有限元計算結果可以看出在8980 Hz～9520 Hz出現了局域共振帶隙，與圖4所示的理論計算結果基本一致。

圖5 帶隙隨電感和電容的變化Fig.5 Band gaps’variations with the inductance and capacitance

圖6 帶隙隨電阻的變化Fig.6 Band gaps’variations with the resistance

圖7 ANSYS計算傳輸特性Fig.7 Transmission properties calculated by ANSYS

3 結論

通過對含有壓電分流電路聲子晶體桿的理論計算和ANSYS分析可以得到以下結論:

(1)桿的帶隙是Bragg散射和局域共振共同產生。當分流電路中電感等于零時，電路中不能產生電磁振蕩，帶隙由基體梁與壓電片之間的Bragg散射形成，為Bragg帶隙。當分流電路中電感不等于零時，分流電路的電磁振蕩會形成局域共振，產生局域共振帶隙。

(2)局域共振帶隙的帶隙頻率為貼有壓電片部分等效彈性模量實部為零所對應的頻率，比分流電路的固有頻率略高。通過改變電容和電感參數，可以調節局域共振帶隙的位置。

(3)分流電路中的耗散電阻會使電路中電流減小，電磁振蕩變弱即振蕩回路的Q值下降，從而減小了局域共振帶隙在帶隙頻率內的振動幅值、增加了帶寬。

總之，利用壓電材料的機電轉換作用，激勵分流電路，通過電磁振蕩形成局域共振，為局域共振型聲子晶體設計提供了新的思路。與傳統機械振子局域共振聲子晶體相比，由于分流電路中電感、電容和電阻可以方便的調節，因而可以根據需要主動控制局域共振帶隙頻率的位置。而且分流電路不參與桿的機械振動，減小了振動結構的質量。

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